這個單元要來探討的主題是：甚麼是「動態剛性」(dynamic stiffness)？和「靜態剛性」(static stiffness)有甚麼不同嗎？
要來看這個主題，首先，由「剛性」(stiffness)這個名詞談起。參閱圖片左上方圖示，是具有「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)的SDOF (single
degree-of-freedom)單自由度系統模型。其中，系統參數(system parameter)：𝒎「質量」、𝒄「黏滯阻尼係數」、𝒌「彈簧常數」。
當我們講「剛性」(stiffness)，以彈簧元件(spring component)來說，就是其
𝒌 「彈簧常數」(spring component)，口語上也稱，「勁度」(stiffness)。𝒌 的定義：𝒌 = 𝑭𝒔 / 𝒙。其中，𝑭𝒔 是彈簧力(spring force)；𝒙 是彈簧元件的變形位移(displacement)。
要測定彈簧元件的
𝒌 「彈簧常數」=「勁度」=「剛性」，有兩種做法：
1.
施予靜力負荷(static force)，量測取得的
𝒌 值，稱為「靜態剛性」(static stiffness)。
2.
施予動態負荷(dynamic force)，量測取得的 𝒌
值，稱為「動態剛性」(dynamic stiffness)。
彈簧元件的「靜態剛性」(static stiffness)之
𝒌 「彈簧常數」，如何求得呢？可參閱圖片左下方示意圖。綜合說明如下：
1.
假設彈簧元件的 𝒌 「彈簧常數」，符合「虎克定律」(Hooke’s law)得知：外力和位移是成比例關係。所以，是線性彈簧(linear spring)，也就是：𝑭𝒔 = 𝒌 𝒙。
2.
可以透過拉力計，量測彈簧力 𝑭𝒔，同時，可以用直尺，量測變形位移量
𝒙。實際量測時，會得到的是，如圖示的離散的數據點。可以透過線性回歸(linear regression)，取得直線的斜率。此斜率的值，就是
𝒌「彈簧常數」= 𝑭𝒔 / 𝒙。
3.
實驗中，雖然施予不同的外力，實際上，施予的外力是常數，也就是靜力負荷(static force)。所以，量測到的
𝒌 「彈簧常數」，稱為「靜態剛性」(static stiffness)。
要取得彈簧元件的「動態剛性」(dynamic stiffness)之
𝒌 「彈簧常數」，就要施予動態負荷(dynamic force)，在先前單元，有分別介紹了：(1) 時間域法，以及(2) 頻率域的半能量點法，可以求得：𝝃 「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)，摘錄如下：
1.
#123：【如何求得彈簧的 k & c 物理參數？】
2. #389：【如何求得阻尼比(damping ratio)？ – 頻率域：半能量點法(Half Power Point)】
以上兩個方法，在求得
𝝃 「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)的過程，都可以同時量測到
𝒌 「彈簧常數」，因為量測的是彈簧元件的動態響應(dynamic response)，所以稱為「動態剛性」(dynamic stiffness)。
第1種方法，時間域法(time domain method)：參閱圖片右上方，是摘錄自 #123：【如何求得彈簧的 k & c 物理參數？】的圖示，係透過量測 𝒎 質塊的自由振動響應(free vibration response)，取得來回振盪的位移時間波形，量測時間波形的振盪週期 𝑻𝒏，即可推算得到 𝒌「彈簧常數」：𝒌 =
𝒎 (𝟐𝝅 *
𝟏/𝑻𝒏 )^𝟐。以下說明相關背景知識以及推算 𝒌 值的理念與步驟：
1.
已知：𝝎𝒅
= 𝝎𝒏 √(𝟏−𝝃^𝟐 )。其中，𝝎𝒅 是阻尼自然頻率(damped natural frequency)，單位=
rad/sec；𝝎𝒏是無阻尼自然頻率(undamped natural frequency)，𝝎𝒏 = √(𝒌/𝒎)，單位=
rad/sec；𝝃 是黏滯阻尼比(viscous damping ratio)，無因次單位。「阻尼比」的定義：𝜉 = 𝑐 /
𝒄_𝒄。而，𝒄_𝒄「臨界黏滯阻尼係數」：𝒄_𝒄 = 𝟐√(𝒎𝒌)。
2.
已知：𝒇𝒏
= 𝝎𝒏/𝟐𝝅
= 𝟏/𝟐𝝅
√(𝒌/𝒎)。𝒇𝒏是無阻尼自然頻率(undamped natural frequency)，單位= Hz。當已知：𝒎「質量」，單位= kg，𝒌「彈簧常數」，單位= N/m，可以求得 𝒇𝒏。
3.
又，實務上，𝝃 「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)大都是介於0~1之間，稱為「次阻尼」(under damped)狀態：0 < 𝝃 < 1。
4.
