這個單元要來探討的主題是：Damping
ratio、Loss factor、Loss angle，三者之間的關聯性？
為什麼要探討這個主題呢？因為這三個名詞，分別代表了材料的「阻尼」(damping)特徵，又分別代表了三種不同「材料模型」(material model)的「阻尼模型」(damping model)之特性。
首先，Damping
ratio：𝝃。指的就是「黏滯阻尼」(viscous damping)，參考先前單元：#390，【甚麼是黏滯阻尼(viscous damping)？黏滯阻尼比(viscous damping ratio)？】，參閱圖片的左上方圖示，是「黏滯阻尼」(viscous damping)，簡要說明如下：
1. 實際結構(real structure)：是典型機車的懸吊結構，有彈簧(spring)以及油壓缸的阻尼器(damper)。其中，油壓缸就是有黏滯流動的流體，所以稱為「黏滯阻尼」。
2. 物理模型(physical model)：以線性彈簧(linear spring) 𝒌，模擬實際的彈簧。而以「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient) 𝒄，來模擬油壓缸的阻尼器。
3. 𝒄：「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)，用以代表黏滯阻尼器的物理參數，單位：N-s/m。
4. 𝝃：「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)，其定義：𝝃=𝒄/C𝒄。
5. C𝒄：「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)，其定義：C𝒄 =𝟐√𝒎𝒌=𝟐𝒎 𝝎𝒏。
6. 𝝎𝒏：「無阻尼自然頻率」(undamped natural frequency)，其定義：𝝎𝒏=√(𝒌/𝒎)
(rad/s)。
7. 此系統的「模態參數」(modal parameter)，有兩個：(1) 𝝎𝒏：「無阻尼自然頻率」(undamped natural
frequency)。(2) 𝝃：「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)。
其次，Loss factor：𝜼。指的就是「結構阻尼」(structural damping)，參考先前單元：#391，【甚麼是結構阻尼(structural damping)？散失因子_損耗因數(loss factor)？】，參閱圖片的右上方圖示，是「結構阻尼」(structural damping)，簡要說明如下：
1. 實際結構(real structure)：是只有彈簧(spring)組件的結構。當此彈簧受到壓縮、拉伸的運動時，仍然有某種程度的「阻尼」(damping)效應。這個阻尼效應是來自材料本身，材料分子結構因為變形所造成的能量衰減，而形成的「阻尼」(damping)效應。
2. 物理模型(physical model)：以線性彈簧(linear spring) 𝒌，模擬實際的彈簧。而以「結構阻尼係數」(structural damping coefficient) 𝒉，來模擬材料本身的「遲滯阻尼」(hysteretic damping)效應。
3. 𝒉：「結構阻尼係數」(structural damping coefficient)，用以代表彈簧材料阻尼效應的物理參數，單位：N/m。也可稱為「遲滯阻尼係數」(hysteretic damping coefficient)。
4. 𝜼：「散失因子」、「損耗因數」(loss factor)，其定義：𝜼=𝒉/𝒌。
5. (𝒌+𝒊𝒉)=𝒌(𝟏+𝒊𝜼)：「複數勁度」(complex stiffness)，可以模擬材料的阻尼效應。實務應用上，可將材料的楊氏係數(Young’s modulus)或彈性模數(elastic modulus) 𝑬，取代「彈簧常數」𝒌，也就是𝒌(𝟏+𝒊𝜼) ≈ 𝑬
(𝟏+𝒊𝜼)，形成材料的「複數勁度」(complex stiffness)、或稱「複數模數」(complex modulus)，可以藉以模擬材料的阻尼效應。
6. 𝝎𝒏：「無阻尼自然頻率」(undamped natural frequency)，其定義：𝝎𝒏=√(𝒌/𝒎)
(rad/s)。
7. 此系統的「模態參數」(modal parameter)，有兩個：(1) 𝝎𝒏：「無阻尼自然頻率」(undamped natural
frequency)。(2) 𝜼：「散失因子」、「損耗因數」(loss factor)。
最後，Loss angle：𝜹。或是Loss Tangent：𝐭𝐚𝐧(𝜹)。指的就是「黏彈性材料阻尼」(Viscoelastic Material damping)，參考先前單元：#402，【甚麼是黏彈性材料(Viscoelastic
material)？】，參閱圖片的右下方圖示，是「黏彈性阻尼」(Viscoelastic damping)，簡要說明如下：
1.
