這個單元的主題：FFT系列：如何確認FFT頻譜分析程式的正確性？其中，FFT是fast Fourier transform，「快速傅立業轉換」是進行「頻譜分析」(spectral
analysis)的數學方法，讀者可參閱#27：【甚麼是頻譜分析？】。
首先，參閱圖1，對”FFT”作”4W”的思考：
1. “What” is?：甚麼是FFT？FFT是「快速傅立業轉換」(fast
Fourier transform)。
2. “Why” to do?：為什麼要進行FFT「頻譜分析」？
3. “What” to get?：FFT「頻譜分析」可以得到甚麼？
4. “How” to do?：如何檢查FFT「頻譜分析」程式？
要撰寫發展一個「FFT頻譜分析」程式，參閱圖1，可以採用”ISOC”「系統方塊圖」的理念，說明如下：
1. Input 輸入：𝒙(𝒕) 是一個信號的時間波形(time waveform)。
2. System 系統：就是所要發展的FFT「快速傅立業轉換」的「頻譜分析」程式。
3. Output 輸出：𝑿(𝒇) 是 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜」(Fourier spectrum)。
4. Control variables控制變數：由先前單元#179：【FFT系列：FFT參數 Fmax 及 LOR 對量測信號之影響？】，常用的「FFT分析參數」之設定有兩個：「有效頻率」(effective frequency)，fnyq = Fmax，以及「頻率解析條數」(lines of resolution)，Nf = LOR。在此，令Fmax = fnyq= 500 Hz，LOR = Nf = 500 lines。
所以，FFT「快速傅立業轉換」的「頻譜分析」程式，就是要將時間域的信號 𝒙(𝒕)，進行FFT，取得 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜」，𝑿(𝒇) 就是頻率域的信號。
在此，可再對「傅立業頻譜」”𝑿(𝒇)”作”4W”的思考：
1. “What” is ”𝑿(𝒇)”?：𝑿(𝒇) 是 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜」(Fourier spectrum)。
2. “Why” to get ”𝑿(𝒇)”?：為什麼要取得 𝑿(𝒇)，就是要瞭解 𝒙(𝒕) 信號的頻譜特徵(spectrum pattern)。
3. “What” to observe ”𝑿(𝒇)”?：需要瞭解 𝑿(𝒇) 是複數(complex number)。所以需要觀察 𝑿(𝒇) 的振幅值、相位角、實數部、及其虛數部。
4. “How” to check ”𝑿(𝒇)”?：如何檢查”𝑿(𝒇)”的正確性呢？在此，建議分別對「餘弦波」(cosine wave)及「正弦波」(sine wave)，進行檢查與確認。
接著，參閱圖2，已經知道「FFT頻譜分析」：是要將時間域的信號 𝒙(𝒕)，進行FFT，取得 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，就是頻率域的信號。
圖2的左側是「餘弦波」的「時間域」方程式：𝒙(𝒕)=𝑿𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕)，其中，𝑿
是振幅(amplitude)，𝒇𝟎是頻率(frequency)。當𝑿
= 1，𝒇𝟎=10 Hz時，對應的「時間波形」(time waveform)如圖示，符合「餘弦波」的特徵。
對此「餘弦波」時間域信號 𝒙(𝒕) 進行「FFT頻譜分析」，可以得到「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，理論分析是：𝑿(𝒇)=𝑿𝛅(𝒇−𝒇𝟎)，其中，𝛅(𝒇−𝒇𝟎)是Delta函數，意義是在 𝒇=𝒇𝟎 時，其大小為 𝑿，其他頻率皆為零。在此需注意，「餘弦波」的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)是純實數。
以所撰寫的「FFT頻譜分析」程式，進行分析，得到了「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)。由於 𝑿(𝒇) 是複數，參閱圖2左側，可以分別繪製得到，以「振幅值」(amplitude)、「相位角」(phase angle)、「實數部」(real)、及「虛數部」(imaginary)為y軸，而「頻率」(frequency)為x軸的圖示。
