這個單元要來探討的主題是：甚麼是「雷利阻尼」(Rayleigh damping)？要來探討「雷利阻尼」，就需要從MDOF (multiple
degree-of-freedom)多自由度系統談起。
參閱圖片右上方，是一個典型的MDOF多自由度系統，呈現系統模型的示意圖、系統參數、物理域(physical domain)運動方程式、以及系統的模態參數(modal parameters)，重點摘述如下：
1. 系統參數(system parameter)：每個質量塊的「質量」𝒎𝒊、每一個阻尼器(damper)的「黏滯阻尼係數」𝒄𝒊、以及每一個彈簧的「彈簧常數」𝒌𝒊。此系統有
𝒏 個自由度。
2. 系統模型(system model)：可以區別出輸入(Input)：每個質塊上的「外力」𝒇𝒋
(𝒕)作用，以及每個質塊的初始條件，初始位移：𝒙𝒊 (𝟎)、以及初始位移：𝑣𝒊(𝟎)。輸出(Output)：每個質塊的「位移」𝒙𝒊(𝒕) 響應。
3. 物理域(physical domain)運動方程式：可參閱圖片所示，是一個二階的聯立常微分方程式(second order simultaneous Ordinary Differential Equation, ODE)。其中的系統參數(system parameter)，包括：[𝑴]質量矩陣(mass matrix)、[𝑪]阻尼矩陣(damping matrix)、[𝑲]勁度矩陣(stiffness matrix)。
4. 系統的模態參數(modal parameters)：如果進行模態分析(modal analysis)，可以求得三個模態參數，包括：𝝎𝒓、{𝝓𝒓 }、𝝃𝒓，𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏。
由[𝑪]阻尼矩陣，可以知道此系統的假設，採用「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)。這是
𝒏 個自由度的系統，所以，會有 𝒏 個自由度(vibration modes)。而，每一個「振動模態」都會有三個「模態參數」(modal parameters)，包括：
1. 𝝎𝒓：第 𝒓 個「自然頻率」(natural frequency)。
2. {𝝓𝒓}：第 𝒓 個「位移模態振型」(displacement mode shape)。
3. 𝝃𝒓：第 𝒓 個「模態阻尼比」(modal damping ratio)，簡稱「阻尼比」(damping ratio)。
而且，𝝎𝒓、{𝝓𝒓 }以及𝝃𝒓，此三個「模態參數」是成對出現，一一相互對應。
其次，來介紹「模態振型」的「正交性」(Orthonormality of Mode Shape)，可以寫出三個向量形式的「正交性」關係式：
1. [𝑴]：{𝝓𝒓}^𝑻 [𝑴]{𝝓𝒓}=𝟏。其中，𝑻是轉置(transpose)運算。
2. [𝑪]：{𝝓𝒓}^𝑻 [𝑪]{𝝓𝒓}= 𝟐
𝝃𝒓 𝝎𝒓。
3. [𝑲]：{𝝓𝒓}^𝑻 [𝑲]{𝝓𝒓}= 𝝎𝒓^𝟐。
由以上關係式，可知，當兩個相同的 {𝝓𝒓}「模態振型」向量，分別與[𝑴]、[𝑪]、[𝑲]矩陣，如關係式的相乘，會得到與系統「模態參數」相關的結果。對[𝑴]矩陣相乘，等於1，稱此特性為「正交性」(Orthonormality)。對[𝑪]或[𝑲]矩陣相乘，不等於1，則稱為「直交性」(orthogonality)。
此關係式，也可以寫成「模態振型」矩陣形式，首先定義：「模態矩陣」(modal matrix) = [𝚽]=[{𝝓1}
{𝝓2} ... {𝝓𝒏}]。就是將每個模態的「模態振型」向量並排，取得[𝚽]「模態振型矩陣」。可以寫出對𝑴]、[𝑪]、[𝑲]，三個矩陣相乘，矩陣形式的「正交性」關係式：
1. [𝑴]：[𝚽]^𝑻 [𝑴][𝚽]=[ˋ𝟏ˋ]。是壹矩陣(identity matrix)。
