這個單元要來探討的主題是：都可以測定材料的「動態模數」(dynamic modulus)與「阻尼」(damping)，ASTM E 756 與
ASTM
D 5992有甚麼異同？
首先，參閱圖片上方，兩個圖示，分別摘錄自兩篇單元：
1.
#405，【如何應用ASTM E 756的理念，求得一個結構材料的動態剛性與阻尼？】。ASTM E 756，英文名稱：Standard Test Method
for Measuring Vibration-Damping Properties of Materials。中文名稱：量測材料振動阻尼特性的標準測試方法。
2. #404，【如何以振動方法取得橡膠類材料之動態模數以及阻尼參數？ – ASTM D 5992】。ASTM D 5992是怎樣的標準或規範呢？英文名稱：Dynamic Testing of
Vulcanized Rubber and Rubber-Like Materials Using Vibratory Methods。中文名稱：使用振動方法對硫化橡膠和橡膠類材料進行動態測試。
彙整ASTM E 756的理念，如下：
1. 目的：在使用「振動方法」(Vibratory Methods)，取得硬質材料之「動態模數」(dynamic modulus)以及「阻尼」(damping)參數。適用在可製作成如規範訂出的均勻懸臂薄樑(uniform cantilever beam)試體，所以適用在硬質材料。也可以採用規範理念，應用在任意形狀的單體結構。
2. 「動態模數」(dynamic modulus)定義與取得方式：𝑬 = 𝝈/𝜺 = (𝟏𝟐𝝆𝑳^𝟒 𝒇𝒓^𝟐)/(𝑯^𝟐 𝑪𝒓^𝟐 )。其中，𝝆
是試體材料的密度，單位：kg/m^3。𝑳 和 𝑯 分別是懸臂樑的長度和厚度，單位：m。𝒇𝒓是懸臂樑第𝒓個自然頻率。𝑪𝒓是懸臂樑的第𝒓個模態係數，圖中，顯示了前5個模態的 𝑪𝒓 值。由於結構系統有多振動模態，每個𝒇𝒓，可得到對應的𝑬𝒓。
3. 「試體」(specimen)：依照規範，如圖片左上方，是採用均勻懸臂薄樑(uniform cantilever beam)試體。也可以採用規範理念，應用在任意形狀的單體結構，如圖示的響鈴板結構。
4. 數學模型：規範採用均勻懸臂薄樑，也可以擴充應用在任意形狀結構，因此，是「連續系統」(continuous system)。又，係透過簡易的實驗模態分析(experimental
modal analysis, EMA)，以衝擊鎚(impact
hammer)敲擊樑結構，可得到外力頻譜𝑭𝒋 (𝒇)。另外，以加速度規(accelerometer)量測樑結構的加速度響應頻譜𝑨𝒊 (𝒇)。所以，是外力激振(force excitation)。
5. 量測FRF「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)：係衝擊鎚外力輸入，與加速度規量測結構的加速度響應輸出，兩者之間的系統FRF = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)=𝑨𝒊 (𝒇)/𝑭𝒋 (𝒇)。
6. 取得「自然頻率」：由量測的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)，可求得「自然頻率」𝒇𝒓, 𝒓=𝟏,𝟐,…。因為，結構是連續系統，理論上，會有無窮多個「自然頻率」。
7. 取得「動態模數」：由於結構系統有多個振動模態，每個𝒇𝒓，可得到對應的𝑬𝒓。因此，可取其平均值(mean value)，推算「動態模數」(dynamic modulus) = 𝑬= (∑𝑬𝒓
)/𝑵。
8. 取得「阻尼比」：以半能量點法(Half Power Point method)，取得「阻尼比」(damping ratio) = 𝝃：𝝃𝒓 ≅
(𝒇𝒃−𝒇𝒂)/(𝟐𝒇𝒓 ) = 𝜟𝒇/(𝟐𝒇𝒓 )。其中，𝒇𝒂
和 𝒇𝒃頻率值：由半能量點=𝑸/√𝟐，與|𝑯(𝒇)|曲線交叉的位置，會有兩個交叉點，此兩個交叉點的頻率值，分別就是𝒇𝒂
和 𝒇𝒃。𝜟𝒇=(𝒇𝒃−𝒇𝒂)。由於結構系統有多個振動模態，每個𝒇𝒓，可得到對應的𝝃𝒓。因此，可取其平均值(mean value)，推算「黏滯阻尼比」(viscous damping
ratio)= 𝝃
= (∑𝝃𝒓
)/𝑵。
彙整ASTM D 5992的理念，如下：
1. 目的：在使用「振動方法」(Vibratory Methods)，取得「橡膠類材料」(Rubber-Like Materials)之「動態模數」(dynamic modulus)以及「阻尼」(damping)參數。適用在小尺寸橡膠材料，沒有特定的指定用途，如隔振墊、墊片等橡膠材料。
2. 「動態模數」(dynamic modulus)定義與取得方式：𝑬
= 𝝈/𝜺 = (𝑭⁄𝑨)/(𝒙⁄𝑳) = (𝑭/𝒙) (𝑳/𝑨)= 𝒌 𝑳/𝑨。其中，𝑬 = 𝝈/𝜺，是「彈性模數」的定義，實際單位：N/m^2=Pa，慣用單位： MN/m^2=MPa。𝝈 = 𝑭⁄𝑨 是應力，單位： N/m^2=Pa。而是𝜺=𝒙⁄𝑳應變。𝑳 是試體的高度，𝑨= 𝒂 ^𝟐是試體的面積。
