當進行了FFT頻譜分析，可以得到頻譜(spectrum)，本單元要更深入解釋一下，傅立葉頻譜(Fourier spectrum)以及自身功率頻譜(auto power spectrum)兩者的差異？在實務上，如何應用取得正確、有效的頻譜？
頻譜，簡單說是頻率域的函數，傅立葉頻譜P(f)及自身功率頻譜Gpp(f)，都是頻譜的一種，其他如頻率響應函數(frequency
response function, FRF)，也是一種頻譜，當然物理意義是不同的。可參考先前的單元：【如何量測得到結構的頻率響應函數？】、【常說的【振動頻譜】或【聲音頻譜】指的是甚麼？】
當要對一個信號進行頻譜分析，本單元是取一個聲音信號做說明，請讀者參閱圖示之信號處理流程圖，主要步驟概述如下：
1.
取得聲音的時間域信號p(t)：不管是採用精密的麥克風、或是以PC一般的麥克風錄製聲音，首先要適當選用取樣頻率(sampling frequency)，本案例取樣頻率fs=44100Hz。【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)？】
2.
選用適當的視窗加權函數w(t)：需要觀察所欲分析的信號特徵，以決定選用適當的視窗(window)、或稱加權函數(weighting function)。參閱圖示，顯示常用的window，例如：Exponential、Rectangular、Hanning、Flat top等，有關視窗加權函數，再另闢單元討論。衰減信號使用不同視窗加權對FFT之影響，請參考先前單元：【Window effect on decay signal for FFT】、【Window effect on decay signal for FFT (2)】
3.
取得加權後的時間域信號pw(t)：對一個原始的量測信號p(t)，在進行FFT之前，會將p(t)與w(t)做對應時間的加權相乘，取得加權處理後的時間序列pw(t) =p(t)‧w(t)，再進行FFT。注意：pw(t) =p(t)‧w(t)此相乘方式，是對應時間點的相乘。
4.
對pw(t)執行FFT運算：應用快速傅立葉轉換(fast
Fourier transform, FFT)的數學運算，將時間域的信號，轉換到頻率域，得到此信號的傅立葉頻譜(Fourier spectrum)。【甚麼是頻譜分析？】
5.
觀察傅立葉頻譜(Fourier spectrum)：傅立葉頻譜P(f)是複數(complex number)，通常有興趣的振幅值(magnitude, amplitude)，數學符號表示為|P(f)|。本案例的FFT相關參數，包括：每個區間的時間(time
frame)T=6 sec，終止時間t2=7秒，有效解析頻率fnyq=22050Hz，頻率解析度df=1Hz。注意：傅立葉頻譜只能針對某一個時間區間，進行FFT運算求得。圖示中的傅立葉頻譜|P(f)|是6~7秒之間的頻譜圖。
6.
對傅立葉頻譜P(f)再運算：由傅立葉頻譜P(f)是，取其共軛複數(complex conjugate) P*(f)，可以推算得到自身功率頻譜Gpp(f)=P*(f)P(f)。注意：在此，僅是簡要的表達運算理念，詳細的自身功率頻譜定義，再另闢單元討論。
7.
觀察自身功率頻譜Gpp(f)：自身功率頻譜是純實數；英文auto power spectrum、auto power spectral
density function、auto PSD、auto spectrum，都是常用的名詞。自身功率頻譜可以取平均，本案例，FFT參數設定：開始時間為6秒，每個FFT時間區間time frame為1秒，取10次平均，重疊率為90%，所以，終止時間為7.9秒。
了解了信號處理流程，針對該聲音信號的第四個區間，進行頻譜分析，可以分別得到傅立葉頻譜P(f)以及自身功率頻譜Gpp(f)，參閱圖示，採用4種視窗加權函數的結果討論如下：
1.
Boxcar Window：在傅立葉頻譜|P(f)|圖中，有明顯的柵欄效應(fence effect)，因為只對6~7秒，進行一次FFT運算。在自身功率頻譜Gpp(f)，看起來還正常，比起傅立葉頻譜|P(f)|，沒有發現有柵欄效應(fence effect)，這是因為：(1)本案例FFT分析，設定了10次平均，取得自身功率頻譜Gpp(f)。(2)進行FFT的time frame時間區間，p(t)在終止時間，已經降到接近0，所以，信號沒有被截斷 (truncation)的現象，頻譜圖是蠻正常的。
2.
Hanning Window：在傅立葉頻譜|P(f)|以及自身功率頻譜Gpp(f)，整體頻譜圖可發現Gpp(f)還是比|P(f)|稍微平順，雖然仍有許多的小峰值。然而，這樣的頻譜圖，會讓人不容易判斷真正的信號頻率特徵。先前單元，【Window effect on decay signal for FFT (2)】已經解析此小峰值頻率係來自50Hz倍頻的電雜訊效應。
3.
Exponential 0.1：在傅立葉頻譜|P(f)|圖中，在高頻率800Hz以上，仍有柵欄效應現象。自身功率頻譜Gpp(f)的頻譜圖則可解析的判讀性好了許多，不過，仍然有微小峰值現象。
4.
Exponential 0.01：在傅立葉頻譜|P(f)|圖中，在高頻率800Hz以上，仍有柵欄效應現象。與Exponential 0.1結果相似。可以觀察自身功率頻譜Gpp(f)的頻譜圖是最清楚，可以明確判別頻譜的峰值頻率特徵。因此，可以說對此衰減型信號，以Exponential 0.01的視窗加權函數處理後，進行FFT，所得到頻譜是最好的，因為可以明確判讀主要的峰值頻率，也就是此衰減型信號的頻率特徵。
本單元以一個衰減型信號，說明不同視窗加權函數處理後的FFT頻譜分析的差異，分別觀察傅立葉頻譜P(f)以及自身功率頻譜Gpp(f)，希望讀者可以體會兩種頻譜P(f)以及Gpp(f)的差異。同時，也須了解選擇適當的視窗加權函數之重要性，方可取得較好的頻譜圖，才能夠有意義的解讀頻譜之頻率特徵。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2018.08.07
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