《振動噪音產學技術聯盟》一個結構的阻尼比(damping ratio)只有一個嗎？

這個單元要來探討的主題是：一個結構的「阻尼比」(damping ratio)只有一個嗎？這是在實務上，常常會問到的問題。

 

首先，就破題來看，當我們說「阻尼比」(damping ratio)，其實隱含的就是採用了「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)，代表阻尼的模態參數(modal parameters)，完整的名詞是：「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)，常常簡稱為「阻尼比」(damping ratio)。

 

在SDOF (single degree-of-freedom)單自由度系統，採用「黏滯阻尼模型」假設，參閱圖片右上方，呈現系統模型的示意圖、物理域(physical domain)運動方程式、系統參數、以及系統的模態參數(modal parameters)，重點摘述如下：

 

1.      系統模型(system model)：可以區別出輸入(Input)：「外力」𝒇(𝒕)作用，以及初始條件，𝑥0以及𝑣0。輸出(Output)：質塊的「位移」𝒙(𝒕) 響應。

2.      系統參數(system parameter)：「質量」𝒎、「黏滯阻尼係數」𝒄、「彈簧常數」𝒌。

3.      系統的模態參數(modal parameters)：𝝎𝒏：「無阻尼自然頻率」(undamped natural frequency)，其定義：𝝎𝒏=√(𝒌/𝒎) (rad/s)。以及，𝝃：「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)，其定義：𝝃=𝒄/C𝒄。而，C𝒄：「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)，其定義：C𝒄 =𝟐√𝒎𝒌=𝟐𝒎 𝝎𝒏。

4.      物理域(physical domain)運動方程式：可參閱圖片所示，是一個二階的常微分方程式(second order Ordinary Differential Equation, ODE)。

 

其次，本單元主題的關鍵詞之一：一個結構(structure)。必須有一個認知，每個結構都有其「振動模態」(vibration modes)。而，每一個「振動模態」都會有三個「模態參數」(modal parameters)，包括：

 

1.      𝝎𝒓：第 𝒓 個「自然頻率」(natural frequency)。

2.      {𝝓𝒓 }：第 𝒓 個「位移模態振型」(displacement mode shape)。

3.      𝝃𝒓：第 𝒓 個「模態阻尼比」(modal damping ratio)，簡稱「阻尼比」(damping ratio)。

 

在此，參閱圖片右邊中間圖示，例舉具有「黏滯阻尼模型」的MDOF (multiple degree-of-freedom)多自由度系統。如果，對此系統模型進行模態分析(modal analysis)，就可以得到 𝒏 組的「振動模態」，每個「振動模態」都會有三個「模態參數」。而且，𝝎𝒓、{𝝓𝒓 }以及𝝃𝒓，此三個「模態參數」是成對出現，一一相互對應。其中，𝒏 是此MDOF多自由度系統的自由度數量。

 

針對SDOF單自由度系統，「振動模態」只有 1個，其「模態參數」，包括：𝝎𝒏「無阻尼自然頻率」以及𝝃「黏滯阻尼比」。所以，SDOF單自由度系統，確實只有一個「阻尼比」(damping ratio)。

 

針對MDOF多自由度系統，如果是 𝒏 個自由度的系統，則有 𝒏 個「振動模態」。每個「振動模態」有三個「模態參數」，包括：𝝎𝒓、{𝝓𝒓 }以及𝝃𝒓，𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏。所以，MDOF多自由度系統，有 𝒏 個「阻尼比」(damping ratio)。

 

接著來看，如果是一個連續系統(continuous system)，例如，圖片右下方的響鈴板結構，此連續系統結構，則有 ∞ 無窮多個「振動模態」。每個「振動模態」有三個「模態參數」，包括：𝝎𝒓、{𝝓𝒓 }以及𝝃𝒓，𝒓=𝟏,𝟐,…。所以，連續系統結構，有∞ 無窮多個「阻尼比」(damping ratio)。

 

實務上，分析如圖示的響鈴板結構，常採用有限元素分析(finite element analysis, FEA)，可得到如圖示的有限元素分析模型(finite element model, FE model)，其表示的系統方程式，會如MDOF多自由度系統的運動方程式。

 

雖然連續系統，理論上有 ∞ 無窮多個「振動模態」，實務上，會對低頻率範圍的前幾個「振動模態」會有興趣，因為，會是主導結構振動響應的主要貢獻度之來源。

 

