《振動噪音產學技術聯盟》甚麼是阻尼模型？What is “Damping Model”？

這個單元要來探討的主題是：甚麼是「阻尼模型」(damping model)？

 

就以【4W】心法來思考：

 

1.      What is? 甚麼是「阻尼模型」？

2.      Why to do? 為什麼要取得「阻尼模型」？

3.      What goal? 取得「阻尼模型」要達到甚麼目標？

4.      How to do? 如何取得「阻尼模型」？

 

首先，What is? 甚麼是「阻尼模型」？一個結構(structure)會是由某種材料(material)所製成的。而這個材料需要適當的「阻尼模型」來模擬材料在結構上的「阻尼效應」(damping effect)。

 

其次，Why to do? 為什麼要取得「阻尼模型」？特別是在分析時，需要設定材料的「阻尼模型」，才能夠正確、適當地模擬結構響應。在此「響應」(response)，有多個面向的思考，我們再另闢單元討論。

 

接著，What goal? 如果能夠取得「阻尼模型」，要達到甚麼目標呢？最主要就是：「阻尼模型」需要能夠物理性(physically)、合理的(reasonably)模擬結構響應。

 

再來，How to do? 如何取得「阻尼模型」？怎麼應用呢？又有哪些「阻尼模型」可供選擇？簡要彙整過去的單元，如下：

 

1.      黏滯阻尼(Viscous damping)：#390：【甚麼是黏滯阻尼(viscous damping)？黏滯阻尼比(viscous damping ratio)？】

2.      結構阻尼(Structural damping)：#391：【甚麼是結構阻尼(structural damping)？散失因子/損耗因數(loss factor)？】

3.      庫倫阻尼(Coulomb Damping)：#281：【甚麼是庫倫阻尼(Coulomb Damping)？】

 

第1種「阻尼模型」：「黏滯阻尼」(viscous damping)，參閱右邊上方圖示，如機車的懸吊結構，有彈簧(spring)以及油壓缸的阻尼器(damper)。其中，油壓缸就是有黏滯流動的流體，所以稱為「黏滯阻尼」。參閱圖示的數學模型(mathematical model)，系統參數：「質量」𝒎、「黏滯阻尼係數」𝒄、「彈簧常數」𝒌。受到「外力」𝒇(𝒕)作用，質塊會有「位移」𝒙(𝒕)的響應。

 

其中，「黏滯阻尼力」(viscous damping force)：𝑭𝒅=𝒄𝒙 ̇ (N)。也就是「黏滯阻尼力」，是「黏滯阻尼係數」𝒄 和油壓缸移動的速度 𝒙 ̇，的乘積，都和「黏滯阻尼力」成正比。這也相當符合油壓缸的作動響應。

 

第2種「阻尼模型」：「結構阻尼」(structural damping)，也稱為「遲滯阻尼」(hysteretic damping)。參閱右邊中間圖示，是只有彈簧(spring)組件的實際結構。當此彈簧受到壓縮、拉伸的運動時，仍然有某種程度的「阻尼」(damping)效應。這個阻尼效應是來自材料本身，材料分子結構因為變形所造成的能量衰減，而形成的「阻尼」(damping)效應。參閱圖示的數學模型(mathematical model)，系統參數：「質量」𝒎、「結構阻尼係數」𝒉、「彈簧常數」𝒌。受到「外力」𝒇(𝒕)作用，質塊會有「位移」𝒙(𝒕)的響應。

 

其中，「阻尼力」(damping force)：𝑭𝒅=𝒊𝒉𝒙 (N)。也就是「阻尼力」，是「結構阻尼係數」𝒉 和油壓缸移動的位移 𝒊𝒙 ，的乘積。要注意的是：𝒊 =√(−𝟏)，複數(complex number)，因為，有𝒊 =√(−𝟏)的效應，某種程度也是和速度響應有關連性。

 

