《振動噪音科普專欄》隨機衝擊波的頻譜，真的會是平的頻譜(flat spectrum)？也就是白噪音頻譜(white noise spectrum)嗎？

  

這個單元要來探討的主題是：「隨機衝擊波」(random impact wave)的「頻譜」(spectrum)，真的會是「平頻譜」(flat spectrum)？也就是「白噪音頻譜」(white noise spectrum)嗎？

 

因為要從「時間波形」(time waveform)，透過FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)，取得信號的「頻譜」(spectrum)。首先，回顧一下，如何進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。參閱圖片左上方，FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，重點說明如下：

 

1.      Input輸入：就是一個信號的「時間波形」(time waveform)。

2.      System系統：在此FFT，就是系統。就是要進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。

3.      Output輸出：當然就是「時間波形」信號的「頻譜」(spectrum)。

4.      Control控制：進行FFT的控制變數，有三大項，包括：(1) FFT 參數(parameters)，(2) 窗函數形式(Window Type)，(3) 平均處理(Averaging)。

 

針對第一個重要選項，是FFT 參數(parameters)，主要有兩個變數需要設定，定義如下：

 

1.      Fmax = 1000 Hz：最高有效頻率(maximum effective frequency)，單位：Hz。

2.      LOR = 1000 條：頻率解析條數(lines of resolution, LOR)，單位：條(lines)。

 

在此設定，R = Fmax / LOR = 1.0 Hz：頻譜的頻率解析度(Resolution)。

 

同時，第二個重要選項，是窗函數形式(Window Type)。本單元選用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」。另外，會探討”Hanning”=「漢寧窗函數」。

 

第三個重要選項，是平均處理(Averaging)，令平均次數(Number of Averaged)：Navg = 1次。Overlap = 0%。

 

快速回顧一下，前一個單元：「隨機的理想衝擊波」(random ideal impact wave)，其「頻譜」(spectrum)會有甚麼特徵？參閱圖片左邊下方圖示，說明如下：

 

1.      「時間波形」：一系列連續的、隨機的「理想衝擊波」，衝擊波有正、有負，而且沒有固定的週期關係，是隨機的(random)衝擊波。

2.      「頻譜」：可以以Linear或是Logarithmic來觀察「頻譜」。當AVG=1，就是只取了1次的平均，呈現了隨機的(random)分布現象，每個頻率都有振幅值。在Logarithmic「頻譜」，紅色曲線是原始的「頻譜」，黑色的曲線是「平滑化頻譜」(smoothed spectrum)，可以觀察到，接近於「平的頻譜」(flat spectrum)。若是AVG=5，就是取了5次的平均，同樣呈現了隨機的(random)分布現象，每個頻率都有振幅值。這時，紅色的原始「頻譜」曲線，又更接近於「平的頻譜」(flat spectrum)。黑色的「平滑化頻譜」(smoothed spectrum) 曲線，也是更加接近於「平的頻譜」(flat spectrum)。

 

在此需注意的是，前個單元是採用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」。這樣的設定，其實是不太正確的，因為，「時間波形」(time waveform)是隨機的(random)，有潛在的「洩漏」(leakage)的風險。

 

在選定FFT分析的控制變數(control variables)，第一步，設定FFT 參數(parameters)，主要有兩個變數需要設定，定義如下：

 

1.      Fmax = 1000 Hz：最高有效頻率(maximum effective frequency)，單位：Hz。

2.      LOR = 1000 條：頻率解析條數(lines of resolution, LOR)，單位：條(lines)。

3.      T = LOR / Fmax = 1.0 sec：取樣的時間區間(time frame)。一旦設定了Fmax及LOR，T時間區間(time frame)就確定了。

4.      R = Fmax / LOR = 1.0 Hz：頻譜的頻率解析度(Resolution)。一旦設定了Fmax及LOR，R頻率解析度(Resolution)也就確定了。

 

第二步，選定「窗函數」(Window Type)，說明如下：

 

1.      ”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」：適用於時間區間(time frame)的頭尾信號相同。也就是「無洩漏」(no leakage)的「時間波形」(time waveform)。

2.      ”Hanning”=「漢寧窗函數」：適用於任意的隨機信號。也就是「有洩漏」(with leakage) 的「時間波形」(time waveform)。

 

第三步，設定「平均處理」(Averaging)的方式，說明如下：

 

1.      平均次數(Number of Averaged)：本單元，將取AVG = 1 次、5次、50次，進行比較探討。

2.      時間區間(time frame)的重疊率(percentage of overlap)：本單元，將取Overlap = 0 %。

 

在此，採用：(1) Fmax = 1000 Hz，LOR = 1000 條，T = LOR / Fmax = 1.0 sec，R = Fmax / LOR = 1.0 Hz。(2) ”Hanning”=「漢寧窗函數」。(3) AVG = 1 次、5次、50次；Overlap = 0 %，進行FFT分析的比較探討。

 

參閱圖片右上方，分別顯示了3個案例：AVG = 1 次、5次、50次。每個分析包含4個圖示：

 

