這個單元要來探討的主題是：聲音的「功率頻譜」(power spectrum)和「三分之一倍頻頻譜」(one third octave
band spectrum)有甚麼不同？
這是接續上一個單元：#357，【聲音的傅立葉頻譜和功率頻譜有甚麼不同？】，一般常說「頻譜」(spectrum)，就有「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)以及「功率頻譜」(power spectrum)，兩者是有很大的差異。這個單元再介紹另一種頻譜，就是「三分之一倍頻頻譜」(one third octave band spectrum)。
參閱圖示左上方，顯示先前單元：#109，【對一個信號進行頻譜分析的原理為何？】，聲音量測信號的頻譜分析流程圖，可以知道有哪些Index 指標。數據的Analysis 分析流程是由左向右： 𝒑(𝒕) → 𝑷(𝒇) → 𝑮𝒑𝒑(𝒇) → 𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) → 𝑳𝒑,𝒆𝒒，可以取得各個評估噪音的Index 指標。
本單元著重在區別：聲音的「功率頻譜」𝑮𝒑𝒑(𝒇)以及「三分之一倍頻頻譜」𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，實務上，如何取得 𝑮𝒑𝒑(𝒇)以及 𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)？以及說明取得 𝑳𝒑,𝒆𝒒的理念。
參閱圖示右邊的系列圖示，依序說明如下：
1. 𝒑(𝒕) = time waveform = 時間波形：量測到的聲音壓力響應 𝒑(𝒕)，是量測的原始數據(measured raw data)。本案例，總量測時間：Ttotal = 64 s，設定的平均次數：AVG = 100，所以，一個FFT的分析時間長度，T = Ttotal/AVG = 64/100 = 0.64 s。
2. 𝑷(𝒇) = Fourier spectrum = 傅立葉頻譜：對
𝒑(𝒕)進行FFT快速傅立葉轉換(fast Fourier
transform, FFT)處理，可以得到𝑷(𝒇)
傅立葉頻譜。而理論上，是透過傅立葉轉換(Fourier transform)，由 𝒑(𝒕)取得𝑷(𝒇)，數學表示式：𝑷(𝒇)=𝓕[𝒑(𝒕)]，其中，𝓕[ ]代表傅立葉轉換運算子，是積分計算。本案例，平均次數：AVG = 100，會有100個𝑷(𝒇)，圖示呈現的是𝑷(𝒇) 的振幅值|𝑷(𝒇)|，由於沒有平均，看到的頻譜，不具代表性，通常並不會深入探討，可以視為過程資訊。然而，通常有興趣的平均頻譜是 𝑮𝒑𝒑(𝒇)。
3. 𝑮𝒑𝒑(𝒇) = sound spectrum = 聲音頻譜：取得的 𝑷(𝒇)，透過PSD (power spectral density, PSD)處理，可以取得聲音的功率頻譜(power spectrum, auto PSD spectrum) 𝑮𝒑𝒑(𝒇)，可簡稱聲音頻譜(sound spectrum)。數學表示式：𝑮𝒑𝒑(𝒇)= 𝑷∗(𝒇) 𝑷(𝒇)/𝜟𝒇，其中，∗是取共軛複數(complex conjugate)，𝜟𝒇 = R =頻率解析度，所以，𝑮𝒑𝒑(𝒇)是純實數，可以取平均。本案例，如圖示的𝑮𝒑𝒑(𝒇)，是AVG = 100次的平均。注意：𝑮𝒑𝒑(𝒇)可以有兩種單位的呈現方式，分別是 dB 以及 dBA。dB是原始的聲音頻譜，而dBA則是A加權(A weighted)處理的聲音頻譜。讀者可參考單元：#54，【聲音壓力位準dB和dB(A)有甚麼不同？】。另外，聲音「功率頻譜」𝑮𝒑𝒑(𝒇)，繪圖呈現的方式，x軸：物理量 = 頻率 (Hz)，是可以取LIN (linear) 或是
LOG (logarithmic)座標。x軸，會取LOG座標，主要是配合人耳感官的聽覺效果，人耳對頻率的變動感知聽覺是LOG，而不是LIN。
4.
𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) = 1/3 octave band
spectrum = 三分之一倍頻頻譜：再由𝑮𝒑𝒑(𝒇)，進行三分之一倍頻(one third octave
band)處理，可以取得 𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，主要是配合人耳感官的聽覺效果。參閱圖示可知，𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)同樣也可以有兩種單位的呈現方式，分別是 dB 以及
dBA。
如何取得 𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)呢？要先瞭解先前單元：#105，【甚麼是三分之一八音頻帶(one third octave
band)？】。參閱圖示表格，顯示了三分之一八音頻帶的定義，包括：中心頻率(center frequency) 𝒇𝒄，下限頻率(lower
bound frequency) 𝒇𝒍，上限頻率(upper
bound frequency) 𝒇𝒖。可參閱圖示的積分方程式，物理意義說明如下：透過對 𝑮𝒑𝒑(𝒇)取上下限頻帶的積分，也就是𝑮𝒑𝒑(𝒇)曲線和x軸的所圍面積，也就是該頻率區間的總能量，再取根號，就可以得到該中心頻率的聲音壓力RMS值Pa。 最後，將Pa單位的聲音壓力，轉換為dB單位的聲音壓力位準、或稱聲壓級。相較於dB的𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，dBA的𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)在低頻率區，噪音值明顯的變低了，這就是A加權的效應，因為人耳對低頻率的聽感，比較不靈敏。在此要注意：對於噪音的高貢獻度頻帶之評估，要以dBA的𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)為準。
5. 𝑳𝒑,𝒆𝒒 = equivalent sound pressure level = 等效聲音壓力位準/聲壓級：由𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，可以累加 𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) 每一個 𝒇𝒄 中心頻率(central frequency)的聲音壓力位準dB，進而得到𝑳𝒑,𝒆𝒒。簡單說，就是在量測時間內的噪音量大小之平均值，實際上是均能 (equivalent energy)的概念。本案例分別是𝑳𝒑,𝒆𝒒 = 72.1 dB，以及 𝑳𝒑,𝒆𝒒 = 50.1 dBA。𝑳𝒑,𝒆𝒒 的dBA會比較低的原因，就是因為低頻率區，有了A加權的效應。
6. 𝑮𝒑𝒑(𝒕,𝒇) = spectrogram = 時頻圖：必須透過時頻分析(time frequency
analysis)，常用短時傅立葉轉換(short time Fourier transform, STFT)處理，以得到時頻圖。本單元暫不深入討論。
7. 𝑳𝒑(𝒕) = sound pressure level = 聲音壓力位準/聲壓級：對應時間軸，每一個瞬間的聲音壓力位準/聲壓級。本單元暫不深入討論。
由以上說明，大致解釋了聲音量測信號的頻譜分析流程，可以知道有哪些Index 指標。本單元著重在區別：聲音的「功率頻譜」𝑮𝒑𝒑(𝒇)以及「三分之一倍頻頻譜」𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，實務上，如何取得 𝑮𝒑𝒑(𝒇)以及 𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)？以及說明取得 𝑳𝒑,𝒆𝒒的理念。
接下來，針對如何解讀聲音量測信號的分析數據以及相關圖示呢？參閱圖示左邊上方流程圖，數據的Analysis 分析流程是由左向右，以取得各個評估噪音的Index 指標，而Diagnosis 診斷流程則是由右向左，Diagnosis 診斷流程之建議，如圖示標註的編號，順序步驟說明如下：
1. 觀察𝑳𝒑,𝒆𝒒 的dBA：也就是瞭解噪音總量A加權的OA值(overall
value)，亦即均能聲音壓力位準/聲壓級，單位：dBA。本案例：𝑳𝒑,𝒆𝒒 = 50.1 dBA。
2. 觀察dBA的𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)：目的在瞭解主要噪音貢獻頻帶。本案例，高貢獻度頻帶是 𝒇𝒄 = 4000 Hz 以及𝒇𝒄 = 6300 Hz，甚至由於𝒇𝒄 = 200 Hz比起鄰近的頻帶，高出約10 dBA，所以可能出現純音效應(pure tone effect)的異音。
3. 觀察dBA的logarithmic座標
𝑮𝒑𝒑(𝒇)：目的在瞭解對應於𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)的高貢獻頻帶，透過𝑮𝒑𝒑(𝒇)圖示，來判斷係來自哪個頻率區間的噪音頻譜響應。
4. 觀察dBA的linear座標
𝑮𝒑𝒑(𝒇)：在linear座標的𝑮𝒑𝒑(𝒇)圖示，可以判斷，例如：與轉速倍頻(harmonics of
rotating speed)相關的效應，或是可能的共振(resonance)影響。
5. 觀察dB的linear座標
𝑮𝒑𝒑(𝒇)：目的在瞭解實際的原始噪音頻譜的分布狀態，常會和振動頻譜作比較探討。
6. 觀察
𝒑(𝒕)原始量測數據：必要時可追溯量測到的聲音壓力響應 𝒑(𝒕)，是量測的原始數據(measured raw data)，可以輔助佐證判斷頻譜的特徵。
最後，綜合一下這個單元的討論：
1. 回顧了先前單元：#109，【對一個信號進行頻譜分析的原理為何？】：聲音量測信號的頻譜分析流程圖，𝒑(𝒕)
à 𝑷(𝒇)
à 𝑮𝒑𝒑(𝒇)à 𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) à 𝑳𝒑,𝒆𝒒。數據的Analysis 分析流程是由左向右，以取得各個評估噪音的Index 指標。
2. 本單元著重在區別：𝑮𝒑𝒑(𝒇) 聲音的「功率頻譜」(power spectrum)以及𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)「三分之一倍頻頻譜」(one third octave
band spectrum)，以及對應的數學學理以及數值分析。
3. 回顧了先前單元：#105，【甚麼是三分之一八音頻帶(one third octave
band)？】。重要名詞與三分之一八音頻帶的定義，包括：中心頻率(center frequency) 𝒇𝒄，下限頻率(lower
bound frequency) 𝒇𝒍，上限頻率(upper
bound frequency) 𝒇𝒖。
4. 說明取得 𝑳𝒑,𝒆𝒒的理念：係累加
𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) 每一個 𝒇𝒄 中心頻率(central frequency)的聲音壓力位準dB，進而得到𝑳𝒑,𝒆𝒒。有兩種單位的呈現方式，分別是 dB 以及 dBA。dB是原始的聲音總量，而dBA則是A加權的聲音總量。
5. 提出Diagnosis 診斷流程之建議：不同於數據的Analysis 分析流程是由左向右，Diagnosis 診斷流程則是由右向左，其解析流程步驟：(1) 𝑳𝒑,𝒆𝒒 的dBA，(2) dBA的𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，(3) dBA的logarithmic座標 𝑮𝒑𝒑(𝒇)，(4) dBA的linear座標
𝑮𝒑𝒑(𝒇)，(5) dB的linear座標
𝑮𝒑𝒑(𝒇)，(6) 𝒑(𝒕)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.01.11
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