這個單元要來探討的主題是：「庫倫阻尼」(Coulomb Damping)
SDOF系統自由振動之暫態響應的頻譜，有甚麼特徵？這是「庫倫阻尼」系列的第5篇。
參閱圖1，是前一個單元：#284，【庫倫阻尼SDOF系統之暫態響應分析，可以得到甚麼結果？】，主要的分析結果，回顧說明如下：
1. 瞭解了「庫倫阻尼」(Coulomb Damping) SDOF系統：系統參數包括：𝒎=質量 (kg)，𝒄=黏滯阻尼係數 (N / m/s)，𝒌=彈簧常數 (N/m)，𝝁=摩擦係數。
2. 推導得到「庫倫阻尼」SDOF系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM)：通式如下：𝒎𝒂+𝒄𝒗+𝒌𝒙=𝒇(𝒕)+𝑭𝒔(𝒕)。其中，𝑭𝒔(𝒕)=「摩擦力」。
3. 進行了「模態分析」(modal analysis)，可以求得結構的「模態參數」(modal parameters)：𝒇𝒏=𝟏/𝟐𝝅 √(𝒌/𝒎)：「自然頻率」(natural frequency)，單位為 Hz。𝝎𝒏=𝟐𝝅𝒇𝒏：也是「自然頻率」(natural frequency)，但是，單位為 rad/sec。𝝎𝒅=𝝎𝒏
√(𝟏−𝝃^𝟐 )：稱為「阻尼自然頻率」(damped natural frequency)，單位為 rad/sec。𝝃=𝒄/C𝒄：為「阻尼比」(damping ratio)，無因次單位。其中，C𝒄=2*(mk)^0.5=2mωn為「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)，單位為 N-s/m。
4. 探討了實際的數值分析案例作說明，設定：𝒎=1 (kg)，𝒄=0 (N-s/m)，𝒌=39.48 (N/m)，則自然頻率
𝒇𝒏= 1 (Hz)。令𝒇(𝒕)=0，𝒙𝟎 = 1 (m)，𝒗𝟎=𝟎 (m/s)，而 𝝁=𝟎.2，所以是單獨的「庫倫阻尼」效應的自由振動狀態。進行了「暫態響應分析」，就可以得到系統的時間域響應。
5. 瞭解了質塊的時間波形響應特徵：如位移𝒙(𝒕)，速度 𝒗(𝒕)，加速度 𝒂(𝒕)。
6. 也瞭解了系統的各種外力之時間波形響應特徵：如
𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕) = 𝑭𝒎(𝒕)+𝑭𝒄(𝒕)+𝑭𝒌(𝒕)，分別是「慣性力」(inertial force) 𝑭𝒎(𝒕)=𝒎𝒂(𝒕)，「阻尼力」(damping force) 𝑭𝒄(𝒕)= 𝒄𝒗(𝒕)，「彈簧力」(spring force) 𝑭𝒌(𝒕)=
𝒌 𝒙(𝒕)，而𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕)是3種系統力的合成。另外，「外力」(external force)
𝒇(𝒕)和「摩擦力」(frictional force)
𝑭𝒔(𝒕)，都是有興趣的分析結果。同時，由EOM可以知道， 𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕) = 𝒇(𝒕)+𝑭𝒔(𝒕)。
由以上回顧，瞭解了「庫倫阻尼」SDOF系統的「自由振動」(free vibration)之時間波形暫態響應，包括：質塊的時間波形響應、以及系統的各種外力之時間波形響應。這個單元，要進一步分析觀察質塊響應和系統外力的時間波形之「頻譜」(spectrum)。
參閱圖2，左上方是進行「頻譜」(spectrum)的”ISO”「系統方塊圖」，說明如下：
1. Input 輸入：𝒙(𝒕) 是一個信號的時間波形(time waveform)。
2. System 系統：就是進行FFT「快速傅立業轉換」(fast Fourier transform)的「頻譜分析」(spectral analysis)。
3. Output 輸出：𝑿(𝒇) 是 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜」(Fourier spectrum)。
以上資訊，讀者可參考先前單元：#180，【FFT系列：如何確認FFT頻譜分析程式的正確性？】。
參閱圖2，第1欄圖示，分別是質塊的時間波形響應特徵：位移𝒙(𝒕)，速度 𝒗(𝒕)，加速度 𝒂(𝒕)，以及摩擦力𝑭𝒔(𝒕)。而第3欄圖示，分別是各種外力的時間波形響應：「彈簧力」𝑭𝒌(𝒕)，「阻尼力」𝑭𝒄(𝒕)，「慣性力」𝑭𝒎(𝒕)，以及「慣性力」、「阻尼力」和「彈簧力」的合成力𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕)。
接著，對以上所有的時間波形信號，進行FFT「頻譜分析」，可以得到對應的「頻譜」，特徵說明如下：
1. 位移𝒙(𝒕)，速度 𝒗(𝒕)，加速度 𝒂(𝒕)的頻譜：如圖2的第2欄圖示，都呈現出典型的SDOF系統之頻譜特徵，其波峰(peak)出現在 f = 1
(Hz)，因為，時間波形的振盪頻率是系統的「自然頻率」𝒇𝒏= 1 (Hz)，又，因為時間波形有衰減現象，所以，沿著波峰(peak)兩側都有類似洩漏(leakage)現象，這是合理的頻譜特徵。
2. 「慣性力」、「阻尼力」和「彈簧力」的頻譜：如圖2的第4欄圖示，除了「阻尼力」的頻譜為零，因為沒有黏滯阻尼𝒄=0，「慣性力」和「彈簧力」都呈現出典型的SDOF系統之頻譜特徵，其波峰(peak)出現在 f = 1 (Hz)，因為「慣性力」及「彈簧力」，和加速度 𝒂(𝒕)及位移𝒙(𝒕)，只有質量𝒎和彈簧常數𝒌的比例差異，所以頻譜趨勢特徵完全相同，只有量值的比例差異。
3. 「摩擦力」𝑭𝒔(𝒕)和「慣性力」、「阻尼力」和「彈簧力」合成力𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕)的頻譜：分別如圖2的第2欄和第4欄最下方的圖示，由於𝑭𝒔(𝒕) =
𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕)，所以兩者的頻譜分佈趨勢和量值會完全相同。又因為，𝑭𝒔(𝒕) 和 𝑭𝒎𝒄𝒌(𝒕)是週期性、連續性的方波，數學上定義是「奇函數」(odd function)，所以，其頻譜特徵，會有1、3、5、…的奇數倍的「簡諧倍頻」(harmonics)，也可簡稱「諧頻」。數學上，也可以由「傅立業級數」(Fourier
series)的物理意義來解釋。
最後，回顧一下這個單元的討論，主要在分析觀察「庫倫阻尼」SDOF系統，在「自由振動」(free vibration)狀態的系統時間波形暫態響應，對其進行「頻譜分析」可以得到對應的「頻譜」(spectrum)，並且探討了「頻譜」的特徵，「頻譜」是分析診斷振動問題的重要參考資訊。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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| 圖1、庫倫阻尼SDOF系統之暫態響應分析 |
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| 圖2、庫倫阻尼SDOF系統自由振動之暫態響應的頻譜，有甚麼特徵？ |
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