第3種「阻尼模型」：「庫倫阻尼」(Coulomb damping)，參閱右邊下方圖示，在「質量」𝒎 和地面接觸，會有「摩擦」(friction)效應。質塊和地面之間，會有「摩擦係數」(Friction coefficient) 𝝁。「庫倫阻尼」(Coulomb Damping)？簡單說：由摩擦所產生的阻尼效應，也就是會有「阻尼」(damping)的消耗能量機制。

 

其中，「摩擦力」(frictional force) 𝑭𝒔 (𝒕)的特徵：當速度為正值 𝒗 >𝟎，𝑭𝒔 (𝒕)= −𝝁𝒎𝒈，當速度為負值 𝒗 <𝟎，𝑭𝒔 (𝒕)= 𝝁𝒎𝒈，而速度為零 𝒗 =𝟎，𝑭𝒔 (𝒕)= 0。

 

從這三個「阻尼模型」(damping model)來看，可以簡單歸類為兩種情形：

 

1.      「阻尼模型」是結構元件的材料模型(material model)。如：「黏滯阻尼」(viscous damping)，以及「結構阻尼」(structural damping)，也稱為「遲滯阻尼」(hysteretic damping)。

2.      「阻尼模型」是結構元件之間的接觸介面模型(interface model)。也就是「庫倫阻尼」(Coulomb damping)，在模擬倆倆元件之間的接觸動態行為。

 

這三種「阻尼模型」都可以模擬出阻尼消耗能量的機制，但是所代表的物理意義，會有兩種：一種是，結構元件的材料模型(material model)。另一種是，結構元件之間的接觸介面模型(interface model)。

 

綜合一下這個單元的討論，甚麼是「阻尼模型」(damping model)？以【4W】的心法：(1) What is? 甚麼是「阻尼模型」(damping model)？(2) Why to do? 為什麼要取得「阻尼模型」(damping model)？(3) What goal? 取得「阻尼模型」(damping model)要達到甚麼目標？(4) How to do? 如何取得「阻尼模型」(damping model)？回顧了三種「阻尼模型」都可以模擬出阻尼消耗能量的機制。總結如下：

 

1.      「黏滯阻尼」(viscous damping)：「黏滯阻尼力」(viscous damping force)：𝑭𝒅=𝒄𝒙 ̇ (N)。代表的是：結構元件的材料模型(material model)。

2.      「結構阻尼」(structural damping)，也稱為「遲滯阻尼」(hysteretic damping)：「阻尼力」(damping force)：𝑭𝒅=𝒊𝒉𝒙 (N)。代表的是：結構元件的材料模型(material model)。

3.      「庫倫阻尼」(Coulomb damping)：阻尼力來自「摩擦力」(frictional force) 𝑭𝒔 (𝒕)的特徵：當速度為正值 𝒗 >𝟎，𝑭𝒔 (𝒕)= −𝝁𝒎𝒈，當速度為負值 𝒗 <𝟎，𝑭𝒔 (𝒕)= 𝝁𝒎𝒈，而速度為零 𝒗 =𝟎，𝑭𝒔 (𝒕)= 0。代表的是：結構元件之間的接觸介面模型(interface model)。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2024.10.07

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《振動噪音產學技術聯盟》甚麼是雷利阻尼？What is Rayleigh damping？

這個單元要來探討的主題是：甚麼是「雷利阻尼」(Rayleigh damping)？要來探討「雷利阻尼」，就需要從MDOF (multiple degree-of-freedom)多自由度系統談起。

 

參閱圖片右上方，是一個典型的MDOF多自由度系統，呈現系統模型的示意圖、系統參數、物理域(physical domain)運動方程式、以及系統的模態參數(modal parameters)，重點摘述如下：

 

1.      系統參數(system parameter)：每個質量塊的「質量」𝒎𝒊、每一個阻尼器(damper)的「黏滯阻尼係數」𝒄𝒊、以及每一個彈簧的「彈簧常數」𝒌𝒊。此系統有 𝒏 個自由度。

