這個單元要來探討的主題是：如何解讀平面鑼的「振動模態」(vibration modes)？
首先，參閱圖1中間上方的平面鑼結構，是一個採用機器製作的平面鑼，是個圓形平板的鑼，在圓週上有凸緣環的構造。
本單元會以「有限元素分析」(finite element analysis, FEA)方法，可建構如圖1右側圖示的平面鑼「有限元素模型」，觀察此機器製作的平面鑼，是一個薄殼結構(thin wall structure)，從背後看，可以看出凸緣環的構造形態。
建構了平面鑼「有限元素模型」，並據以進行「模態分析」(modal analysis)，即可求得平面鑼的理論「模態參數」(modal parameters)，包括：(1) 𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequencies)，(2) 𝝓𝒓「模態振型」(mode shapes)。可以知道結構的「振動模態」之頻率範圍，以及對應的「模態振型」之物理意義。
針對平面鑼的「振動模態」，每一個「振動模態」都有3個「模態參數」，就是「自然頻率」，及其對應的「模態振型」及「模態阻尼比」(modal damping ratio)。其中，「模態振型」之物理意義，可以從兩個角度看：
1.
Rigid Body Mode–剛體模態：因為，此平面鑼會以懸吊方式敲擊，所以是「自由邊界」(free boundary)的結構，因此會有「剛體模態」Rigid Body Mode，其「自然頻率」會是零。又可以區別出，3個平移(Translational)剛體模態、以及3個旋轉(Rotational)剛體模態。圖1左下方顯示的是「Z-方向平移模態」(Z-Translational Mode)。
2.
Elastic Body Mode–彈性體模態：因為，此平面鑼是個彈性體(elastic body)，所以，會有「彈性體模態」Elastic Body Mode。由於平面鑼有凸緣環的結構特徵，所以會有兩種模態特徵，包括：(1) Global Mode–整體結構模態，(2) Local Mode–局部結構模態。
在(1) Global Mode–整體結構模態，參閱圖1左下方，其中，包含：(1-1) Ring Mode–環模態，顯示的是(𝜽=𝟐)的「環模態」Ring Mode，主要是來自凸緣環結構的效應。以及(1-2) Free Plate Mode–自由邊界圓板模態，是整體平面鑼結構在「自由邊界」的模態，圖示顯示的是(𝜽=0)的(𝒓=𝟏)以及(𝒓=2)之「自由邊界圓板模態」Free Plate Mode。
在(2) Local Mode–局部結構模態，因為此平面鑼有凸緣環結構的效應，使得上表面的鑼面，形成相當於四週固定的圓形平板，因此，其物理意義上是Fixed Plate Mode–固定邊界圓板模態。圖示顯示的是(𝜽=1)的「固定邊界圓板模態」Fixed Plate Mode。
另外，還可以觀察「振動模態」會有Axisymmetric Mode–軸對稱模態，例如：(𝜽=𝟐)的「環模態」Ring Mode，這兩個軸對稱模態的「自然頻率」相同，而「模態振型」物理意義相同，只是「節線」(nodal line)有角度的相位差。在(𝜽=1)的「固定邊界圓板模態」Fixed Plate Mode，也有同樣的類似特徵。
接著，更詳細來看此平面鑼的「振動模態」特徵，特別是觀察瞭解結構的「模態振型」之物理意義。
參閱圖2，是平面鑼的「剛體模態」Rigid Body Mode，上方3個動畫分別是「X-方向平移模態」(X-Translational Mode)、「Y-方向平移模態」(Y-Translational Mode)、「Z-方向平移模態」(Z-Translational Mode)。下方3個動畫分別是「X-方向旋轉模態」(X-Rotational Mode)、「Y-方向旋轉模態」(Y-Rotational Mode)、「Z-方向旋轉模態」(Z-Rotational Mode)。
為什麼會有6個「剛體模態」Rigid Body Mode呢？一個質點，都會有6個「自由度」(degree-of-freedom, DOF)，又因為此平面鑼會以懸吊方式敲擊，所以是「自由邊界」(free boundary)的結構，所以會有6個「剛體模態」Rigid Body Mode，而且，其「自然頻率」都會是零。
其次，參閱圖3，來觀察此平面鑼的「彈性體模態」Elastic Body Mode。討論如下：
1.
觀察(1) Global Mode–整體結構模態，其中的「環模態」Ring
Mode，如圖3的左側動畫，會有此「環模態」Ring Mode，是因為有凸緣環結構的效應。可以區別出有(𝜽=𝟐)、(𝜽=3)、(𝜽=4)、(𝜽=5)、(𝜽=6)、(𝜽=7)，其中，(𝜽=𝟐)是有兩條「節線」(nodal line)，依此類推。同時，可觀察「節線」越多，模態數越大，「自然頻率」也越大。
2.
觀察(1) Global Mode–整體結構模態，其中的「自由邊界圓板模態」Free Plate Mode，如圖3的中間動畫，會有此「自由邊界圓板模態」Free Plate Mode，是因為此平面鑼會以懸吊方式敲擊，所以是「自由邊界」(free boundary)的結構，因此可區別出有(𝜽=0)的(𝒓=𝟏)、(𝒓=2) 以及(𝒓=3)之「自由邊界圓板模態」Free Plate Mode。其中，(𝒓=𝟏)表示在半徑方向，有一條「節線」(nodal line)，依此類推。
3.