2. [𝑪]：[𝚽]^𝑻 [𝑪][𝚽]=[ˋ𝟐 𝝃𝒓
𝝎𝒓ˋ]。
3. [𝑲]：[𝚽]^𝑻 [𝑲][𝚽]=[ˋ𝝎𝒓^𝟐ˋ]。
以上對[𝑴]、[𝑪]、[𝑲]三個乘積的矩陣，分別得到：[ˋ𝟏ˋ]，[ˋ𝟐 𝝃𝒓
𝝎𝒓ˋ]，[ˋ𝝎𝒓^𝟐ˋ]。此符號代表的是對角化矩陣(diagonal matrix)，除了矩陣中之對角線元素，不為零，其他非對角線元素，都是零。物理意義是：不同模態的「模態振型」向量，例如 {𝝓𝒓}和{𝝓s}，是具有「直交性」(orthogonality)，也就是乘積的方程式，會是等於零。對[𝑴]矩陣相乘，為壹矩陣(identity matrix)，特別稱之為「正交性」(Orthonormality)。
接著，來看[𝑪]阻尼矩陣(damping matrix)的特徵，可以區別兩種形式：
1. 「比例阻尼」(proportional damping)：如果，[𝑪] = 𝜶[𝑴]
+ 𝜷[𝑲]。其中，𝜶 和 𝜷
是任意常數。符合這個關係，就稱為「雷利阻尼」(Rayleigh damping)，也就「比例阻尼」系統。
2. 「非比例阻尼」(non-proportional
damping)：如果，[𝑪]
≠𝜶[𝑴]
+ 𝜷[𝑲]。就界定為「非比例阻尼」系統。
為什麼做「比例阻尼」與「非比例阻尼」這樣的定義與區別？在「比例阻尼」，也就是「雷利阻尼」，在理論解析上，是相對單純的。而，「非比例阻尼」，在理論解析上，則是相對複雜的。有機會再另闢單元討論。
接續就來探討，「雷利阻尼」對[𝑪]矩陣的「直交性」關係，可以參閱圖片右下方的推導過程，可以得知：𝟐 𝝃𝒓 𝝎𝒓 = 𝜶 + 𝜷 𝝎𝒓^𝟐。進而，可以推導出「雷利阻尼」的各個模態之「模態阻尼比」(modal damping ratio)：𝝃𝒓 = 𝜶
/ (𝟐 𝝎𝒓 ) + (𝜷 𝝎𝒓)/𝟐。
綜合這個單元的討論，甚麼是「雷利阻尼」(Rayleigh damping)？總結如下：
1. 「雷利阻尼」(Rayleigh damping)是基於「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)的MDOF (multiple degree-of-freedom)多自由度系統。
2. 結構都有其「振動模態」(vibration modes)。而，每一個「振動模態」都會有三個「模態參數」(modal parameters)，包括：𝝎𝒓，第
𝒓 個「自然頻率」(natural frequency)、{𝝓𝒓 }，第 𝒓 個「位移模態振型」(displacement mode shape)、以及𝝃𝒓，第 𝒓 個「模態阻尼比」(modal damping ratio)，也常簡稱「阻尼比」(damping ratio)。有 𝒏 個自由度，所以，會有有 𝒏 個「振動模態」。
3. 針對「位移模態振型」向量，對[𝑴]矩陣會有所謂「正交性」(Orthonormality)，對[𝑪]或[𝑲]矩陣，則是「直交性」(orthogonality)的特徵，可以寫成向量形式、或是矩陣形式。在矩陣形式，可以由「位移模態振型」向量，組成「模態振型矩陣」= [𝚽]=[{𝝓1}
{𝝓2} ... {𝝓𝒏}]，簡稱「模態矩陣」(modal matrix)。
4. 「雷利阻尼」(Rayleigh damping)是「比例阻尼」(proportional damping)：必須符合，[𝑪] = 𝜶[𝑴]
+ 𝜷[𝑲]。其中，𝜶 和 𝜷
是任意常數。
5. 當系統是「雷利阻尼」(Rayleigh damping)，可以明確的得到各個模態的「模態阻尼比」(modal damping ratio)：𝝃𝒓 = 𝜶
/ (𝟐 𝝎𝒓 ) + (𝜷 𝝎𝒓)/𝟐。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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