《振動噪音產學技術聯盟》為什麼模態分析，不一定需要設定阻尼？

這個單元要來探討的主題是：為什麼「模態分析」(Modal analysis)，不一定需要設定「阻尼」(damping)？

 

破題就以【4W】的思維，來探討一下「模態分析」(Modal analysis)：

 

1.      What is? 甚麼是「模態分析」？

2.      Why to do? 為什麼要進行「模態分析」？

3.      What goals? 進行「模態分析」，要達到甚麼目標？

4.      How to do? 如何進行「模態分析」？

 

首先，What is? 甚麼是「模態分析」？是4種振動分析類型(four types of vibration analysis)之一。先前單元，介紹過「振動分析」(vibration analysis)可以概分為4種振動分析類型，分別是：模態Modal、簡諧Harmonic、暫態Transient、頻譜Spectrum。

 

其次，Why to do? 為什麼要進行「模態分析」？目的在，瞭解結構的「振動模態」(vibration modes)。

 

其中，「結構/振動系統」(structure/vibration system)，參閱圖片的表格，可以概分為兩種：

 

1.      「離散系統」(Discrete system)：「離散系統」的主要特徵，質塊等物體，會是「剛體」(rigid body)的假設，通常會由彈簧、阻尼元件，連接組成。可以區分為：(1) 「單自由度系統」(SDOF system)，(2) 「多自由度系統」(MDOF system)。

2.      「連續系統」(Continuous system)：物體都是考慮為「彈性體」(elastic body)或「撓性體」(flexible body)的假設，也就是結構體是會變形的。可以區分如下：(1) 「線側向振動」(string lateral vibration)，(2) 「柱軸向振動」(bar axial vibration)，(3) 「軸扭轉振動」(shaft torsional vibration)，(4) 「樑側向振動」(beam lateral vibration)，(5) 「板側向振動」(plate lateral vibration)，(6) 「任意結構三軸向振動」(arbitrary structure in triaxial vibration)。

 

「模態分析」就是要瞭解以上各種結構系統的「振動模態」(vibration modes)。

 

接著，What goals? 進行「模態分析」，要達到甚麼目標？要瞭解結構系統的「振動模態」(vibration modes)，就是要得到系統的「模態參數」(Modal parameters)，包括：

 

1.      𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)。𝝎𝒓= 𝟐𝝅 𝒇𝒓。𝝎𝒓的單位：rad/sec。𝒇𝒓的單位：Hz。

2.      𝝓𝒓「模態振型」(mode shape)。在SDOF系統，沒有𝝓𝒓。在MDOF系統，𝝓𝒓是{𝝓𝒓}「模態振型向量」(mode shape vector)。在連續系統，𝝓𝒓是𝝓𝒓(𝒙)「模態振型函數」(mode shape function)

3.      𝝃𝒓「阻尼比」(damping ratio)。在SDOF系統，𝒓= 𝟏。在MDOF系統，𝒓=𝟏,𝟐,…𝑵。𝑵是自由度的數量。在連續系統，𝒓=𝟏,𝟐,…。會有無窮多組的「模態參數」。

 

需要注意的是，三個「模態參數」是成對出現的。也就是每一個「振動模態」，會有三個「模態參數」：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。

 

再來，How to do? 如何進行「模態分析」？可以區分兩種方法：

 

1.      「正交模態分析」(Normal Mode analysis)、或稱「實數模態分析」(Real Mode analysis)。

2.      「複數模態分析」(Complex Mode analysis)。

 

以「多自由度系統」(MDOF system)為例，參閱圖片左下方的「運動方程式」(equation of motion, EOM)。進行「正交模態分析」，係假設系統的「阻尼」(damping)是「比例阻尼」(proportional damping)，也就是「雷利阻尼」(Rayleigh damping)：[𝑪] = 𝜶[𝑴] + 𝜷[𝑲]。其中，𝜶 和 𝜷 是任意常數。符合這個關係，就稱為「雷利阻尼」(Rayleigh damping)，也就「比例阻尼」系統。

 