綜合這個單元討論，一個結構的「阻尼比」(damping ratio)只有一個嗎？可以說：是，如果系統是SDOF單自由度系統。也可以說不是，要看結構系統模型的特性，是MDOF多自由度系統、或是為連續系統(continuous system)。總結如下：

 

1.       當我們說「阻尼比」(damping ratio)，其實隱含的就是採用了「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)，代表阻尼的模態參數(modal parameters)，完整的名詞是：「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)，常常簡稱為「阻尼比」(damping ratio)。

2.       必須有一個認知，每個結構都有其「振動模態」(vibration modes)。而，每一個「振動模態」都會有三個「模態參數」(modal parameters)，包括：𝝎𝒓，第 𝒓 個「自然頻率」(natural frequency)、{𝝓𝒓 }，第 𝒓 個「位移模態振型」(displacement mode shape)、以及𝝃𝒓，第 𝒓 個「模態阻尼比」(modal damping ratio)，也常簡稱「阻尼比」(damping ratio)。

3.       一個結構的「阻尼比」(damping ratio)，有幾個？(1) 如果是SDOF單自由度系統，「阻尼比」確實只有1個。(2) 如果是MDOF多自由度系統，「阻尼比」會有 𝒏 個。(3) 如果是連續系統(continuous system)，「阻尼比」會有 ∞ 無窮多個。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2024.09.30

文章粉絲團連結

YouTube影片連結 

訂閱電子報

 

Read More

《振動噪音產學技術聯盟》黏滯阻尼模型與結構阻尼模型在SDOF系統之頻率響應函數有甚麼不同？

這個單元要來探討的主題是：「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)和「結構阻尼模型」(structural damping model)在SDOF (single degree-of-freedom)單自由度系統，其「頻率響應函數」(frequency response function, FRF )，有甚麼不同？

 

在先前單元，分別探討過「黏滯阻尼」(viscous damping)以及「結構阻尼」(structural damping)，參閱圖片上方，如果實際結構如圖示，有一個質塊，下方和彈簧連接，固定在地面。當質塊受到外力作用，質塊就會上下運動。

 

如果，彈簧之外，還有油壓缸的阻尼器(damper)組成，可建構其「黏滯阻尼」數學模型(mathematical model)，系統參數：「質量」𝒎、「黏滯阻尼係數」𝒄、「彈簧常數」𝒌。受到「外力」𝒇(𝒕)作用，質塊會有「位移」𝒙(𝒕)的響應。

 

如果，只有彈簧的話，當此彈簧受到壓縮、拉伸的運動時，仍然有某種程度的「阻尼」(damping)效應。這個阻尼效應是來自材料本身，材料分子結構因為變形所造成的能量衰減，而形成的「阻尼」(damping)效應。可建構其「結構阻尼」數學模型(mathematical model)，系統參數：「質量」𝒎、「結構阻尼係數」𝒉、「彈簧常數」𝒌。受到「外力」𝒇(𝒕)作用，質塊會有「位移」𝒙(𝒕)的響應。

 

兩個數學模型，主要的差異：

 

1.      「黏滯阻尼」(viscous damping)：阻尼效應以 𝒄「黏滯阻尼係數」表示。

2.      「結構阻尼」(structural damping)：阻尼效應以 𝒉「結構阻尼係數」表示。

 

其次，觀察兩個數學模型，其物理域(physical domain)運動方程式，主要差異在「阻尼力」(damping force)：

 

1.      「黏滯阻尼」(viscous damping)：「黏滯阻尼力」(viscous damping force)：𝑭𝒅=𝒄𝒙 ̇ (N)。也就是「黏滯阻尼力」，是「黏滯阻尼係數」𝒄 和油壓缸移動的速度 𝒙 ̇，的乘積，都和「黏滯阻尼力」成正比。這也相當符合油壓缸的作動響應。

2.      「結構阻尼」(structural damping)：「結構阻尼力」(structural damping force)：𝑭𝒅=𝒊𝒉𝒙 (N)。也就是「阻尼力」，是「結構阻尼係數」𝒉 和質塊移動的位移 𝒊𝒙 ，的乘積。要注意的是：𝒊 =√(−𝟏)，複數(complex number)，因為，有𝒊 =√(−𝟏)的效應，某種程度也是和速度響應有關連性。

 

再觀察兩個數學模型，其模態域(modal domain)運動方程式，對物理域(physical domain)運動方程式，全式除以 𝒎，主要差異在代表阻尼的模態參數(modal parameters)：

 

