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《振動噪音科普專欄》對一個信號進行頻譜分析的原理為何?


在前一個單元:【加速度頻譜,有幾種?】,以加速度a(t)的信號為例,探討了單一頻率正弦波」的「加速度」,經過「FFT」及「信號處理」,可以得到三種頻譜」以及「位準」的「頻譜分析」流程,以及對應的頻譜圖示。

同時,由處理程序方塊圖的角度,介紹了4個處理程序的方塊圖,包括:FFTPSD1/3 octave、及dB。這4個處理程序的數學運算如何進行?原理為何呢?如果,想要編寫信號處理分析程式,需要了解甚麼呢?

在前一個單元:【對一個信號進行頻譜分析,可以得到甚麼?】,不管量測到的是外力f(t)、加速度a(t)、速度v(t)、位移x(t)、聲音壓力p(t)的「時間域波形」信號,都可以透過「頻譜分析」及「信號處理」,取得三種「頻譜」以及一個「位準」的數值,包括:

1.          Fourier spectrum傅立葉頻譜
2.          Auto power spectrum自身功率頻譜
3.          One-third octave band spectrum三分之一八音頻帶頻譜
4.          Level位準

這個單元以加速度a(t)的信號為例,針對進行頻譜分析」及「信號處理」,取得三種「頻譜」以及一個「位準」數值的「工作原理」做討論。首先回顧一下各種加速度(acceleration) 物理量」的相關名詞:

a(t)加速度時間域波形,acceleration time waveform
A(f)加速度傅立葉頻譜,acceleration Fourier spectrum
Gaa(f)加速度自身功率頻譜,acceleration auto power spectrum
Gaa,1/3(fc)加速度三分之一八音頻帶頻譜,acceleration 1/3 octave band spectrum
La加速度位準,acceleration level

知道了這些「物理量」名詞,參閱圖示的信號處理流程圖,可以知道有4個對應的「信號處理程序方塊圖」,分別說明如下:

1.          FFT operation,快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)FFT是一種數位信號的數學運算程序,其數學理論基礎是「傅立葉轉換(Fourier transform, FT)簡單的說:FT是將一個時間域的信號,轉換到頻率域,以得到傅立葉頻譜(Fourier spectrum)。數學上,傅立葉轉換的定義是積分,而且,積分的下限到上限,是負無窮大到正無窮大,然而實務上,只能取有限時間區間的信號,而且也經過「類比與數位信號的轉換」【甚麼是類比數位轉換器(A/D Converter)】,因此實際上是以「離散傅立葉轉換DFT (discrete Fourier transform)進行FT。又,由於DFT的運算數量龐大,因此,發展出快速傅立葉轉換FFT的運算方法,可以加快對信號進行頻譜分析」的速度。有關FTDFTFFT的關係及理論基礎,再另闢單元討論。在此,由【甚麼是頻譜分析?】:頻譜分析(spectral analysis),主要是應用「快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)的數學運算,將時間域的信號,a(t),轉換到頻率域,得到此信號的「傅立葉頻譜(Fourier spectrum)A(f),以對信號作進一步的解析觀察與應用。
2.          PSD operation,功率頻譜密度(power spectral density, PSD)函數之運算:由「傅立葉頻譜A(f),取其共軛複數(complex conjugate) A*(f),可以推算得到「自身功率頻譜Gaa(f)=A*(f)A(f)/Δf,其中,Δf為頻率解析度,所以,Gaa(f)的單位為g^2/Hz。讀者可參閱:【傅立葉頻譜與自身功率頻譜有甚麼不同?】。在PSD函數運算中,是可以取平均的運算,特別是對於隨機信號,可以由長時間的量測信號,對每一個time frame,取得各別的「傅立葉頻譜」,在PSD運算時,再對每一個time frame的「傅立葉頻譜」在PSD的運算處理後,取平均,平均化的處理可以消除雜訊(random noise)的影響,因此,可以取得隨機信號較好之頻率特徵。補充資訊:一個time frame為「時間區間」,或稱為「總取樣時間」,可參閱:甚麼是取樣頻率(sampling frequency)】。
3.          1/3 octave operation,三分之一八音頻帶頻譜之處理:「三分之一八音頻帶頻譜」符號表示為Gaa,1/3(fc),係由自身功率頻譜Gaa(f)運算處理而取得。要進行1/3 octave的信號處理,必須先有Gaa(f)自身功率頻譜」,並將Gaa(f)水平座標以對數座標呈現,參閱圖示,針對每一個「中心頻率」的「下限頻率」及「上限頻率」範圍,加總該頻帶的加速度總量,相當於如圖示的積分運算,再開根號,可以取得該「中心頻率」頻帶的Arms(fc) 加速度平方平均根值(root mean square value),單位為g。接著,再將Arms(fc)轉換為「加速度位準La(fc) = 20*Log10 ( Arms(fc) / Aref),其中,Aref=1 μm/s^2,是根據ISO 1683標準的「加速度參考值」,所以,La(fc) 的單位為dB re 1 μm/s^2La(fc)的物理意義是在此fc中心頻率」頻帶的加速度總量大小,也可以以Gaa,1/3(fc)表示之。在此須注意:Arms(fc)La(fc)、及Gaa,1/3(fc),三者的物理意義是相同的,需要區別的是符號與單位的差異。「三分之一八音頻帶頻譜」的變數符號寫成Gaa,1/3(fc),其中,fc就是「中心頻率」,代表a(t)信號在此「中心頻率」頻帶的總量大小。當表示為La(fc),已經轉換為dB位準」的單位。而,Arms(fc)也是此「中心頻率」頻帶的總量大小,單位是加速度的平方平均根值。有關1/3 octave band的「中心頻率」、「下限頻率」及「上限頻率」定義,可參考先前單元【甚麼是三分之一八音頻帶(one third octave band)】。
4.          dB calculation,位準(Level)計算:由Gaa,1/3(fc),得到每一個中心頻率頻帶的加速度位準dB,也可表示為La(fc),由圖示Σ方程式,累加所有中心頻率的加速度位準,即可得到此加速度信號的總量「加速度位準」La,單位是dB re 1 μm/s^2。在此須注意:此總量的加速度位準(overall acceleration level)dB,也可轉換為對應的Arms,是該加速度信號的「平方平均根值」。諸多的振動管制標準,多以「加速度總量」作為評估依據,也就是LaArms,在引用振動管制標準的比較時,需要注意物理量、單位及大小的定義,以及所規範的頻率範圍。除了以「加速度」總量作為評估依據外,也可採用「速度」或「位移」,本單元介紹的「FFT頻譜分析」及「信號處理」流程之原理是相同的。其他的物理量dB位準」計算方式,可參考【甚麼是dB】單元。