觀察(2) Local Mode–局部結構模態，如圖3的右側動畫，因為此平面鑼有凸緣環結構的效應，使得上表面的鑼面，形成相當於四週固定的圓形平板，因此，其物理意義上是Fixed Plate Mode–固定邊界圓板模態。在垂直方向，可區別(𝒓=0)、(𝒓=1) 以及(𝒓=2)的模態。而水平方向，可區別出(𝜽=1)、(𝜽=𝟐)、(𝜽=3)、(𝜽=4)的模態。其中的數字，代表的是「節線」(nodal line)數量，從圖示可以明確解讀(𝒓,
𝜽)的物理意義。
在圖3的所有「彈性體模態」Elastic Body Mode，可以觀察模態數的出現順序，現象特徵說明如下：
1.
模態數編號：通常由最小的「自然頻率」，由小排到大，順序編號。
2.
「彈性體模態」Elastic Body Mode的最低模態數：會從第7個開始，因為有6個「剛體模態」Rigid Body Mode。
3.
模態數的出現順序：依照前述的3種平面鑼的「振動模態」特徵，模態數的順序，顯現是跳躍式的現象。
4.
模態數有無窮多個：一個彈性體結構，理論上，會有無窮多個「振動模態」，不過，通常低頻率的模態，比較重要，因為對振動或聲音的響應，影響比較大。
5.
模態物理意義的編號：如(𝒓=0)、(𝒓=1)、(𝒓=2)的模態數，以及 (𝜽=1)、(𝜽=𝟐)、(𝜽=3)、(𝜽=4)的模態數，都可以無限的擴充，其「模態振型」之物理意義，也是依此類推。
另外，補充一下敲鑼位置的影響，一般敲鑼會是敲擊中央位置，除了(1) Global Mode–整體結構模態，其中的「自由邊界圓板模態」Free Plate Mode，如圖3的中間動畫，在中央位置，不是「節點」(nodal point)外，所以，會激發此類型模態，進而發出聲音頻率。而，其他兩個類型的模態，在中央位置，都剛好是「節點」，所以，敲擊中央位置時，不會發出聲音頻率。
又，如果是敲擊平面鑼的邊緣位置，那麼所有的「振動模態」就都會被激發，進而發出聲音頻率。
最後，參閱圖4，是平面鑼的「軸對稱模態」Axisymmetric Mode，主要的3種類型的「振動模態」，會有「軸對稱模態」Axisymmetric Mode的是：
1.
(1) Global Mode–整體結構模態，其中的「環模態」Ring Mode：如圖4的左側動畫，「環模態」Ring Mode，(𝜽=𝟐)、(𝜽=3)、(𝜽=4)，兩兩的「軸對稱模態」Axisymmetric Mode，「自然頻率」相同，而「模態振型」物理意義相同，只是「節線」(nodal line)有某個角度的相位差。
2.
(2) Local Mode–局部結構模態：如圖4的右側動畫，以(𝒓=0)、(𝒓=1)和(𝜽=1)、(𝜽=𝟐)、(𝜽=3)、(𝜽=4)的模態為例，可以看到典型的「軸對稱模態」Axisymmetric Mode特徵：「自然頻率」相同，而「模態振型」物理意義相同，只是「節線」(nodal line)有某個角度的相位差。
參閱圖4的中間動畫，是(1) Global Mode–整體結構模態，(1-2) Free Plate Mode–自由邊界圓板模態，是整體平面鑼結構在「自由邊界」的模態，因為(𝜽=0)，所以，沒有「軸對稱模態」Axisymmetric Mode，這種模態也可稱之為「徑向模態」Radial Mode。
最後，回顧這個單元的討論，主要在探討：如何解讀平面鑼的「振動模態」(vibration modes)？重點摘錄如下：
1.
Rigid Body Mode–剛體模態：可以區別出，3個平移(Translational)剛體模態、以及3個旋轉(Rotational)剛體模態。
2.
Elastic Body Mode–彈性體模態：有兩種模態特徵，包括：(1) Global Mode–整體結構模態，(2) Local Mode–局部結構模態。
3.
在(1) Global Mode–整體結構模態：包含：(1-1)
Ring Mode–環模態，以及(1-2) Free Plate Mode–自由邊界圓板模態。
4.
在(2) Local Mode–局部結構模態：其物理意義上是Fixed Plate Mode–固定邊界圓板模態。
5.
「振動模態」會有Axisymmetric Mode–軸對稱模態：包含：(1-1) Ring Mode–環模態，以及(2) Local Mode–局部結構模態 的Fixed Plate Mode–固定邊界圓板模態。
6.
(1) Global Mode–整體結構模態，(1-2) Free Plate Mode–自由邊界圓板模態：是沒有「軸對稱模態」Axisymmetric Mode，也可稱之為「徑向模態」Radial Mode。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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| 圖1、如何解讀平面鑼的「振動模態」(vibration modes)？ |
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| 圖2、平面鑼的「剛體模態」Rigid Body Mode |
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| 圖3、平面鑼的「彈性體模態」Elastic Body Mode |
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| 圖4、平面鑼的「軸對稱模態」Axisymmetric Mode |
