《振動噪音科普專欄》同點(Point)與轉移(Transfer)之頻率響應函數(FRF)有甚麼不同？

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 這個單元要來探討的主題是：同點(Point)與轉移(Transfer)之「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)有甚麼不同？

 

同點的「頻率響應函數」可以簡稱：Point FRF。而轉移之「頻率響應函數」可以簡稱：Transfer FRF。

 

簡單說：同點Point FRF，是 𝒋 敲擊點輸入位置，和 𝒊 量測響應點輸出位置，兩者是在相同位置，也就是𝒊= 𝒋。轉移Transfer FRF，是 𝒋 敲擊點輸入位置，和 𝒊 量測響應點輸出位置，兩者不是在相同位置，也就是 𝒊≠𝒋。

 

參閱圖示左上方，節錄自先前單元，#364：【如何求得結構的頻率響應函數？】。重點摘錄如下：

 

1.      「如何求得」：可以概分為「分析」與「實驗」，兩種方法。

2.      「結構」：任意的結構，當然都可以分別由「分析」與「實驗」，求得FRF「頻率響應函數」。

3.      「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)：基本定義：𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭。𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭是輸出，𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭是輸入。當然需要明確的定義出𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出以及𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入參數。讀者可參考先前單元，#363：【頻率響應函數有哪些種類(Types of FRFs)？】。

 

左上方圖示摘錄的是頻率域(frequency domain)系統方塊圖–實驗分析，說明如下：

 

1.      𝒇𝒋 (𝒕)表示輸入的作用力：可以使用具有力感測器(force transducer)的衝擊槌(impact hammer)，量測得到𝒇𝒋 (𝒕)敲擊外力時間波形。再透過FFT、PSD的信號分析，即可得到如圖示的𝑮𝒋𝒋 (𝒇) 外力自身功率頻譜(auto PSD)。

2.      𝒂𝒊 (𝒕)表示輸出的加速度響應：可以透過加速度規(accelerometer)，黏貼在結構表面，量測到任意點的𝒂𝒊 (𝒕)加速度時間波形。再透過FFT、PSD的信號分析，即可得到如圖示的𝑮𝒊𝒊(𝒇) 加速度自身功率頻譜(auto PSD)。

3.      𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑮𝒋𝒊 (𝒇)/𝑮𝒋𝒋(𝒇) = FRF「頻率響應函數」：要注意，在實驗量測中，由於經過數位化處理(digitization)，不能如理論分析，直接由傅立葉頻譜取得，必須由PSD功率頻譜，才能取得正確的FRF「頻率響應函數」。其中，𝑮𝒋𝒊 (𝒇)是輸入與輸出的交叉功率頻譜(cross PSD)。其中的𝑯𝒊𝒋 (𝒇) =FRF「頻率響應函數」，最常看到的圖示是𝑯𝒊𝒋 (𝒇)的振幅圖|𝑯𝒊𝒋 (𝒇)|。

 

在進行EMA「實驗模態分析」(experimental modal analysis, EMA)，參閱如中間上方圖示，為一個矩形鋼板結構的量測點規畫，共有15個量測點。採用「定規移槌」(fixed sensor, roving actuator)的實驗方式：加速度規(accelerometer)固定在1號點位置，移動衝擊槌(impact hammer)，依序敲擊在15個量測點，所以會取得15個𝑯𝒊𝒋 (𝒇) =FRF「頻率響應函數」，𝒊=1，𝒋=1~15。量測到的FRF「頻率響應函數」，其物理意義是：Accelerance「加速率」=「加速度」/「外力」。

 

在前面有簡單的提到：同點Point FRF，就是𝒊= 𝒋。轉移Transfer FRF，就是 𝒊≠𝒋。所以，在這個矩形鋼板結構的量測點規畫，共有15個量測點。一定會有一個量測的FRF，會是同點Point FRF。而其他的14個FRF，就會是轉移Transfer FRF。

 

這個單元主要的重點，就是在探討同點Point FRF以及轉移Transfer FRF，兩者之間有甚麼差異？

 