所以，在「正交模態分析」，可以忽略[𝑪]「阻尼」(damping)效應。就可以得到「模態參數」：𝒇𝒓、{𝝓𝒓}。再由阻尼矩陣的比例關係，可以推導得到「阻尼比」(damping ratio)：𝝃𝒓 = 𝜶 / (𝟐 𝝎𝒓 ) + (𝜷 𝝎𝒓)/𝟐。

 

如果，[𝑪] ≠ 𝜶[𝑴] + 𝜷[𝑲]，也就是「非比例阻尼」(non-proportional damping)，進行「模態分析」，不可以忽略[𝑪]，必須納入系統的[𝑪]「阻尼」(damping)效應，就是「複數模態分析」(Complex Mode analysis)。

 

在求解「非比例阻尼」(non-proportional damping)系統，其EOM「運動方程式」的矩陣「特徵值問題」(eigenvalue problem)，求得的𝝀𝒓「特徵值」(eigenvalue)與{𝝍𝒓 }「特徵向量」(eigenvector)，會是複數(complex number)。

 

可進而取得系統的「模態參數」：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。其中，𝝓𝒓是複數的「模態振型」(mode shape)。不同於「比例阻尼」(proportional damping)系統，𝝓𝒓是實數的「模態振型」(mode shape)。

 

回到這個單元討論的主題：為什麼「模態分析」(Modal analysis)，不一定需要設定「阻尼」(damping)？就看所欲進的是「正交模態分析」(Normal Mode analysis)、或「複數模態分析」(Complex Mode analysis)。

 

1.      「正交模態分析」(Normal Mode analysis) / 「實數模態分析」(Real Mode analysis)：適用在「比例阻尼」(proportional damping)系統，可以忽略[𝑪]，所以不需要設定「阻尼」(damping)，就可以進行「模態分析」，取得「模態參數」：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。其中，𝝓𝒓是實數的「模態振型」(mode shape)。

2.      「複數模態分析」(Complex Mode analysis)：適用在「非比例阻尼」(non-proportional damping)系統，不可以忽略[𝑪]，所以需要設定「阻尼」(damping)，才可以進行「模態分析」，取得「模態參數」：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。其中，𝝓𝒓是複數的「模態振型」(mode shape)。

 

綜合這個單元的討論，總結如下：

 

1.      以【4W】的思維，破題探討「模態分析」(Modal analysis)：(1) What is? 甚麼是「模態分析」？。(2) Why to do? 為什麼要進行「模態分析」？。(3) What goals? 進行「模態分析」，要達到甚麼目標？。(4) How to do? 如何進行「模態分析」？。

2.      如何進行「模態分析」(Modal analysis)？可以區分兩種方法：(1) 「正交模態分析」(Normal Mode analysis)、或稱「實數模態分析」(Real Mode analysis)：適用在「比例阻尼」(proportional damping)系統，可以忽略[𝑪]，所以不需要設定「阻尼」(damping)。(2) 「複數模態分析」(Complex Mode analysis)：適用在「非比例阻尼」(non-proportional damping)系統，不可以忽略[𝑪]，所以需要設定「阻尼」(damping)。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2024.12.31

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《振動噪音產學技術聯盟》針對振動分析，結構系統如何分類？

這個單元要來探討的主題是：針對「振動分析」(Vibration Analysis)，「結構/振動系統」(structure/vibration system)如何分類？

 

首先，參閱圖片左邊的表格，說明了「振動系統」(vibration system)的4種振動分析類型(four types of vibration analysis)。

 

首先，來看「振動系統」(vibration system)的分類，說明如下：

 

1.      「離散系統」(Discrete system)：「離散系統」的主要特徵，質塊等物體，會是「剛體」(rigid body)的假設，通常會由彈簧、阻尼元件，連接組成。

2.      「連續系統」(Continuous system)：物體都是考慮為「彈性體」(elastic body)或「撓性體」(flexible body)的假設，也就是結構體是會變形的。

 

「離散系統」(Discrete system)可以區分為：

 

1.      「單自由度系統」(SDOF system)：如圖示的m、c、k質塊彈簧阻尼系統。其「運動方程式」(equation of motion, EOM)是二階(second order)的「常微分方程」(ordinary differential equation, ODE)。