2.      系統模型(system model)：可以區別出輸入(Input)：每個質塊上的「外力」𝒇𝒋 (𝒕)作用，以及每個質塊的初始條件，初始位移：𝒙𝒊 (𝟎)、以及初始位移：𝑣𝒊(𝟎)。輸出(Output)：每個質塊的「位移」𝒙𝒊(𝒕) 響應。

3.      物理域(physical domain)運動方程式：可參閱圖片所示，是一個二階的聯立常微分方程式(second order simultaneous Ordinary Differential Equation, ODE)。其中的系統參數(system parameter)，包括：[𝑴]質量矩陣(mass matrix)、[𝑪]阻尼矩陣(damping matrix)、[𝑲]勁度矩陣(stiffness matrix)。

4.      系統的模態參數(modal parameters)：如果進行模態分析(modal analysis)，可以求得三個模態參數，包括：𝝎𝒓、{𝝓𝒓 }、𝝃𝒓，𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏。

 

由[𝑪]阻尼矩陣，可以知道此系統的假設，採用「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)。這是 𝒏 個自由度的系統，所以，會有 𝒏 個自由度(vibration modes)。而，每一個「振動模態」都會有三個「模態參數」(modal parameters)，包括：

 

1.      𝝎𝒓：第 𝒓 個「自然頻率」(natural frequency)。

2.      {𝝓𝒓}：第 𝒓 個「位移模態振型」(displacement mode shape)。

3.      𝝃𝒓：第 𝒓 個「模態阻尼比」(modal damping ratio)，簡稱「阻尼比」(damping ratio)。

 

而且，𝝎𝒓、{𝝓𝒓 }以及𝝃𝒓，此三個「模態參數」是成對出現，一一相互對應。

 

其次，來介紹「模態振型」的「正交性」(Orthonormality of Mode Shape)，可以寫出三個向量形式的「正交性」關係式：

 

1.      [𝑴]：{𝝓𝒓}^𝑻 [𝑴]{𝝓𝒓}=𝟏。其中，𝑻是轉置(transpose)運算。

2.      [𝑪]：{𝝓𝒓}^𝑻 [𝑪]{𝝓𝒓}= 𝟐 𝝃𝒓 𝝎𝒓。

3.      [𝑲]：{𝝓𝒓}^𝑻 [𝑲]{𝝓𝒓}= 𝝎𝒓^𝟐。

 

由以上關係式，可知，當兩個相同的 {𝝓𝒓}「模態振型」向量，分別與[𝑴]、[𝑪]、[𝑲]矩陣，如關係式的相乘，會得到與系統「模態參數」相關的結果。對[𝑴]矩陣相乘，等於1，稱此特性為「正交性」(Orthonormality)。對[𝑪]或[𝑲]矩陣相乘，不等於1，則稱為「直交性」(orthogonality)。

 

此關係式，也可以寫成「模態振型」矩陣形式，首先定義：「模態矩陣」(modal matrix) = [𝚽]=[{𝝓1} {𝝓2} ... {𝝓𝒏}]。就是將每個模態的「模態振型」向量並排，取得[𝚽]「模態振型矩陣」。可以寫出對𝑴]、[𝑪]、[𝑲]，三個矩陣相乘，矩陣形式的「正交性」關係式：

 

1.      [𝑴]：[𝚽]^𝑻 [𝑴][𝚽]=[ˋ𝟏ˋ]。是壹矩陣(identity matrix)。

2.      [𝑪]：[𝚽]^𝑻 [𝑪][𝚽]=[ˋ𝟐 𝝃𝒓 𝝎𝒓ˋ]。

3.      [𝑲]：[𝚽]^𝑻 [𝑲][𝚽]=[ˋ𝝎𝒓^𝟐ˋ]。

 

