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《振動噪音科普專欄》為什麼會有Beating現象?

 

這個單元的主題:為什麼會有Beating現象?甚麼是Beating呢?中文的翻譯可稱為:拍振」、「拍擊」、「重擊」,在先前單元:#33甚麼是重擊現象(beating phenomenon)】,已經有初步的討論,這個單元再一次補充說明。

 

在此,取了兩個餘弦波,分別是 𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕)𝑿1 = 1𝒇1 = 100 Hz𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇2 𝒕)𝑿2 = 1𝒇2 = 110 Hz。兩個信號的「傅立業頻譜𝑿(𝒇),如預期分別在頻率 𝒇 = 100 Hz,振幅 𝑿 = 1= 𝑿1,以及頻率 𝒇 = 110 Hz,振幅 𝑿 = 1= 𝑿2

 

這樣的合成信號,就稱為Beating。有甚麼特徵呢?參閱左側第一張圖示,說明如下:

 

1.      兩個頻率相近的餘弦波:在此圖例,分別為,𝒇1 = 100 Hz𝒇2 = 110 Hz

2.      時間波形的特徵:參閱圖示,可以觀察出典型Beating的時間波形。

3.      ”Beating”的週期參閱圖示,可看出 𝒕 =0.1 sec 𝒕 =0.2 sec之間,是個循環週期,週期T =0.1 sec,為甚麼呢?因為,𝒇2𝒇1 = 110 Hz – 100 Hz = 10 Hz = 𝒇b,稱為beating frequency拍振/拍擊/重擊頻率」,所以,「拍振/拍擊/重擊週期T b=1/ 𝒇b =0.1 sec

4.      放大兩個餘弦波的時間波形:參閱圖示,在 𝒕 =0.1 sec,及 𝒕 =0.2 sec兩個幾乎重合,所以,兩個波的振幅值有加總的效應,𝑿1 = 1𝑿2 = 1,合成的「振幅值」為𝑿 = 2。而在 𝒕 =0.15 sec𝒙1(𝒕) 𝒙2(𝒕) 分別是一正、一負,兩兩相互抵銷,所以在 𝒕 =0.15 sec,合成的信號為零。

5.      「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) 的特徵:參閱圖示,分別在頻率 𝒇 = 100 Hz,振幅 𝑿 = 1= 𝑿1,以及頻率 𝒇 = 110 Hz,振幅 𝑿 = 1= 𝑿2。顯示出兩個頻率相近的餘弦波。

 

參閱左側第二張圖示,不同的是,𝒇2 = 110 Hz,改變為 𝒇2 = 120 Hz,此時,beating frequency 拍振/拍擊/重擊頻率𝒇b= 𝒇2𝒇1 = 120 Hz – 110 Hz = 20 Hz,所以,beating period拍振/拍擊/重擊週期T b=1/ 𝒇b =1/20= 0.05 sec。從時間波形」及「傅立業頻譜𝑿(𝒇) 可看出有不同的特徵。

 

參閱左側第三張圖示,不同的是,𝒇2 = 110 Hz,改變為 𝒇2 = 130 Hz,此時,beating frequency 拍振/拍擊/重擊頻率𝒇b= 𝒇2𝒇1 = 130 Hz – 110 Hz = 30 Hz,所以,beating period拍振/拍擊/重擊週期T b=1/ 𝒇b =1/30= 0.033 sec。從時間波形」及「傅立業頻譜𝑿(𝒇) 可看出對應的不同特徵。

 

讀者如果觀看影片,則可綜合比較左側三張圖示在不同beating frequency時,對應聲音的差異,都有的循環聽感,這就是為什麼會稱為拍振/拍擊/重擊」的原因。

 

接下來,參閱右側第一張圖示,兩個餘弦波分別是:𝒇1 = 100 Hz𝒇2 = 110 Hz,而對應的「振幅值(amplitude)大小不同,分別為 𝑿1 = 1𝑿2 = 2。在時間波形,beating frequency 拍振/拍擊/重擊頻率:仍然是 𝒇b= 10 Hz。和左側第一張圖示的差異在「振幅值」,最大值為 𝑿1 + 𝑿2= 1+ 2= 3,在 𝒕 =0.15 sec,合成的「振幅值」為 𝑿2 𝑿1= 21= 1

 

再參閱右側第二張圖示,兩個餘弦波分別是:𝒇1 = 100 Hz𝒇2 = 110 Hz,而對應的「振幅值」大小不同,分別為 𝑿1 = 2𝑿2 = 1,也就是「振幅值」大小相反。在時間波形,與右側第一張圖示,幾乎相似,不過聽感略有不同,因為,比較大的振幅值,一個是𝒇 = 100 Hz,另一個是 𝒇 = 110 Hz