「黏彈性材料」(Viscoelastic material)的試驗：「動態力學分析」(dynamic mechanical analysis, DMA)。
2.
量測得到：「應力」時間波形(stress time waveform)：𝝈=𝝈0 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕+𝜹)。「應變」時間波形(strain time waveform)：𝜺=𝜺0 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)。𝜹：「損耗角」(Loss Angle)，𝜹的定義：應力𝝈與應變𝜺之時間波形的相位差。
3.
可得到：「複數模數」(Complex modulus)：𝑬∗=
𝑬’+𝒊 𝑬’’=
𝝈0/𝜺0 𝒆^𝒊𝜹。𝑬∗的實數部，是𝑬’「儲存模數」(Storage modulus)，𝑬’=
𝝈0/𝜺0 𝐜𝐨𝐬(𝜹)。𝑬∗的虛數部，是𝑬’’「損耗模數」(Loss modulus)，𝑬’’=
𝝈0/𝜺0 𝐬𝐢𝐧 (𝜹)。
4. 也可得到「阻尼」(damping)參數：「損耗角」(Loss Angle)：𝜹=𝐭𝐚𝐧^(−𝟏) (𝑬’’/ 𝑬’)。「損耗角正切」(Loss Tangent)：𝐭𝐚𝐧(𝜹)=
𝑬’’/ 𝑬’=𝛈=2𝝃。
以上三個名詞：(1) Damping ratio：𝝃，(2) Loss factor：𝜼，(3)
Loss angle：𝜹、或是Loss Tangent：𝐭𝐚𝐧(𝜹)。三者之間有甚麼關聯性呢？一個方程式，界定之間的關係：𝐭𝐚𝐧(𝜹)= 𝛈=2𝝃。
以圖片右下方圖示的數值案例，由DMA「動態力學分析」試驗，可量測得到「應力」時間波形(stress time waveform)：𝝈=𝝈0 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕+𝜹)。「應變」時間波形(strain time waveform)：𝜺=𝜺0 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕)。阻尼參數解析步驟概述如下：
1. 由𝜹的定義：應力𝝈與應變𝜺之時間波形的相位差。可得到：𝜹：「損耗角」(Loss Angle)， 𝜹=𝐭𝐚𝐧^(−𝟏) (𝑬’’/ 𝑬’)= 𝝅/𝟒=𝟒𝟓°。
2. 計算取得「損耗角正切」(Loss Tangent)：𝐭𝐚𝐧(𝜹)=
𝑬’’/ 𝑬’= 1。
3. 計算取得「損耗因數」(Loss factor)：𝛈=
𝐭𝐚𝐧(𝜹) =
1。
4. 計算取得「黏滯阻尼比」(viscous damping
ratio)：𝝃=𝛈/𝟐=
0.5。
綜合這個單元的討論：Damping
ratio、Loss factor、Loss angle，三者之間的關聯性？以上三個參數，都是代表材料或結構的「阻尼」(damping)參數，分別是：
1. 𝝃
= Damping ratio：指的就是「黏滯阻尼」(viscous damping)。
2. 𝜼
= Loss factor：指的就是「結構阻尼」(structural damping)。
3. 𝜹= Loss angle、或是𝐭𝐚𝐧(𝜹)= Loss Tangent：指的就是「黏彈性阻尼」(Viscoelastic damping)。
4. 以上三個參數的關係：𝐭𝐚𝐧(𝜹)= 𝛈=2𝝃。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
