這個單元要來探討的主題是：振動的「功率頻譜」(power spectrum)和「三分之一倍頻頻譜」(one third octave
band spectrum)有甚麼不同？
這是接續上一個單元：#360，【振動的傅立葉頻譜和功率頻譜有甚麼不同？】，一般常說「頻譜」(spectrum)，就有「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)以及「功率頻譜」(power spectrum)，兩者是有很大的差異。這個單元再介紹另一種頻譜，就是「三分之一倍頻頻譜」(one third octave band spectrum)。
參閱圖示左上方，顯示先前單元：#109，【對一個信號進行頻譜分析的原理為何？】，振動的加速度量測信號的頻譜分析流程圖，可以知道有哪些Index 指標。數據的Analysis 分析流程是由左向右： 𝒂(𝒕) → 𝑨(𝒇) → 𝑮𝒂𝒂(𝒇) → 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) → 𝑳𝒂,𝒆𝒒，可以取得各個評估振動加速度的Index 指標。
事實上，在先前單元：#358，【聲音的功率頻譜和三分之一倍頻頻譜有甚麼不同？】，有討論了聲音的「功率頻譜」以及「三分之一倍頻頻譜」，其中，信號分析的原理完全相同，只是分析的對象，由聲音的聲音壓力，改變為振動的加速度。
本單元著重在區別：振動的加速度 「功率頻譜」𝑮𝒂𝒂(𝒇)以及「三分之一倍頻頻譜」𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，實務上，如何取得 𝑮𝒂𝒂(𝒇)以及 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)？以及說明取得 𝑳𝒂,𝒆𝒒的理念。
參閱圖示右邊的系列圖示，依序說明如下：
1. 𝒂(𝒕) = time waveform = 時間波形：量測到的振動加速度響應 𝒂(𝒕)，是量測的原始數據(measured raw data)。本案例，總量測時間：Ttotal = 64 s，設定的平均次數：AVG = 100，所以，一個FFT的分析時間長度，T = Ttotal/AVG = 64/100 = 0.64 s。
2. 𝑨(𝒇) = Fourier spectrum = 傅立葉頻譜：對
𝒂(𝒕)進行FFT快速傅立葉轉換(fast Fourier
transform, FFT)處理，可以得到𝑨(𝒇)
傅立葉頻譜。而理論上，是透過傅立葉轉換(Fourier transform)，由 𝒑(𝒕)取得𝑨(𝒇)，數學表示式：𝑨(𝒇)=𝓕[𝒂(𝒕)]，其中，𝓕[ ]代表傅立葉轉換運算子，是積分計算。本案例，平均次數：AVG = 100，會有100個𝑨(𝒇)，圖示呈現的是𝑨(𝒇) 的振幅值|𝑨(𝒇)|，由於沒有平均，看到的頻譜，不具代表性，通常並不會深入探討，可以視為過程資訊。然而，通常有興趣的平均頻譜是 𝑮𝒂𝒂(𝒇)。
3. 𝑮𝒂𝒂(𝒇) = acceleration spectrum = 振動加速度頻譜：取得的 𝑨(𝒇)，透過PSD (power spectral density, PSD)處理，可以取得振動加速度的功率頻譜(power spectrum, auto PSD
spectrum) 𝑮𝒂𝒂(𝒇)，可簡稱加速度頻譜(acceleration spectrum)。數學表示式：𝑮𝒂𝒂(𝒇)= 𝑨∗(𝒇) 𝑨(𝒇)/𝜟𝒇，其中，∗是取共軛複數(complex conjugate)，𝜟𝒇 = R =頻率解析度，所以，𝑮𝒂𝒂(𝒇)是純實數，可以取平均。本案例，如圖示的𝑮𝒂𝒂(𝒇)，是AVG = 100次的平均。注意：𝑮𝒂𝒂(𝒇)可以有兩種單位的呈現方式，分別是 dB 以及 dBA。dB是原始的加速度頻譜，而dBA則是比照A加權(A weighted)處理的加速度頻譜。讀者可參考單元：#54，【聲音壓力位準dB和dB(A)有甚麼不同？】。因為，噪音常常是由振動所引發的，在觀察加速度頻譜，除了dB之外，也可同步觀察dBA，以對應聲音頻譜的特性。另外，加速度「功率頻譜」𝑮𝒂𝒂(𝒇)，繪圖呈現的方式，x軸：物理量 = 頻率 (Hz)，是可以取LIN (linear) 或是
LOG (logarithmic)座標。x軸，會取LOG座標，主要是配合人體感官的感覺效果，人體對頻率的變動感知聽覺、或感覺是LOG，而不是LIN。另外，也是配合後續的三分之一倍頻頻譜𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)的處理與比較。
4.
𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) = 1/3 octave band
spectrum = 三分之一倍頻頻譜：再由𝑮𝒂𝒂(𝒇)，進行三分之一倍頻(one third octave
band)處理，可以取得 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，主要是配合人體感官的感知效果。參閱圖示可知，𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)同樣也可以有兩種單位的呈現方式，分別是 dB 以及
dBA。
如何取得 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)呢？要先瞭解先前單元：#105，【甚麼是三分之一八音頻帶(one third octave
band)？】。參閱圖示表格，顯示了三分之一八音頻帶的定義，包括：中心頻率(center frequency) 𝒇𝒄，下限頻率(lower
bound frequency) 𝒇𝒍，上限頻率(upper
bound frequency) 𝒇𝒖。可參閱圖示的積分方程式，物理意義說明如下：透過對 𝑮𝒂𝒂(𝒇)取上下限頻帶的積分，也就是𝑮𝒂𝒂(𝒇)曲線和x軸的所圍面積，也就是該頻率區間的總能量，再取根號，就可以得到該中心頻率的加速度RMS值g。 最後，將g單位的加速度，轉換為dB單位的加速度位準、或稱加速度級。相較於dB的𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，dBA的𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)在低頻率區，加速度值明顯的變低了，這就是A加權的效應，因為人耳對低頻率的聽感，比較不靈敏。在此要注意：對於噪音的高貢獻度頻帶之評估，要以聲音壓力dBA的𝑮𝒑𝒑,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)為準。實務上，如果只是處理振動問題，會是以dB的𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)為主。若是處理振動與噪音相關的議題，則建議同時觀察dBA的𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，可以對應噪音響應的關係。
5. 𝑳𝒂,𝒆𝒒 = equivalent acceleration level = 等效加速度位準/加速度級：由𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，可以累加 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) 每一個 𝒇𝒄 中心頻率(central frequency)的加速度位準dB，進而得到𝑳𝒂,𝒆𝒒。簡單說，就是在量測時間內的加速度量大小之平均值，實際上是均能 (equivalent energy)的概念。本案例分別是𝑳𝒂,𝒆𝒒 = 118.44 dB，以及
𝑳𝒂,𝒆𝒒 = 118.36 dBA。𝑳𝒂,𝒆𝒒 的dBA會比較低的原因，就是因為低頻率區，有了A加權的效應，不過，在此案例，兩者的數值很相近，主要原因是主要的振動是來自高頻率的貢獻。
6. 𝑮𝒂𝒂(𝒕,𝒇) = spectrogram = 時頻圖：必須透過時頻分析(time frequency
analysis)，常用短時傅立葉轉換(short time Fourier transform, STFT)處理，以得到時頻圖。本單元暫不深入討論。
7. 𝑳𝒂(𝒕) = sound pressure level = 聲音壓力位準/聲壓級：對應時間軸，每一個瞬間的聲音壓力位準/聲壓級。本單元暫不深入討論。
由以上說明，大致解釋了振動加速度量測信號的頻譜分析流程，可以知道有哪些Index 指標。本單元著重在區別：振動加速度的「功率頻譜」𝑮𝒂𝒂(𝒇)以及「三分之一倍頻頻譜」𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，實務上，如何取得 𝑮𝒂𝒂(𝒇)以及 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)？以及說明取得 𝑳𝒂,𝒆𝒒的理念。
接下來，針對如何解讀振動加速度量測信號的分析數據以及相關圖示呢？參閱圖示左邊上方流程圖，數據的Analysis 分析流程是由左向右，以取得各個評估噪音的Index 指標，而Diagnosis 診斷流程則是由右向左。
Diagnosis 診斷流程之建議，如果，只是單純的處理振動大的問題，建議的順序步驟如圖示的橘色標註編號，順序步驟說明如下：
1. 觀察𝑳𝒂,𝒆𝒒 的dB：也就是瞭解振動加速度總量的OA值(overall value)，亦即均能加速度位準/加速度級，單位：dB。本案例：𝑳𝒑,𝒆𝒒 = 118.44 dB。
2. 觀察dB的𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)：目的在瞭解主要振動加速度貢獻頻帶。本案例，高貢獻度頻帶是 𝒇𝒄 = 4000 Hz 以及𝒇𝒄 = 5000 Hz，甚至由於𝒇𝒄 = 25、63、1250 Hz比起鄰近的頻帶，高出約10 dB，所以可能出現純音效應(pure tone effect)的異常振動。