1.      「黏滯阻尼」(viscous damping)：方程式表示成 𝝎𝒏 和 𝝃 的模態參數。其中，𝝎𝒏：「無阻尼自然頻率」(undamped natural frequency)，其定義：𝝎𝒏=√(𝒌/𝒎) (rad/s)。𝝃：「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)，其定義：𝝃=𝒄/C𝒄。而，C𝒄：「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)，其定義：C𝒄 =𝟐√𝒎𝒌=𝟐𝒎 𝝎𝒏。

2.      「結構阻尼」(structural damping)：方程式表示成 𝝎𝒏 和 𝜼 的模態參數。其中，𝜼：「散失因子」、「損耗因數」(loss factor)，其定義：𝜼=𝒉/𝒌。又，(𝒌+𝒊𝒉)=𝒌(𝟏+𝒊𝜼)：「複數勁度」(complex stiffness)，可以模擬材料的阻尼效應。

 

如果，求解此SDOF單自由度系統之FRF「頻率響應函數」，其定義：FRF = 𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇) / 𝑭(𝒇)。參閱圖片方程式，除了表示成 𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇) / 𝑭(𝒇)形式，也可以得到無因次的FRF，亦即：𝑯(𝒓)= ( 𝑿(𝒇)/𝒌 ) / 𝑭(𝒇)。其中，𝒓為頻率比，定義：𝒓=𝝎/𝝎𝒏。比較兩個數學模型之無因次的FRF，主要差異在分母的虛數部：

 

1.      「黏滯阻尼」(viscous damping)：𝒊(𝟐𝝃𝒓)。

2.      「結構阻尼」(structural damping)：𝒊(𝜼)。

 

由於FRF = 𝑯(𝒇) = 𝑯(𝒓)是複數(complex number)，會分別取其|𝑯(𝒓)|振幅值(amplitude)，以及∠𝑯(𝒓)相位角(phase angle)對應頻率軸，或是如圖示的 𝒓=𝝎/𝝎𝒏頻率比，繪圖呈現，此兩個圖示，慣稱為波德圖(Bode plot)。

 

參閱圖片下方，分別呈現「黏滯阻尼」(viscous damping)以及「結構阻尼」(structural damping)，在不同阻尼效應的FRF曲線圖。可以觀察到類似的特徵，說明如下：

 

1.      阻尼效應越大，也就是 𝝃 越大、或 𝜼 越大，|𝑯(𝒓)|振幅值，越小。

2.      在 𝒓 ~= 𝟏時，|𝑯(𝒓)|振幅值(amplitude)，會有較大的位移響應。這就是共振(resonance)的現象，也就是簡諧激振頻率接近於自然頻率 𝝎 ~= 𝝎𝒏。

3.      在 𝒓 = 𝟏時，∠𝑯(𝒓)相位角，會是剛好90度。也就是簡諧激振時，「位移」𝒙(𝒕)的響應，和「外力」𝒇(𝒕)之間，有90度的相位差。

4.      在 𝒓 < 𝟏時，當阻尼效應小，∠𝑯(𝒓)相位角，會是接近0度。也就是簡諧激振時，「位移」𝒙(𝒕)的響應，和「外力」𝒇(𝒕)之間，接近同相(in phase)。

5.      在 𝒓 > 𝟏時，當阻尼效應小，∠𝑯(𝒓)相位角，會是接近180度。也就是簡諧激振時，「位移」𝒙(𝒕)的響應，和「外力」𝒇(𝒕)之間，接近反相(out of phase)。

 

在先前單元，已經探討過，𝝃：「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)，以及𝜼：「散失因子」、「損耗因數」(loss factor)，兩者之間的關係：𝜼 = 𝟐 𝝃。在此忽略推導的過程，僅說明此關係式，來自簡諧激振(harmonic excitation)分析假設，特別是在激振頻率 = 自然頻率：𝝎 = 𝝎𝒏 的條件下。

 

由於實務上，𝝃=0.1，10%的「黏滯阻尼比」，已經相當大，大約如一般的橡膠材料「黏滯阻尼比」。而對應的 𝜼 = 𝟐 𝝃=0.𝟐。在此，以「質量」𝒎、「彈簧常數」𝒌 單自由度系統，分別採用(1)「黏滯阻尼係數」𝒄 以及(2)「結構阻尼係數」𝒉 的「結構阻尼」(structural damper)模型，所取得的FRF「頻率響應函數」，以相同的無因次FRF，繪圖比較，如圖片右下方圖示，討論說明如下：