2.      「多自由度系統」(MDOF system)：如圖示，是三個質塊和三個彈簧阻尼的三個自由度的系統。其EOM「運動方程式」是聯立的(coupled)、二階(second order)的「常微分方程組」(ordinary differential equations, ODEs)。

 

「連續系統」(Continuous system)，從簡單到複雜的「數學模型」(mathematical model)，可以區分如下：

 

1.      「線側向振動」(string lateral vibration)：如圖示的小提琴的琴弦振動，又如吉他弦、鋼琴線的振動都是。其EOM「運動方程式」是二階(second order)的「偏微分方程」(partial differential equation, PDE)。

2.      「柱軸向振動」(bar axial vibration)：如圖示，就是只考慮了沿著柱軸向的振動特性。其EOM「運動方程式」也是二階(second order)的「偏微分方程」(partial differential equation, PDE)。

3.      「軸扭轉振動」(shaft torsional vibration)：如圖示，就是考慮了軸旋轉的振動模態效應。其EOM「運動方程式」也是二階(second order)的「偏微分方程」(partial differential equation, PDE)。

4.      「樑側向振動」(beam lateral vibration)：如圖示的懸臂樑，會取其中性軸(neutral axis)，建構數學模型。其EOM「運動方程式」是四階(fourth order)的「偏微分方程」(partial differential equation, PDE)。

5.      「板側向振動」(plate lateral vibration)：如圖示的懸臂板，會取板的中性面(neutral surface)，建構數學模型。其EOM「運動方程式」也是四階(fourth order)的「偏微分方程」(partial differential equation, PDE)，不過，多考慮了板的二維空間(𝒙,𝒚)。

6.      「任意結構三軸向振動」(arbitrary structure in triaxial vibration)：在任意幾何結構的振動分析，很難有如：線、柱、軸、樑、板結構，有具體的數學模型及EOM「運動方程式」。實務上，可以透過「有限元素分析」(finite element analysis, FEA)進行理論數值分析，系統的EOM「運動方程式」就會是MDOF「多自由度系統」的運動方程式形式。

 

再來，「振動分析」(vibration analysis)可以概分為有4種振動分析類型(four types of vibration analysis)：

 

1.      「模態分析」(Modal analysis)

2.      「簡諧響應分析」(Harmonic response analysis)

3.      「暫態響應分析」(Transient response analysis)

4.      「頻譜響應分析」(Spectrum response analysis)

 

再參閱圖片表格，先從SDOF「單自由度系統」來看4種振動分析，可以得到的分析結果：

 

1.      模態Modal：可以得到系統的「模態參數」(Modal parameters)，包括：𝒇𝒏「自然頻率」(natural frequency)、𝝃「阻尼比」(damping ratio)。

2.      簡諧Harmonic：假設外力是簡諧力(harmonic force)，系統穩態響應也是簡諧響應(harmonic response)，可以得到系統的「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)，係簡諧外力輸入𝒇(𝒕)和簡諧位移輸出𝒙(𝒕)之間的振幅關係。FRF = 𝑯(𝒇)=𝑿(𝒇)/𝑭(𝒇) 。

3.      暫態Transient：在已知 𝒇(𝒕) 外力，可以求得系統的 𝒙(𝒕) 位移響應。

4.      頻譜Spectrum：如果外力是隨機激振(random excitation)，在已知 𝑮𝒇𝒇(𝒇) 外力功率頻譜，可以求得系統的 𝑮𝒙𝒙 (𝒇) 位移功率頻譜。

 

其次，從MDOF「多自由度系統」來看4種振動分析，可以得到的分析結果：

 

1.      模態Modal：可以得到系統的「模態參數」(Modal parameters)，包括：𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)、{𝝓𝒓}「模態振型向量」(mode shape vector)、𝝃𝒓「阻尼比」(damping ratio)。其中，𝒓=𝟏,𝟐,…𝑵。當有𝑵個自由度，就可取得𝑵組的「模態參數」：𝒇𝒓、{𝝓𝒓}、𝝃𝒓。