往下討論之前，讀者可以回顧先前單元，#365：【如何繪圖呈現與解讀結構的頻率響應函數？】，有完整的討論。因為，FRF「頻率響應函數」是複數(complex number)，所以，會有三組圖示的呈現方式：

 

1.      「波德圖」(Bode plot)：包含了「振幅」(amplitude)圖以及「相位角」(phase angle)圖，水平軸都是頻率，單位=Hz。「振幅」(amplitude)圖之垂直軸，可以是以對數座標(logarithmic scale)呈現，或是以線性座標(linear scale)呈現。

2.      「實數部」(real)圖以及「虛數部」(imaginary)圖：水平軸都是頻率，單位=Hz。

3.      「奈氏圖」(Nyquist plot)，或稱為「極座標圖」(polar plot)：水平軸是「實數部」、垂直軸是「虛數部」， FRF的曲線圖，會形成一個「圓圈」，所以也有稱之為circle plot。在Accelerance「加速率」，「虛數部」最大值的頻率點，就是結構的「自然頻率」。

 

參閱圖示左下方是，𝒊≠𝒋 的轉移Transfer FRF，取的是𝒊=1，𝒋=2。圖示右下方是，𝒊= 𝒋 的同點Point FRF，取的是𝒊=1，𝒋=1。分別有6個圖示：

 

1.      「振幅」(amplitude)圖，垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現：

2.      「相位角」(phase angle)圖：

3.      「實數部」(real)圖：

4.      「虛數部」(imaginary)圖：

5.      「奈氏圖」(Nyquist plot)，或稱為「極座標圖」(polar plot)：

6.      「振幅」(amplitude)圖，垂直軸是以線性座標(linear scale)呈現：

 

以下，分別就 𝒊≠𝒋 的轉移Transfer FRF，以及 𝒊= 𝒋 的同點Point FRF，針對以上圖示，做倆倆之間的比較說明。

 

在「振幅」(amplitude)圖，垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現：「共振點」(Resonance point)都可以明顯辨識到，結構的4個𝒇𝒏「自然頻率」，所以，在量測的頻率範圍，有4個「振動模態」(vibration modes)。在𝒊= 𝒋 的同點Point FRF，倆倆的「共振點」(Resonance point)之間，都會有一個「反共振點」(Anti-Resonance point)。反觀 𝒊≠𝒋 的轉移Transfer FRF，只有出現2個「反共振點」。

 

在「相位角」(phase angle)圖：已知在「共振點」與「反共振點」，都會有180度的相位角變化，從圖示可以觀察到，𝒊≠𝒋 的轉移Transfer FRF，以及 𝒊= 𝒋 的同點Point FRF，兩者之間確實有這樣的特徵。

 

在「實數部」(real)圖：由於量測到的FRF「頻率響應函數」，其物理意義是：Accelerance「加速率」=「加速度」/「外力」，所以，結構的𝒇𝒏「自然頻率」會出現在，通過「0點」的頻率。𝒊≠𝒋 的轉移Transfer FRF，以及 𝒊= 𝒋 的同點Point FRF，兩者之間確實都有這樣的特徵。

 

再仔細觀察「實數部」(real)圖，在𝒊≠𝒋 的轉移Transfer FRF，4個交叉「0點」的曲線變化，依序是：負到正、正到負、負到正、負到正。而𝒊= 𝒋 的同點Point FRF，4個交叉「0點」的曲線變化，依序都是：正到負，這個是𝒊= 𝒋 的同點Point FRF才有的特徵。

 

在「虛數部」(imaginary)圖：由於量測到的FRF「頻率響應函數」，其物理意義是：Accelerance「加速率」=「加速度」/「外力」，所以，結構的𝒇𝒏「自然頻率」會出現在，有最大「峰值」的頻率。𝒊≠𝒋 的轉移Transfer FRF，以及 𝒊= 𝒋 的同點Point FRF，兩者之間確實都有這樣的特徵。

 

再仔細觀察「虛數部」(imaginary)，在𝒊≠𝒋 的轉移Transfer FRF，4個「峰值」的正負值，依序是：正、負、正、正。而𝒊= 𝒋 的同點Point FRF，4個「峰值」的正負值，依序都是：負，這個是𝒊= 𝒋 的同點Point FRF才有的特徵。