 

最後,參閱右側第三張圖示,兩個餘弦波分別是:𝒇1 = 100 Hz𝒇2 = 110 Hz,而對應的「振幅值」大小不同,分別為 𝑿1 = 3𝑿2 = 1,在時間波形,最大值為 𝑿1 + 𝑿2= 3+ 1= 4,在 𝒕 =0.15 sec,合成的「振幅值」為 𝑿2 𝑿1= 31= 2

 

由以上的比較探討,可以看出不同「振幅值」的beating現象的差異。如果,兩個餘弦波的「頻率」相近,又「振幅值」也很相近,就會有明顯的左側系列三張圖示的時間波形,都會有零值的效應,使得beating的聽感很明顯,實務上,可能就會形成「異音/異響」的不良效應。

 

如果兩個有beating信號,其「振幅值」相差比較大,如右側第三張圖示,beating的「特徵,就不會那麼顯著。

 

綜合一下本單元的討論,會有beating拍振/拍擊/重擊」的現象發生,要注意兩件事:

 

1.      是否有兩個「頻率」相近的餘弦波?當兩個「頻率」相近時,會有「特徵的beating frequency拍振/拍擊/重擊頻率」。

2.      這兩個餘弦波的「振幅值」是否很相近?如果,兩個頻率對應的「振幅值」很相近,那麼「特徵,就會很顯著。反之,兩個頻率對應的「振幅值」差異很大,beating的「特徵,就不會那麼顯著。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2020.10.05

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《振動噪音科普專欄》FFT系列:甚麼是洩漏(leakage)?窗函數(window)如何改善洩漏(leakage)?


 這個單元的主題:FFT系列:甚麼是「洩漏(leakage)?「窗函數(window)如何改善「洩漏(leakage)其中,FFTfast Fourier transform快速傅立業轉換」是進行「頻譜分析(spectral analysis)的數學方法,讀者可參閱#27:【甚麼是頻譜分析?】。

 

甚麼是「洩漏」?甚麼是「窗函數」?又為什麼「窗函數」可以改善「洩漏」呢?

 

首先,觀察左上方圖示,從無「洩漏(without leakage)的餘弦波信號之FFT看起,其中,𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕)𝑿1 = 1𝒇1 = 100 Hz。採用的「FFT分析參數」,令 Fmax = fnyq= 500 HzLOR = Nf = 250 lines。可以得到其他5個「FFT分析參數」:

 

1.      取樣頻率(sampling frequency)fs = fnyq*2 = 500*2 = 1000 Hz

2.      總取樣點數(number of samples)Nt = Nf*2 = 250*2 = 500 samples

3.      時間間距(time interval)Δt = 1/fs = 1/1000 = 0.001 sec

4.      頻率解析度(frequency resolution)Δf = fnyq / Nf = 500/250 = 2 Hz

5.      時間長度(time frame)T = 1/Δf = Nf/ fnyq = 250/500 = 0.5 sec

 

以此「FFT分析參數」的設定,對 𝒙1(𝒕) 信號進行FFT快速傅立業轉換」,可以得到「傅立業頻譜𝑿(𝒇),如預期在頻率 𝒇 = 100 Hz = 𝒇1,有振幅值 𝑿 = 1= 𝑿1,這是一個沒有「洩漏」的信號,所以可得到正確的「傅立業頻譜」。

 

為什麼會沒有「洩漏」呢?因為,  = 100/2=50,剛好整除,沒有「餘數」,所以沒有「洩漏」,主要是所取樣的時間波形,可以取得「完整的週期」,能夠正確的解析出 𝒙1(𝒕) 信號的頻率及其振幅值。

 

接著,觀察右方圖示,是有「洩漏(with leakage)的餘弦波信號之FFT,其中,𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕)𝑿1 = 1𝒇1 = 101 Hz。採用相同的「FFT分析參數」進行FFT分析,可以看到所得到「傅立業頻譜𝑿(𝒇),在頻率 𝒇 = 100 Hz,其振幅值 𝑿 = 0.6339,在頻率 𝒇 = 102 Hz,其振幅值 𝑿 = 0.6393,顯然與實際 𝒙1(𝒕) 信號的頻率𝒇1 = 101 Hz,是不相同的。這就是有「洩漏」的現象。

 

那麼,為什麼會有「洩漏」呢?因為,  = 101/2=50.5,不能整除,有「餘數」,所以有「洩漏」,主要是所取樣的時間波形,不能取得「完整的週期」,所以,不能夠正確的解析出 𝒙1(𝒕) 信號的頻率。

 