以上對[𝑴]、[𝑪]、[𝑲]三個乘積的矩陣，分別得到：[ˋ𝟏ˋ]，[ˋ𝟐 𝝃𝒓 𝝎𝒓ˋ]，[ˋ𝝎𝒓^𝟐ˋ]。此符號代表的是對角化矩陣(diagonal matrix)，除了矩陣中之對角線元素，不為零，其他非對角線元素，都是零。物理意義是：不同模態的「模態振型」向量，例如 {𝝓𝒓}和{𝝓s}，是具有「直交性」(orthogonality)，也就是乘積的方程式，會是等於零。對[𝑴]矩陣相乘，為壹矩陣(identity matrix)，特別稱之為「正交性」(Orthonormality)。

 

接著，來看[𝑪]阻尼矩陣(damping matrix)的特徵，可以區別兩種形式：

 

1.      「比例阻尼」(proportional damping)：如果，[𝑪] = 𝜶[𝑴] + 𝜷[𝑲]。其中，𝜶 和 𝜷 是任意常數。符合這個關係，就稱為「雷利阻尼」(Rayleigh damping)，也就「比例阻尼」系統。

2.      「非比例阻尼」(non-proportional damping)：如果，[𝑪] ≠𝜶[𝑴] + 𝜷[𝑲]。就界定為「非比例阻尼」系統。

 

為什麼做「比例阻尼」與「非比例阻尼」這樣的定義與區別？在「比例阻尼」，也就是「雷利阻尼」，在理論解析上，是相對單純的。而，「非比例阻尼」，在理論解析上，則是相對複雜的。有機會再另闢單元討論。

 

接續就來探討，「雷利阻尼」對[𝑪]矩陣的「直交性」關係，可以參閱圖片右下方的推導過程，可以得知：𝟐 𝝃𝒓 𝝎𝒓 = 𝜶 + 𝜷 𝝎𝒓^𝟐。進而，可以推導出「雷利阻尼」的各個模態之「模態阻尼比」(modal damping ratio)：𝝃𝒓 = 𝜶 / (𝟐 𝝎𝒓 ) + (𝜷 𝝎𝒓)/𝟐。

 

綜合這個單元的討論，甚麼是「雷利阻尼」(Rayleigh damping)？總結如下：

 

1.      「雷利阻尼」(Rayleigh damping)是基於「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)的MDOF (multiple degree-of-freedom)多自由度系統。

2.      結構都有其「振動模態」(vibration modes)。而，每一個「振動模態」都會有三個「模態參數」(modal parameters)，包括：𝝎𝒓，第 𝒓 個「自然頻率」(natural frequency)、{𝝓𝒓 }，第 𝒓 個「位移模態振型」(displacement mode shape)、以及𝝃𝒓，第 𝒓 個「模態阻尼比」(modal damping ratio)，也常簡稱「阻尼比」(damping ratio)。有 𝒏 個自由度，所以，會有有 𝒏 個「振動模態」。

3.      針對「位移模態振型」向量，對[𝑴]矩陣會有所謂「正交性」(Orthonormality)，對[𝑪]或[𝑲]矩陣，則是「直交性」(orthogonality)的特徵，可以寫成向量形式、或是矩陣形式。在矩陣形式，可以由「位移模態振型」向量，組成「模態振型矩陣」= [𝚽]=[{𝝓1} {𝝓2} ... {𝝓𝒏}]，簡稱「模態矩陣」(modal matrix)。

4.      「雷利阻尼」(Rayleigh damping)是「比例阻尼」(proportional damping)：必須符合，[𝑪] = 𝜶[𝑴] + 𝜷[𝑲]。其中，𝜶 和 𝜷 是任意常數。

5.      當系統是「雷利阻尼」(Rayleigh damping)，可以明確的得到各個模態的「模態阻尼比」(modal damping ratio)：𝝃𝒓 = 𝜶 / (𝟐 𝝎𝒓 ) + (𝜷 𝝎𝒓)/𝟐。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2024.09.30

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