2.      簡諧Harmonic：假設外力是簡諧力(harmonic force)，系統的穩態響應也會是簡諧響應(harmonic response)，可以得到系統的「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)，係簡諧外力輸入𝒇𝒋 (𝒕) 和簡諧位移輸出𝒙𝒊 (𝒕)之間的振幅關係。FRF = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)= 𝑿𝒊 (𝒇)/𝑭𝒋 (𝒇)。

3.      暫態Transient：在已知 𝒇𝒋 (𝒕) 外力，可以求得系統的 𝒙𝒊 (𝒕) 位移響應。

4.      頻譜Spectrum：如果外力是隨機激振(random excitation)，在已知 𝑮𝒇𝒋𝒇𝒋 (𝒇) 外力功率頻譜，可以求得系統的 𝑮𝒙𝒊𝒙𝒊 (𝒇) 位移功率頻譜。

 

接著，觀察「連續系統」(Continuous system)，和MDOF「多自由度系統」很類似，由「線側向振動」(string lateral vibration)來看4種振動分析，可以得到的分析結果：

 

1.      模態Modal：可以得到系統的「模態參數」(Modal parameters)，包括：𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)、𝝓𝒓(𝒙)「模態振型函數」(mode shape function)、𝝃𝒓「阻尼比」(damping ratio)。其中，𝒓=𝟏,𝟐,…。不同的是，會有無窮多組的「模態參數」：𝒇𝒓、𝝓𝒓(𝒙)、𝝃𝒓。而且，𝝓𝒓(𝒙)是函數、不是向量。

2.      簡諧Harmonic：假設外力是簡諧力(harmonic force)，系統穩態響應也是簡諧響應(harmonic response)，可以得到系統的「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)，係簡諧外力輸入𝒇𝒋 (𝒕) = 𝒇(𝒙𝒋,𝒕) 和簡諧側向位移輸出 𝒘𝒊 (𝒕) = 𝒘(𝒙𝒊,𝒕)之間的振幅關係。FRF = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)= 𝑾𝒊(𝒇)/𝑭𝒋(𝒇)。

3.      暫態Transient：在已知 𝒇𝒋 (𝒕) = 𝒇(𝒙𝒋,𝒕) 外力，可以求得系統的 𝒘𝒊 (𝒕) = 𝒘(𝒙𝒊,𝒕) 位移響應。

4.      頻譜Spectrum：如果外力是隨機激振(random excitation)，在已知 𝑮𝒇𝒋𝒇𝒋 (𝒇) 外力功率頻譜，可以求得系統的 𝑮𝒘𝒊𝒘𝒊 (𝒇) 位移功率頻譜。

 

綜合這個單元的討論：針對「振動分析」(Vibration Analysis)，「結構/振動系統」(structure/vibration system)如何分類？總結如下：

 

1.      「結構/振動系統」(structure/vibration system)的分類：(1) 「離散系統」(Discrete system)。(2) 「連續系統」(Continuous system)。

2.      說明了「振動系統」(vibration system)的4種振動分析類型(four types of vibration analysis)，可以得到的分析結果。4種振動分析，分別是：模態Modal、簡諧Harmonic、暫態Transient、頻譜Spectrum。

 

從系統的「運動方程式」(equation of motion, EOM)來看：

 

1.      「單自由度系統」(SDOF system)：二階(second order)的「常微分方程」(ordinary differential equation, ODE)。

2.      「多自由度系統」(MDOF system)：聯立的(coupled)、二階(second order)的「常微分方程組」(ordinary differential equations, ODEs)。

3.      「連續系統」(Continuous system)：都是「偏微分方程」(partial differential equation, PDE)。在線、柱、軸，對 𝒙 是二階偏微分。在樑，對 𝒙 是四階偏微分。在平板，對 (𝒙,𝒚) 是四階偏微分。

 

從以上的說明，可以瞭解到學習工程數學的重要性，在結構的振動分析，在在需要工程數學的基礎，包括：(1)「常微分方程」(ordinary differential equation, ODE)、(2) 聯立「常微分方程組」(ordinary differential equations, ODEs)、(3)「偏微分方程」(partial differential equation, PDE)。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2024.12.28

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