同樣的做法，圖2的右側是「正弦波」的「時間域」方程式：𝒙(𝒕)=𝑿𝐬in(𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕)，其中，是 𝑿
振幅值(amplitude)，𝒇𝟎是頻率(frequency)。當𝑿
= 1，𝒇𝟎=10 Hz時，對應的「時間波形」(time waveform)如圖示，符合「正弦波」的特徵。
對此「正弦波」時間域信號 𝒙(𝒕) 進行「FFT頻譜分析」，可以得到「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，理論分析是：𝑿(𝒇)= −j𝑿𝛅(𝒇−𝒇𝟎)，其中，𝛅(𝒇−𝒇𝟎)是Delta函數，意義是在 𝒇=𝒇𝟎 時，其大小為 −j𝑿，其他頻率皆為零。在此需注意，「正弦波」的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)是純虛數。參閱圖2右側，是對應「正弦波」的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)的4個圖示。
針對「餘弦波」及「正弦波」的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，綜合比較討論如下：
1. 理論分析的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)：「餘弦波」的 𝑿(𝒇) 是純實數。「正弦波」的 𝑿(𝒇) 是純虛數。只有在
𝑿(𝒇𝟎)=10 Hz時，有值，其他頻率
𝑿(𝒇)=0。
2. 𝑿(𝒇) 的「振幅值」(amplitude)特徵：「餘弦波」及「正弦波」都相同，在 𝒇𝟎=10 Hz時，都是 1，單是從「振幅值」是無法區別「餘弦波」及「正弦波」的差異。
3. 𝑿(𝒇) 的「相位角」(phase angle) 特徵：要探討「相位角」，請參閱圖2中央，有關「相位角」的定義。「餘弦波」的「相位角」在 𝒇𝟎=10 Hz時，是0°，因為是純實數。「正弦波」的「相位角」在 𝒇𝟎=10 Hz時，是 −90°，因為是純虛數、而且是負虛數。
4. 𝑿(𝒇) 的「實數部」(real) 特徵：「餘弦波」的「實數部」，在 𝒇𝟎=10 Hz時，是 𝑿 = 1，因為是純實數。「正弦波」的「實數部」在 𝒇𝟎=10 Hz時，是0，因為是純虛數。
5. 𝑿(𝒇) 的「虛數部」(imaginary) 特徵：「餘弦波」的「虛數部」，在 𝒇𝟎=10 Hz時，是0，因為是純實數。「正弦波」的「虛數部」在 𝒇𝟎=10 Hz時，是 𝑿 = −1，因為是純虛數、而且是負虛數。
由以上討論，可以應用「餘弦波」及「正弦波」的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)特徵，來檢查所撰寫的「FFT頻譜分析」程式之正確性。
所以，如果以相同的「FFT頻譜分析」程式，分別對「餘弦波」及「正弦波」進行「FFT頻譜分析」，如果能夠得到如圖2的各個圖示結果，那麼這個「FFT頻譜分析」程式就是正確了！
最後，回顧一下這個單元，主要是探討如何確認「FFT頻譜分析」程式的正確性，陳述的重點摘錄如下：
1. 對”FFT”作”4W”的思考：瞭解FFT的意義與內涵。
2. ”ISOC”「系統方塊圖」的理念：在撰寫程式時，可以採用”ISOC”的理念，做對應的思考規劃及發展。
3. 對”𝑿(𝒇)”作”4W”的思考：因為，FFT的「頻譜分析」，是要將時間域的信號 𝒙(𝒕)，進行FFT，取得 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜」，𝑿(𝒇) 就是頻率域的信號。所以，要瞭解”𝑿(𝒇)”的意義與內涵。
4. 如何檢查「FFT頻譜分析」程式的正確性：分別應用「餘弦波」及「正弦波」的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)特徵，來檢查所撰寫的「FFT頻譜分析」程式之正確性。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.08.26
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| 圖1、FFT系列：如何確認FFT頻譜分析程式的正確性？ |
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| 圖2、FFT系列：如何確認FFT頻譜分析程式的正確性？ |
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