又，實務上，𝝃「阻尼比」很小，大多數的「材料阻尼比」(material damping ratio) 約在
𝝃 = 0.01~0.05之間。如高阻尼的橡膠材料，典型值 𝝃 ≈ 0.1。所以，可以得知：𝝎𝒅
≈ 𝝎𝒏、𝒇𝒅 ≈ 𝒇𝒏。
5.
由週期與頻率關係，得知：𝑻𝒏 =
𝟐𝝅/𝝎𝒅 = 𝟏/𝒇𝒅 ≈𝟏
/𝒇𝒏。
6.
由無阻尼自然頻率(undamped natural frequency)定義，可推導：𝒌 = 𝒎 (𝟐𝝅𝒇𝒏)^𝟐。
7.
最後，得到𝒌「彈簧常數」：𝒌 =
𝒎 (𝟐𝝅 *
𝟏/𝑻𝒏 )^𝟐。
以上是採用時間域法(time
domain method)，求得 𝒌「彈簧常數」，因為量測的是彈簧元件的動態響應(dynamic response)，所以稱為「動態剛性」(dynamic stiffness)。
第2種方法，頻率域法(frequency domain method)：參閱圖片右下方，是摘錄自 #389：【如何求得阻尼比(damping ratio)？ – 頻率域：半能量點法(Half Power Point)】的圖示。針對求得彈簧元件的「動態剛性」(dynamic stiffness)之相關背景知識，以及推算 𝒌 值的理念與步驟，說明如下：
1.
量測系統的頻率響應函數(frequency response function, FRF)：係透過簡易的實驗模態分析(experimental
modal analysis, EMA)，以衝擊鎚(impact
hammer)敲擊 𝒎 質塊，可得到外力。另外，以加速度規(accelerometer)量測 𝒎 質塊的加速度響應。再進行信號處理(signal processing)，可以得到系統的FRF。
2.
辨識系統的自然頻率(natural frequency) 𝑓𝑟：如圖示典型的FRF，繪製得到|𝐻(𝑓)|，即FRF的振幅圖。由FRF曲線|𝐻(𝑓)|的峰值(peak)，對應得到的頻率，就會是系統的自然頻率(natural
frequency) 𝑓𝑟。由於實務上，𝝃「阻尼比」很小，可以得知：𝑓𝑟 ≈ 𝒇𝒏。
3.
推導得到𝒌「彈簧常數」：由 𝒇𝒏 無阻尼自然頻率(undamped natural frequency)定義，可推導得到𝒌「彈簧常數」：𝒌 = 𝒎 (𝟐𝝅𝒇𝒏)^𝟐。
4.
推導得到 𝒄「黏滯阻尼係數」：另外，回顧補充，由半能量點法(Half Power Point method)，可取得結構系統的 𝜉「阻尼比」(damping ratio)，就可以推導得到
𝒄「黏滯阻尼係數」：𝒄 = 𝝃 𝒄_𝒄 = 𝝃 (𝟐√𝒎𝒌)。
綜合一下這個單元的討論：甚麼是「動態剛性」(dynamic stiffness)？和「靜態剛性」(static stiffness)有甚麼不同嗎？總結如下：
1. 「剛性」(stiffness)：以彈簧元件(spring component)來說，「剛性」就是其 𝒌
「彈簧常數」(spring component)，口語上也稱，「勁度」(stiffness)。𝒌 的定義：𝒌 = 𝑭𝒔 / 𝒙。其中，𝑭𝒔 是彈簧力(spring force)；𝒙 是彈簧元件的變形位移(displacement)。
2. 「靜態剛性」(static stiffness)：假設符合「虎克定律」(Hooke’s law)得知：𝑭𝒔 = 𝒌 𝒙。施予的外力𝑭𝒔是常數，也就是靜力負荷(static force)，量測到的變形位移量
𝒙，也是靜態位移(static displacement)。所以，量測到的
𝒌 「彈簧常數」，稱為「靜態剛性」(static stiffness)。
3. 「動態剛性」(dynamic stiffness)：施予動態負荷(dynamic force)，量測到系統的動態響應(dynamic response)，所以稱為「動態剛性」(dynamic stiffness)。介紹了兩種方法：(1) 時間域法(time domain method)：由量測時間波形的振盪週期 𝑻𝒏，即可推算得到 𝒌「彈簧常數」：𝒌 =
𝒎 (𝟐𝝅 *
𝟏/𝑻𝒏 )^𝟐。(2) 頻率域法(frequency domain method)：由量測系統的頻率響應函數(frequency
response function, FRF)，辨識系統的自然頻率(natural frequency) 𝑓𝑟 ≈ 𝒇𝒏，可推導得到𝒌「彈簧常數」：𝒌 = 𝒎 (𝟐𝝅𝒇𝒏)^𝟐。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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