(1)       原始的「時間波形」(time waveform)。

(2)       原始的Linear「頻譜」。

(3)       紅色曲線是原始的Logarithmic「頻譜」，以及黑色的曲線是「平滑化頻譜」(smoothed spectrum)。

(4)       每個時間區間(time frame)的「漢寧窗函數」加權處理的「時間波形」。

 

綜合討論如下：

 

1.      ”Hanning”， AVG = 1 次：(1) FFT只取了1個時間區間(time frame)，所以，總時間1 sec。(2) Linear「頻譜」呈現隨機的(random)分布現象，每個頻率都有振幅值。(3) 在Logarithmic「頻譜」，紅色曲線是原始的「頻譜」，黑色的曲線是「平滑化頻譜」(smoothed spectrum)，可以觀察到，接近於「平的頻譜」(flat spectrum)。(4)「漢寧窗函數」加權處理的「時間波形」，灰色是原始信號，紅色是加權後的「時間波形」，頭尾信號都強迫歸零。

2.      ”Hanning”， AVG = 5 次：(1) FFT只取了5個時間區間(time frame)，因為Overlap = 0 %，所以，總時間5 sec。(2) Linear「頻譜」呈現隨機的(random)分布現象，每個頻率都有振幅值。量值上的變化，比起AVG = 1 次，有更小的變動趨勢。(3) 在Logarithmic「頻譜」，紅色曲線是原始的「頻譜」，黑色的曲線是「平滑化頻譜」(smoothed spectrum)，可以觀察到，更接近於「平的頻譜」(flat spectrum)。(4)「漢寧窗函數」加權處理的「時間波形」，灰色是原始信號，不同顏色是5次加權後的「時間波形」，頭尾信號都強迫歸零。

3.      ”Hanning”， AVG = 50次：(1) FFT取了50個時間區間(time frame)，因為Overlap = 0 %，所以，總時間50 sec，看起來是個完全隨機的(random)信號。(2) Linear「頻譜」呈現隨機的(random)分布現象，每個頻率都有振幅值。量值上的變化，比起AVG = 5次，有更小的變動趨勢。(3) 在Logarithmic「頻譜」，紅色曲線是原始的「頻譜」，黑色的曲線是「平滑化頻譜」(smoothed spectrum)，可以觀察到，已經幾乎是「平的頻譜」(flat spectrum)。(4)「漢寧窗函數」加權處理的「時間波形」，灰色是原始信號，不同顏色是50次加權後的「時間波形」，頭尾信號都強迫歸零。

 

再將3個Logarithmic「頻譜」，放大、放在一起比較，參閱圖片中間下方圖示，可以更清楚比較其間的差異。當AVG = 1 次以及AVG = 5 次，只能說接近於「平的頻譜」(flat spectrum)。當AVG = 50次，可以說已經幾乎是「平的頻譜」(flat spectrum)。

 

回到本單元探討的主題：「隨機衝擊波」(random impact wave)的「頻譜」(spectrum)，真的會是「平頻譜」(flat spectrum)？也就是「白噪音頻譜」(white noise spectrum)嗎？本質上，確實可以說：「隨機衝擊波」(random impact wave)的「頻譜」(spectrum)，是「平頻譜」、或稱「白噪音頻譜」。

 

但是，在FFT分析設定上，必須要有適當的選擇，特別是AVG平均次數(Number of Averaged)要夠多，也就是量測時間要夠長。當AVG = 50次，可以說已經幾乎是「平的頻譜」(flat spectrum)。因此，一般而言，對於隨機的(random)「時間波形」信號，AVG平均次數要夠多，50、100次都是合理的選項。

 

綜合一下這個單元的討論：

 

1.          複習討論了：FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，包括：Input輸入、System系統、Output輸出、Control控制。以瞭解如何取得「頻譜」(spectrum)。

2.          複習討論「隨機的理想衝擊波」(random ideal impact wave)，其「頻譜」(spectrum)會有甚麼特徵？採用的是”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」。適用於時間區間(time frame)的頭尾信號相同。也就是「無洩漏」(no leakage)的「時間波形」(time waveform)。這樣的設定，其實是不太正確的，因為，「時間波形」(time waveform)是隨機的(random)，有潛在的「洩漏」(leakage)的風險。

3.          針對「隨機衝擊波」(random impact wave)，進行FFT分析，採用了”Hanning”=「漢寧窗函數」，適用於任意的隨機信號。也就是「有洩漏」(with leakage) 的「時間波形」(time waveform)。

4.          針對「隨機衝擊波」(random impact wave)，進行FFT分析，採用了AVG = 1 次、5次、50次，進行比較探討。AVG平均次數(Number of Averaged)要夠多，也就是量測時間要夠長。當AVG = 50次，可以說已經幾乎是「平的頻譜」(flat spectrum)。因此，一般而言，對於隨機的(random)「時間波形」信號，AVG平均次數要夠多，50、100次都是合理的選項。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2026.02.25

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