《振動噪音科普專欄》甚麼是頻譜的摺疊效應(folding effect)？

在FFT快速傅立葉轉換的信號處理中，就是將時間域訊號x(t)，轉換到頻率域求得其對應的頻譜X(f)，頻譜會有折疊效應(folding effect)，到底折疊效應是甚麼？為什麼會有折疊效應？折疊效應有甚麼影響？如何避免折疊效應？如果無法避免折疊效應，該如何處理呢？

本單元的介紹，假設讀者已經看過先前的【甚麼是頻譜分析？】、【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)？】，或是已經了解FFT的基本概念。

參閱圖示上方，分別為數位化的時間域x(t)，以及經FFT運算取得的數位化及離散化(discretized)頻譜X(f)的圖示。在數位化的時間域信號x(t)，係由取樣頻率決定了時間間距，而頻譜X(f)的有效頻寬(Nyquist frequency)，則是取樣頻率的一半。

所謂的頻譜折疊效應，如圖下方所示，在Nyquist frequency有效頻寬的倍數頻率值之位置，相當於是摺疊線。在小於Nyquist frequency有效頻率以前，數位化的藍色曲線是有效的、有意義的頻譜分析結果。

由於，FFT過程，做了數位化、區間化的假設處理，因此，頻譜曲線就會依照Nyquist frequency有效頻寬的倍數頻率值之位置為摺疊線，形成如圖示的重複區域，橘色曲線是第一次的摺疊，餘此類推。

綜合討論如下：

(1)      頻譜摺疊效應的現象：Nyquist frequency有效頻寬的倍數頻率值之位置為摺疊線，形成摺疊的重複、週期性的頻譜圖，但是，有效的、有意義的頻譜，僅在小於Nyquist frequency以下的頻率範圍。

(2)      頻譜摺疊效應的原因：乃是因為時間域x(t)信號的數位化，又僅取了有限區間的x(t)，進行FFT運算，所以就自動假設為週期性的x(t)信號。因此，頻譜X(f)，也成為數位化、週期性的頻譜特性。

(3)      頻譜摺疊效應的影響：雖然頻譜X(f)可以無限的摺疊，但是，真正有效的頻譜，僅在小於Nyquist frequency以下的頻率範圍。

(4)      如何避免頻譜摺疊效應：這是無法避免的現象，必須認知，Nyquist frequency有效頻率只有sampling frequency取樣頻率的一半。

(5)      如果無法避免頻譜摺疊效應，該如何處理呢？通常，(1)要確認我們有興趣的頻率範圍，來決定量測時的取樣頻率。同時，(2)為避免有假像頻率(aliasing frequency)出現，也要將時間域x(t)信號在Nyquist frequency以上的信號濾除，所以在量測中，會施以低通濾波器(low pass filter)，又稱為反假象濾波器(Anti-Aliasing Filter, AA filter)，濾除高於Nyquist frequency以上的高頻率信號，我們爾後再另文討論。

本單元討論對信號進行頻譜分析之頻譜摺疊效應的現象、原因及其影響，希望對讀者有幫助。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2017.10.14

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