 

1.      𝝃=0.1，𝜼=0.2，也就是 𝜼 = 𝟐 𝝃：兩個阻尼模型的FRF曲線，幾乎重合，代表系統的響應特性幾乎相同。

2.      𝝃=0.2，𝜼=0.4，也就是 𝜼 = 𝟐 𝝃：兩個阻尼模型的FRF曲線，很相近，在不同激振頻率時，量值，略有差異。

3.      𝝃=0.3，𝜼=0.6，也就是 𝜼 = 𝟐 𝝃：兩個阻尼模型的FRF曲線，有相近，在不同激振頻率時，量值，差異比 𝝃=0.2，𝜼=0.4，稍大。

 

「黏滯阻尼」(viscous damping)以及「結構阻尼」(structural damping)，在不同阻尼效應的FRF曲線圖。比較大差異的特徵，說明如下：

 

1.      「黏滯阻尼」(viscous damping)：FRF曲線的峰值，隨著阻尼效應增大，其峰值頻率，會略為小於。但是，在低的 𝝃「黏滯阻尼比」，此峰值頻率的變異很小，幾乎相同。

2.      「結構阻尼」(structural damping)：FRF曲線的峰值，隨著阻尼效應增大，其峰值頻率，維持不變，都是在 𝒓 = 𝟏。

 

在 𝝃 < 0.1，𝜼 < 0.2，兩種模型在FRF曲線的特徵，是相當的。因此，在實務應用上，取𝜼 = 𝟐 𝝃，可以是合理的假設。

 

綜合一下這個單元的討論，主要在探討「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)和「結構阻尼模型」(structural damping model)在SDOF單自由度系統，其FRF「頻率響應函數」有甚麼不同？從不同的方式來比較，綜合如下：

 

1.      物理域(physical domain)運動方程式，主要差異在「阻尼力」(damping force)：「黏滯阻尼力」(viscous damping force)：𝑭𝒅=𝒄𝒙 ̇ (N)。而，「結構阻尼力」(structural damping force)：𝑭𝒅=𝒊𝒉𝒙 (N)。

2.      模態域(modal domain)運動方程式，主要差異在代表阻尼的模態參數(modal parameters)：相同的是：𝝎𝒏：「無阻尼自然頻率」(undamped natural frequency)，其定義：𝝎𝒏=√(𝒌/𝒎) (rad/s)。不同的是阻尼模態參數，「黏滯阻尼模型」是 𝝃：「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)，其定義：𝝃=𝒄/C𝒄。而，C𝒄：「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)，其定義：C𝒄 =𝟐√𝒎𝒌=𝟐𝒎 𝝎𝒏。而，「結構阻尼模型」是 𝜼：「散失因子」、「損耗因數」(loss factor)，其定義：𝜼=𝒉/𝒌。又，(𝒌+𝒊𝒉)=𝒌(𝟏+𝒊𝜼)：「複數勁度」(complex stiffness)，可以模擬材料的阻尼效應。兩者阻尼模態參數之間的關係：𝜼 = 𝟐 𝝃。

3.      SDOF單自由度系統之FRF「頻率響應函數」，其定義：FRF = 𝑯(𝒇) = 𝑿(𝒇) / 𝑭(𝒇)。主要差異在FRF分母的虛數部。在「黏滯阻尼模型」是𝒊(𝝎𝒄)或𝒊(𝟐𝝃𝒓)。而，「結構阻尼模型」是𝒊(𝒉)或𝒊(𝜼)。

4.      定義了無因次的FRF，亦即：𝑯(𝒓)= ( 𝑿(𝒇)/𝒌 ) / 𝑭(𝒇)。由於FRF = 𝑯(𝒇) = 𝑯(𝒓)是複數(complex number)，會分別取其|𝑯(𝒓)|振幅值(amplitude)，以及∠𝑯(𝒓)相位角(phase angle)對應頻率軸，或是如圖示的 𝒓=𝝎/𝝎𝒏頻率比，繪圖呈現，此兩個圖示，慣稱為波德圖(Bode plot)。

5.      比較「黏滯阻尼模型」以及「結構阻尼模型」，無因次的FRF：在 𝝃 < 0.1，𝜼 < 0.2，兩種模型在FRF曲線的特徵，是相當的。因此，在實務應用上，取𝜼 = 𝟐 𝝃，可以是合理的假設。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2024.09.30

文章粉絲團連結

YouTube影片連結 

訂閱電子報

Read More