3. 觀察dB的logarithmic座標
𝑮𝒂𝒂(𝒇)：目的在瞭解對應於𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)的高貢獻頻帶，透過𝑮𝒂𝒂(𝒇)圖示，來判斷係來自哪個頻率區間的振動加速度頻譜響應。
如果，振動的量測是要處理振動與噪音相關的議題，除了前述的步驟外，建議也可加入加速度dBA的𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)的探討，建議的順序步驟如圖示的藍色標註編號，順序步驟說明如下：
1. 觀察𝑳𝒂,𝒆𝒒 的dBA：也就是瞭解振動加速度總量A加權的OA值(overall
value)，亦即均能加速度位準/加速度級，單位：dBA。本案例：𝑳𝒂,𝒆𝒒 = 118.36 dBA。此量值，和𝑳𝒂,𝒆𝒒 = 118.44 dB，幾乎相等，主要原因是主要的振動是來自高頻率的貢獻。
2. 觀察dBA的𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)：目的在瞭解主要加速度貢獻頻帶。本案例，高貢獻度頻帶是 𝒇𝒄 = 4000 Hz 以及𝒇𝒄 = 5000 Hz，同時，也要注意：是否有𝒇𝒄 的振幅值，比起鄰近的頻帶振幅值，有高出10 dBA者，這是可能會出現純音效應(pure tone effect)的異常振動。
3. 觀察dBA的logarithmic座標
𝑮𝒂𝒂(𝒇)：目的在瞭解對應於𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)的高貢獻頻帶，透過𝑮𝒂𝒂(𝒇)圖示，來判斷係來自哪個頻率區間的加速度頻譜響應。
4. 觀察dBA的linear座標
𝑮𝒂𝒂(𝒇)：在linear座標的𝑮𝒂𝒂(𝒇)圖示，可以判斷，例如：與轉速倍頻(harmonics of
rotating speed)相關的效應，或是可能的共振(resonance)影響。
5. 觀察dB的linear座標
𝑮𝒂𝒂(𝒇)：目的在瞭解實際原始振動的加速度頻譜的分布狀態，常會和噪音的聲音頻譜作比較探討。
6. 觀察
𝒂(𝒕)原始量測數據：必要時可追溯量測到的加速度響應
𝒂(𝒕)，是量測的原始數據(measured raw data)，可以輔助佐證判斷頻譜的特徵。
最後，綜合一下這個單元的討論：
1. 回顧了先前單元：#109，【對一個信號進行頻譜分析的原理為何？】：振動加速度量測信號的頻譜分析流程圖，𝒂(𝒕) → 𝑨(𝒇) → 𝑮𝒂𝒂(𝒇) → 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) → 𝑳𝒂,𝒆𝒒。數據的Analysis 分析流程是由左向右，以取得各個評估振動加速度的Index 指標。
2. 本單元著重在區別：𝑮𝒂𝒂(𝒇)
振動加速度的「功率頻譜」(power spectrum)以及𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)「三分之一倍頻頻譜」(one third octave
band spectrum)，以及對應的數學學理以及數值分析。
3. 回顧了先前單元：#105，【甚麼是三分之一八音頻帶(one third octave
band)？】。重要名詞與三分之一八音頻帶的定義，包括：中心頻率(center frequency) 𝒇𝒄，下限頻率(lower
bound frequency) 𝒇𝒍，上限頻率(upper
bound frequency) 𝒇𝒖。
4. 說明取得 𝑳𝒂,𝒆𝒒的理念：係累加
𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) 每一個 𝒇𝒄 中心頻率(central frequency)的加速度位準dB，進而得到𝑳𝒂,𝒆𝒒。有兩種單位的呈現方式，分別是 dB 以及 dBA。dB是原始的加速度總量，而dBA則是對比聲音A加權的加速度總量。
5. 提出Diagnosis 診斷流程之建議：不同於數據的Analysis 分析流程是由左向右，Diagnosis 診斷流程則是由右向左，在振動問題的解析流程，可以區分兩種情形：一則是單獨處理振動問題，建議步驟：(1) 𝑳𝒂,𝒆𝒒 的dB，(2) dB的𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，(3) dB的logarithmic座標 𝑮𝒂𝒂(𝒇)，(4) dB的linear座標
𝑮𝒂𝒂(𝒇)，(5) 𝒂(𝒕)。一則是處理振動與噪音相關的問題，有可能需要考慮dBA的頻譜，建議步驟：(1) 𝑳𝒂,𝒆𝒒 的dBA，(2) dBA的𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，(3) dBA的logarithmic座標 𝑮𝒂𝒂(𝒇)，(4) dBA的linear座標
𝑮𝒂𝒂(𝒇)，(5) dB的linear座標
𝑮𝒂𝒂(𝒇)，(6) 𝒂(𝒕)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.02.27
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