 

在「奈氏圖」(Nyquist plot)，或稱為「極座標圖」(polar plot)：因為，每一個「振動模態」(vibration modes)，就會形成的每一個「圓圈」，因此，都可以觀察到有4個「圓圈」，對應的就是結構的4個「振動模態」。要區別哪一個「圓圈」是哪一個「振動模態」，就要繪製垂直軸是以線性座標(linear scale)呈現的「振幅」(amplitude)圖，每個「振動模態」的峰值大小，可以區別出對應的「振動模態」。每一個「圓圈」有最大振幅的頻率點，或是虛數部的峰值頻率，就可以取得𝒇= 𝒇𝒏「自然頻率」。

 

再仔細觀察「奈氏圖」(Nyquist plot)，在𝒊≠𝒋 的轉移Transfer FRF，4個「圓圈」所在位置的象限，以水平軸的上下來看，依序是：上、下、上、上。而𝒊= 𝒋 的同點Point FRF，4個「圓圈」所在位置的象限，以水平軸的上下來看，依序都是：下，這個是𝒊= 𝒋 的同點Point FRF才有的特徵。

 

在「振幅」(amplitude)圖，垂直軸是以線性座標(linear scale)呈現：是觀察不到「反共振點」的現象。所以，在觀察FRF「頻率響應函數」，一般建議：垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現。不過，如果想要觀察各個「振動模態」(vibration modes)的振動響應大小，就可以採用線性座標(linear scale)呈現。

 

最後綜合一下這個單元，在探討：𝒊≠𝒋 的轉移Transfer FRF，以及 𝒊= 𝒋 的同點Point FRF，總結如下：

 

1.      「振幅」(amplitude)圖，垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現：在 𝒊= 𝒋 的同點Point FRF，倆倆的「共振點」(Resonance point)之間，都會有一個「反共振點」(Anti-Resonance point)。反觀， 𝒊≠𝒋 的轉移Transfer FRF，只可能出現部分的「反共振點」。

2.      「相位角」(phase angle)圖：在「共振點」與「反共振點」，都會有180度的相位角變化。在 𝒊= 𝒋 的同點Point FRF，倆倆的「共振點」(Resonance point)之間，都會有一個「反共振點」(Anti-Resonance point)，所以會有比較多的180度相位角變化。

3.      「實數部」(real)圖：在𝒊= 𝒋 的同點Point FRF，結構的𝒇𝒏「自然頻率」會出現在，通過「0點」的頻率。同時，所有的「振動模態」(vibration modes)的交叉「0點」之曲線變化，依序都會是：正到負。反觀， 𝒊≠𝒋 的轉移Transfer FRF，交叉「0點」之曲線變化，是正到負、或負到正，沒有規律性。

4.      「虛數部」(imaginary)圖：在𝒊= 𝒋 的同點Point FRF，結構的𝒇𝒏「自然頻率」會出現在，有最大「峰值」的頻率。同時，所有的「振動模態」(vibration modes)的「峰值」的正負值，依序都會是：負。反觀， 𝒊≠𝒋 的轉移Transfer FRF，其「峰值」的正負值，沒有規律性。

5.      「奈氏圖」(Nyquist plot)，或稱為「極座標圖」(polar plot)：在𝒊= 𝒋 的同點Point FRF，每一個「振動模態」(vibration modes)，所形成的每一個「圓圈」，所在位置的象限，以水平軸的上下來看，依序都是：下。反觀， 𝒊≠𝒋 的轉移Transfer FRF，其形成的每一個「圓圈」，在上、在下，沒有規律性。

6.      「振幅」(amplitude)圖，垂直軸是以線性座標(linear scale)呈現：是觀察不到「反共振點」的現象。所以，在觀察FRF「頻率響應函數」，一般建議：垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現。不過，如果想要觀察各個「振動模態」(vibration modes)的振動響應大小，就可以採用線性座標(linear scale)呈現。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2024.04.05

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