工程師對一個結構進行了理論模態分析(theoretical modal
analysis)，可以求解得到結構的「自然頻率」(natural frequency)以及對應的「模態振型」(mode shape)。如何解讀結構「模態振型」的物理意義呢？本文針對圓形平板結構「模態振型」之物理意義解讀方式作個介紹。
結構的振動模態(vibration
modes)，包括：自然頻率(natural
frequency)、模態振型(mode
shape)、及模態阻尼比(modal
damping ratio)。此三個參數稱為模態參數(modal
parameters)，振動模態是系統的特性，我們可以由理論分析、數值解析求得結構的「理論模態參數」；也可以由實驗方法，以「實驗模態分析」，求得「實際結構的模態參數」，可參考先前單元：【甚麼是【實驗模態分析】？What is 'Experimental Modal Analysis' (EMA)？】。
如圖1，是一個四週固定邊界的圓形平板結構，進行「理論模態分析」所求得的「自然頻率」以及對應的「模態振型」，看到彩色的圖示、甚至動畫，是不是有眼花撩亂的感覺？
從圖1，可以得知四週固定邊界的圓形平板結構的前20個振動模態，包括：「自然頻率」以及對應的「模態振型」，重點摘錄如下：
1.
這個圓板結構在400Hz以內，就有20結構振動模態：第1個自然頻率是34.66Hz，第20個自然頻率是387.44Hz。自然頻率通常由小排到大。
2.
軸對稱模態(axisymmetric mode)：由於是圓形的軸對稱結構，振動模態會有軸對稱的模態，如第2及第3個模態，自然頻率都是72.13Hz；其他如4/5、7/8、9/10、11/12、13/14、16/17、18/19都是倆倆的軸對稱模態。特徵是自然頻率相同，模態振型的物理意義相同，但是有90度相位角的差異。預期第21個模態也是與第20個模態是軸對稱的模態。
3.
非軸對稱模態(non-axisymmetric mode)：在這20個振動模態中，也有3個模態是非軸對稱模態，分別是：第1個自然頻率是34.66Hz，第6個自然頻率是134.92Hz，及第15個自然頻率是302.24Hz。
圖2標示了每個振動模態的節線(nodal
line)，節線是有甚麼意義呢？在節線位置，圓板是不會來回振動，也就是不動點的位置。從圖2及影片的說明，重點如下：
1.
圓形平板可以以(r, θ)極座標的方式，藉以表示模態振型的物理意義。
2.
θ=0，是沿著圓週方向，沒有節線。θ=1，沿著圓週方向，有一條節線。θ=2，沿著圓週方向，有兩條節線。θ=3，沿著圓週方向，有三條節線。
3.
r=0，是沿著半徑方向，沒有節線。r=1，是沿著半徑方向，有一圈的節線。r=2，是沿著半徑方向，有兩圈的節線。
4.
綜合起來，圓形平板的模態振型物理意義，就可以由(r, θ)=(0,0)、(r, θ)=(1,0)、(r, θ)=(2,0)、(r, θ)=(0,1)、(r, θ)=(0,2)、(r, θ)=(0,3)等方式來標示。看到如(r, θ)=(1,3)，就可以知道是沿著半徑方向，有一圈的節線，而沿著圓週方向，有三條節線。
5.
須注意，自然頻率由小到大出現的順序，在圖2中，以(r, θ)方式標示的方式，是不規則跳動。
6.
也可以預期，自然頻率越高，所對應的模態振型將越複雜，複雜是指「節線」的數量會越多。
透過圖2以(r, θ)方式，標示圓形平板的模態振型物理意義，可以快速方便讓人一目了然，更能夠有意義的解釋振動模態的變化情形。
希望本文對解讀圓形平板結構模態振型(mode shape)物理意義的說明，對您有幫助！
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2018.05.08
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