《振動噪音科普專欄》正弦波及餘弦波有甚麼關聯性嗎？

在振動噪音信號的解析，常會以單一頻率的正弦波(sine wave)或餘弦波(cosine wave)來介紹振動的位移、速度及加速度的波動現象，或是說明聲音壓力的聲波波動現象，那麼正弦波與餘弦波之間有甚麼關聯性嗎？為什麼有時候說正弦波，有時候又說餘弦波呢？另外，也會有稱為簡諧波(harmonic wave)，簡諧波是怎樣的波？本單元就來說明，這三個名詞之間到底有甚麼關係呢？

首先，綜合寫出此三個名詞以及其數學方程式，列出如下：

1.     正弦波(sine wave)：x(t)=X*sin(ωt)

2.     餘弦波(cosine wave) ：x(t)=X*cos(ωt)

3.     簡諧波(harmonic wave) ：x(t)=X*sin(ωt)、x(t)=X*cos(ωt)、x(t)=X*exp(iωt)

其中，X為弦波的振幅(amplitude)；ω=2πf為弦波的圓周頻率(circular frequency)，單位：rad/sec；f為弦波的頻率(frequency)，單位：Hz。備註：以上方程式忽略了相位角，便於本單元說明三個名詞的關聯性，可參閱【正弦波的相位角是甚麼？】單元。

就名詞上來說，簡諧波可以說是正弦波及餘弦波的通稱，更明確的說法是單一頻率的簡諧波。

正弦波與餘弦波在波型的本質上是相同的，僅是有相位角的差異，前文解釋過【正弦波的相位角是甚麼？】，本單元會再深入說明正弦波與餘弦波之間的關係，就是相差了90度相位角。

前文，【餘弦波(cosine wave)之數學意義、幾何意義、物理意義？】，就有解釋了餘弦波的幾何意義，要區別正弦波與餘弦波，還是需要由幾何意義的波動曲線圖示，比較能夠說明兩者間的差異，確實只有90度相位角的差異。

參考圖1，分別呈現了正弦波與餘弦波的數學方程式以及波動曲線示意圖。圖2則是說明了正弦波與餘弦波之間，就是相差π/2、或是90度的相位角。也就是波動的曲線特徵，正弦波與餘弦波其實是相同的，只是t=0的參考點位置有所不同。

從波型的幾何圖示，是可以看出正弦波與餘弦波的相位角差異，以及波動的相同特徵。在數學方程式上，就分別有sin 及 cos 函數的定義，爾後單元我們也會介紹以 exponential函數來表示簡諧波的方式。

綜合以上討論，總結如下：

1.     正弦波與餘弦波，分別是以sin 及 cos 函數，定義了兩者的數學方程式，各有其數學意義。

2.     正弦波與餘弦波的波動曲線幾何意義，就波動的特徵而言，本質上是相同的，只是因為t=0的參考點位置不同，而有不同的數學方程式表示。

3.     不管是以正弦波sin函數、或是以餘弦波cos函數，來描述表示一個單一頻率的波動訊號，這樣的波動訊號，都可以泛稱為簡諧波。

4.     簡諧波包含了正弦波與餘弦波。

5.     簡諧波是簡稱，完整的說法是：單一頻率的簡諧波。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2017.12.06

粉絲團文章聯結

影片連結

訂閱電子報