在先前單元：【如何求得彈簧的彈簧常數？】，對圖示「質塊彈簧之實體結構」，進行「數學模型化」(mathematical
modeling)，可以得到對應的「數學模型」(mathematical model)，包括：「質量」m、「黏滯阻尼係數」c、「彈簧常數」k，可稱為「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，是典型的振動學課程重要單元之一。
由於「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，有3個重要的系統參數，包括：「質量」m、「黏滯阻尼係數」c、「彈簧常數」k，其中，「質量」m是比較容易度量，「彈簧常數」k，則可以參考【如何求得彈簧的彈簧常數？】的方法取得。本單元將綜合討論，如何由時間域方法，取得彈簧的等效「彈簧常數」k 及「黏滯阻尼係數」c。
假設一個情況，質塊安置於一個彈簧上方，如圖示的「質塊彈簧之實體結構」，為了實務分析的需要，其對應的「數學模型」如圖示，是包含「質量」m、「黏滯阻尼係數」c、「彈簧常數」k的「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」，這個單元的目標，是要求得此彈簧的等效「彈簧常數」k 及「黏滯阻尼係數」c。
以下探討的假設情境：
1. 已知可量測到「質塊彈簧之實體結構」的「質量」m。
2. 又對此「質塊彈簧之實體結構」可進行拉伸或壓縮的僅「初始位移」X0的作用，而且沒有「外力」，f(t)=0，也沒有「初始速度」V0的作用。
3. 同時，可以確實度量到如圖示的質塊「位移響應」x(t) 。
1. 取得質塊的「振盪週期」Tn：由圖示，取一個來回振盪的週期，Tn=1.65–0.8=0.85 (sec)。
2. 計算質塊的「自然頻率」fn：由「週期」與「頻率」的倒數關係，可得到，fn=1/Tn=1.176 (Hz)。
3. 推算彈簧的等效「彈簧常數」k：由「無阻尼自然頻率」ωn=2πfn的方程式，可以推算得到，k=m(2πfn)^2=54.641 (N/m)。在此須注意，為什麼可以由「無阻尼自然頻率」ωn推算等效「彈簧常數」k？由先前單元【甚麼是「對數衰減」？】，因為，系統是「次阻尼」狀態，0<ξ<1，所以，質塊會呈現來回振盪的現象，而振盪的週期具有規律性，實際的週期T=2π/ωd，其中，ωd=ωn*sqrt(1-ξ^2)為「阻尼自然頻率」(damped natural frequency)，而ωn=(k/m)^0.5，是「無阻尼自然頻率」(undamped natural frequency)。實務上，一般的阻尼比都很小，所以，ωd~=ωn，也就是「阻尼自然頻率」相近於「無阻尼自然頻率」，因此，可以由「無阻尼自然頻率」ωn推算等效「彈簧常數」k。
4. 計算位移響應的「對數衰減」δ：由先前單元【甚麼是「對數衰減」？】，參閱圖示，可以得知，x1=0.5、x2=0.45，所以，n=2，可以求得「對數衰減」δ=
ln(x1/x2)=ln(0.5/0.45)=0.105。在此須注意，「對數衰減」δ是無因次的量值。
5. 推算彈簧的等效「黏滯阻尼比」ξ：由「對數衰減」δ和「阻尼比」ξ的關係式，可以求得ξ=δ/2π=0.0167。「阻尼比」ξ也是無因次的系統參數。
6. 取得「臨界黏滯阻尼係數」Cc：引用「臨界黏滯阻尼係數」Cc定義的方程式，由系統「質量」m及第3步驟求得的等效「彈簧常數」k，可以計算求得Cc=2(mk)^0.5=14.7839 (N-s/m)。
7. 推算彈簧的等效「黏滯阻尼係數」c：由「阻尼比」ξ的定義，可以計算得到此系統的「黏滯阻尼係數」c=ξ Cc =0.2479 (N-s/m)。
從以上實際的案例演算，共有7個步驟，主要目的，在求得此「mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」的「彈簧常數」k及「黏滯阻尼係數」c。
這個求得「系統參數k & c」的方法，可以歸類為「時間域方法」，係由「mck單自由度系統」的「自由振動」(free vibration)響應，也就是沒有「外力」，f(t)=0，只有「初始位移」X0及「初始速度」V0的系統「初始條件」(initial condition)之作用。由質塊位移時間域響應之來回週期振盪及衰減的特性，可以循以上介紹的7個步驟，成功的推算出系統的等效「彈簧常數」k及「黏滯阻尼係數」c。
這個單元，主要是探討了由時間域的「自由振動」響應特性，以求得彈簧的等效「系統參數k & c」物理參數。需要熟悉「mck單自由度系統」的系統特性，包括：無外力僅初始條件作用下的「自由振動」響應分析，以及「對數衰減」δ和「阻尼比」ξ的定義，可以說是綜合的應用，希望由本單元的探討，讀者能夠初步了解以「時間域方法」求得「系統參數k & c」的理念與應用。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2019.08.09
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