需注意,在此圖的「窗函數」選項是Box,也可稱為Uniform、或Rectangular,中文稱為「方形/均勻/矩形窗函數」,相當於是窗函數(without window)的效應。當餘弦波信號不能對「頻率解析度  整除,所得到的「傅立業頻譜𝑿(𝒇) 就「洩漏」到鄰近的頻率,在此圖例,分別是𝒇 = 100 Hz𝒇 = 102 Hz,而且其振幅值也都低於𝑿1 = 1,所以此現象就稱為

洩漏(leakage)

 

實務上,此「洩漏」現象可以避免嗎?答案是:不可以避免!就算我們能將「頻率解析度  設定的非常小,但是,實際上餘弦波信號的頻率,仍然可能是無法整除,所以「洩漏」是無法避免的現象。

 

如果,無法避免有「洩漏」的現象,那麼在觀察「傅立業頻譜𝑿(𝒇) 就會誤判餘弦波的正確頻率以及其振幅值,那麼就沒能達到FFT頻譜分析」的目的,因此,需要有改善「洩漏」現象的方法,就是適當的選用「窗函數」,讀者可參考先前單元:#106典型的Window視窗加權函數有哪些?

 

以下舉兩個常採用的「窗函數」,對有「洩漏」現象的信號,進行對應的FFT頻譜分析」,說明如下:

 

1.      漢寧窗函數(Hanning window):參閱左下方圖示,在時間波形,可觀察加入「漢寧窗函數」處理,使得時間區間的兩端,強迫歸零,所以可以減少「洩漏」現象。在「傅立業頻譜𝑿(𝒇) 就可看到振幅值有提高,和Box窗函數」相比較,Hanning窗函數」可以改善解析的振幅值,同時,洩漏到實際頻率鄰近兩側的頻帶寬度,也大幅改善減小,頻帶寬度變得比較集中。

2.      平頂窗函數(flat top window):參閱右下方圖示,在時間波形,可觀察加入「平頂窗函數」處理,使得時間區間的兩端,強迫歸零,所以也可以減少「洩漏」現象。但要注意,和Hanning窗函數」比較,flat top窗函數」的時間域加權效應略有不同。在「傅立業頻譜𝑿(𝒇) flat top窗函數」會有完全正確的振幅值,但是,對應實際頻率峰值的頻帶寬度會增大。

 

綜合一下本單元的討論:

 

1.   無「洩漏(without leakage)的餘弦波信號之FFT:當信號頻率能夠與「頻率解析度  整除,那麼在「傅立業頻譜𝑿(𝒇) 就不會有「洩漏」現象。「傅立業頻譜𝑿(𝒇) 會完全正確。

2.      有「洩漏(without leakage)的餘弦波信號之FFT:在實務上,因為實際的信號各種頻率都有可能,所以有「洩漏」是無可避免的現象。「傅立業頻譜𝑿(𝒇) 會洩漏到實際頻率鄰近兩側的頻帶。

 

要解決「洩漏」的現象,就要選用適當的「窗函數(window function),也可稱為「加權函數(weighting function),本單元介紹了三種「窗函數」:

 

1.      Box窗函數」:也稱為Uniform、或Rectangular,中文稱為「方形/均勻/矩形窗函數」,相當於是窗函數(without window)的效應。對有「洩漏」的信號,在「傅立業頻譜𝑿(𝒇) 會洩漏到實際頻率鄰近兩側的頻帶,其頻帶寬度大,振幅值的解析會不正確。

2.      Hanning漢寧窗函數」:加入「漢寧窗函數」處理,原始信號在時間波形的取樣區間兩端,會強迫歸零,所以可以減少「洩漏」現象。在「傅立業頻譜𝑿(𝒇),洩漏到實際頻率鄰近兩側的頻帶寬度,可大幅減小改善,頻帶寬度變得比較集中,實際信號的振幅值有較正確的解析,對實際信號頻率之解析度比「平頂窗函數」較佳。「漢寧窗函數」適用在任意的隨機信號(random signal),因為,有不錯的「頻率解析」以及「振幅值解析」,可以合理地取得及瞭解信號的「頻率」與「振幅值」特徵。

3.      flat top平頂窗函數」:加入「平頂窗函數」處理,原始信號在時間波形的取樣區間兩端,也會強迫歸零,所以可以減少「洩漏」現象。在「傅立業頻譜𝑿(𝒇),洩漏到實際頻率鄰近兩側的頻帶寬度,會比「漢寧窗函數」的頻帶較寬、較大,不過,有良好的振幅值。「平頂窗函數」適用在單頻率的校正信號之頻譜分析,例如:加速度規校正及麥克風感測器校正,因為「振幅值解析」幾乎正確,雖然,「頻率解析」不好,但是對校正而言,「振幅值解析」的正確性至關重要。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2020.10.05