3. 「試體」(specimen)：如圖片右上方，大小，25 mm X 25 mm。厚度=12.5 mm。採取較小的平面尺寸，主要是對小尺寸的應用，如隔振墊、墊片等橡膠材料。
4. 數學模型：SDOF –
基座激振(base excitation)。如圖示，受到「基座激振」𝒚(𝒕)作用，質塊會有「位移」𝒙(𝒕)的響應。實務上，會採用加速度規，量測基座加速度= 𝒂𝒋 (𝒕)，以及質塊加速度=𝒂𝒊 (𝒕)。
5. 量測FRF「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)：係基座與質塊兩者之間的關係，FRF =加速度「傳輸比」(Transmissibility) = 𝑻𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇) / 𝑨𝒋(𝒇)。
6. 取得「自然頻率」：由量測的FRF= 𝑻𝒊𝒋 (𝒇)，可求得「自然頻率」𝒇𝒏。
7. 取得「動態模數」：必須先推算「彈簧常數」：𝒌=𝒎(𝟐𝝅𝒇𝒏)^𝟐。再取得「動態模數」，𝑬=𝒌
𝑳/𝑨。
8. 取得「阻尼比」：由 𝑻𝒊𝒋
(𝒇)，(1)取得 𝑸
= 𝑻𝐦𝐚𝐱 (𝒇)。(2) 推算阻尼比
= 𝝃
= 𝟏/𝟐𝑸。
比較一下ASTM E 756與
ASTM
D 5992有甚麼相同之處，統整如下：
1. 都是採用「振動方法」(Vibratory Methods)：目的在取得材料之「動態模數」(dynamic modulus)以及「阻尼」(damping)參數。
2. 「動態模數」(dynamic modulus)定義是相同的：𝑬 = 𝝈/𝜺。
3. 都是量測系統的FRF「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)。
4. 都需要取得系統的「自然頻率」(natural frequency)。
5. 都可以取得材料的「動態模數」(dynamic modulus)。
6. 都可以取得材料的「阻尼比」(damping ratio)。
比較一下ASTM E 756 與
ASTM
D 5992有甚麼差異之處，統整如下：
1. 適用的材料：ASTM E 756應用在硬質材料。ASTM D 5992應用在「橡膠類材料」(Rubber-Like Materials)。
2. 「試體」(specimen)：ASTM E 756規範要求是均勻懸臂薄樑(uniform cantilever beam)試體，也可以採用規範理念，應用在任意形狀的單體結構。ASTM D 5992規範要求是立方體試體：25 mm X 25 mm。厚度=12.5 mm。採取較小的平面尺寸，主要是對小尺寸的應用，如隔振墊、墊片等橡膠材料。
3. 數學模型：ASTM E 756考慮了懸臂薄樑、或任意結構，是「連續系統」(continuous system)，而且是外力激振(force excitation)。ASTM D 5992假設系統是SDOF –
基座激振(base excitation)。
4. FRF「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)：ASTM E 756系統FRF
= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)=𝑨𝒊 (𝒇)/𝑭𝒋 (𝒇)。ASTM D 5992系統FRF =加速度「傳輸比」(Transmissibility) = 𝑻𝒊𝒋
(𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇) /
𝑨𝒋(𝒇)。
5. 「自然頻率」(natural
frequency)：在ASTM E 756，測試的結構系統有無窮多個「自然頻率」。在ASTM D 5992，測試的系統只有一個「自然頻率」。
6. 材料的「動態模數」(dynamic modulus)：在ASTM E 756，會取每個振動模態推算的𝑬𝒓，取其平均值(mean value)，推算「動態模數」(dynamic modulus) = 𝑬= (∑𝑬𝒓
)/𝑵。在ASTM D 5992，透過SDOF系統假設，先推算「彈簧常數」：𝒌=𝒎(𝟐𝝅𝒇𝒏)^𝟐。再取得「動態模數」，𝑬=𝒌
𝑳/𝑨。
7. 材料的「阻尼比」(damping ratio)：在ASTM E 756，每個振動模態都可取得「阻尼比」(damping ratio)：𝝃𝒓。因此，可取其平均值(mean value)，推算「阻尼比」(damping ratio)= 𝝃 = (∑𝝃𝒓 )/𝑵。在ASTM D 5992，只有一個「阻尼比」，由 𝑻𝒊𝒋
(𝒇)，(1)取得 𝑸
= 𝑻𝐦𝐚𝐱 (𝒇)。(2) 推算阻尼比
= 𝝃
= 𝟏/𝟐𝑸。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