本單元以加速度a(t)的信號為例,由信號處理程序方塊圖的角度,介紹了4個信號處理程序的方塊圖,包括:FFTPSD1/3 octave、及dB的工作原理及數學運算方式。希望由本單元的探討,讀者能夠進一步了解取得加速度頻譜」的三種「頻譜」:A(f)Gaa(f)Gaa,1/3(fc)以及「位準La的基礎原理。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2019.04.23






《振動噪音科普專欄》加速度頻譜,有幾種?


在前一個單元:【對一個信號進行頻譜分析,可以得到甚麼?】,當量測到外力f(t)、加速度a(t)、速度v(t)、位移x(t)、聲音壓力p(t)的「時間域波形」信號,可以透過頻譜分析及信號處理,取得三種「頻譜」以及一個「位準」的數值,包括:

1.          Fourier spectrum傅立葉頻譜
2.          Auto power spectrum自身功率頻譜
3.          One-third octave band spectrum三分之一八音頻帶頻譜
4.          Level位準

本單元以加速度a(t)的信號為例,進行頻譜分析及信號處理,取得三種「頻譜」以及一個「位準」數值的實際案例做討論。首先回顧一下各種加速度(acceleration) 物理量」的相關名詞:

a(t)加速度時間域波形,acceleration time waveform
A(f)加速度傅立葉頻譜,acceleration Fourier spectrum
Gaa(f)加速度自身功率頻譜,acceleration auto power spectrum
Gaa,1/3(fc)加速度三分之一八音頻帶頻譜,acceleration 1/3 octave band spectrum
La加速度位準,acceleration level

知道了這些「物理量」名詞,參閱圖示的信號處理流程圖,可以知道有4個對應的「信號處理程序方塊圖」,分別說明如下:

1.          FFT operation,快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)FFT是一種數位信號的數學運算程序,簡單的說:FFT是將一個時間域的信號,轉換到頻率域。由【甚麼是頻譜分析?】:頻譜分析(spectral analysis),主要是應用快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)的數學運算,將時間域的信號,a(t),轉換到頻率域,得到此信號的「傅立葉頻譜(Fourier spectrum)A(f),以對信號作進一步的解析觀察。
2.          PSD operation,功率頻譜密度(power spectral density, PSD)函數之運算:由傅立葉頻譜A(f),取其共軛複數(complex conjugate) A*(f),可以推算得到自身功率頻譜Gaa(f)=A*(f)A(f)/Δf,其中,Δf為頻率解析度,所以,Gaa(f)的單位為g^2/Hz。讀者可參閱:【傅立葉頻譜與自身功率頻譜有甚麼不同?】。在PSD函數運算,可以取平均,對於隨機信號,取平均100次以上,都是合理的作業程序。
3.          1/3 octave operation,三分之一八音頻帶頻譜之處理:在先前單元【甚麼是三分之一八音頻帶(one third octave band)】就介紹了1/3 octave band的「中心頻率」、「下限頻率」及「上限頻率」定義。三分之一八音頻帶頻譜的變數符號寫成Gaa,1/3(fc),其中,fc就是「中心頻率」,代表a(t)信號在此「中心頻率」頻帶的總量大小。Gaa,1/3(fc)係由自身功率頻譜Gaa(f)運算處理而取得。將Gaa(f)水平座標以對數座標呈現,參閱圖示,針對每一個「中心頻率」的「下限頻率」及「上限頻率」範圍,加總該頻帶的加速度總量,開根號,可以取得該「中心頻率」頻帶的Arms(fc)加速度平方平均根值(root mean square value),單位為g。並可將Arms(fc)轉換為加速度位準La(fc) = 20*Log10 ( Arms(fc) / Aref),其中,Aref=1 μm/s^2,是加速度參考值,所以,Gaa,1/3(fc)單位為dB re 1 μm/s^2
4.          dB calculation,位準(Level)計算:由Gaa,1/3(fc),得到每一個中心頻率的加速度位準,對所有中心頻率的加速度位準,進行累加計算,可以得到a(t)訊號的加速度總量dB值。其他的物理量dB位準」計算方式,可參考【甚麼是dB】單元。

另外,也可以從4個「信號處理程序方塊圖」的「輸入」及「輸出」做說明,參閱圖示,綜合討論如下:

1.          a(t)acceleration time waveform加速度時間域波形:圖示的a(t)信號,是一個單一頻率的正弦波,典型的單位是g1 g = 9.807 m/s^2。正弦波a(t)=A*sin(2*π*f0*t+φ),其重要參數包括:正弦波的「振幅值A、「頻率f0、「相位角φ
2.          A(f)acceleration Fourier spectrum加速度傅立葉頻譜:對a(t)進行「FFT運算」處理,可以得到A(F),圖示為|A(f)|是傅立葉頻譜的「振幅頻譜」,水平軸為頻率,在正弦波頻率f0,有一個峰值,其大小就是正弦波的振幅A,單位也是g。此振幅的頻譜在垂直軸,以對數座標呈現,可以觀察到峰值頻率的變化情形,適用在診斷頻譜的特性。在此須注意:傅立葉頻譜是複數(complex number),也可由實數部、虛數部、或相位角來觀察。
3.          Gaa(f)acceleration auto power spectrum加速度自身功率頻譜Gaa(f)的單位為g^2/Hz。如右上角的Gaa(f)圖示,水平軸是頻率,以線性座標,垂直軸,採對數座標,Gaa(f)頻譜的特徵與|A(f)|相似,主要的不同是單位的差異。另外,Gaa(f)圖示也可在水平軸的頻率以對數座標呈現,會與Gaa,1/3(fc)的特徵相似。如果,處理的信號是隨機信號,Gaa(f) 是可以取平均的,因此,可以取得長時間的平均效應。在此須注意:Gaa(f)是純實數。
4.          Gaa,1/3(fc)One-third octave band spectrum三分之一八加速度音頻帶頻譜Gaa,1/3(fc)在水平軸是中心頻率,垂直軸是對應中心頻率頻帶的加速度位準,單位是dB re 1 μm/s^2,其中,re 1 μm/s^2係指with respect to 1 μm/s^2,是加速度計算位準dB的參考值,可參考【甚麼是dB】單元。同時可觀察,Gaa,1/3(fc)的頻譜分布特徵,與Gaa(f)在水平軸的頻率以對數座標呈現的頻譜特徵相對應。在此須注意:Gaa,1/3(fc)是此fc中心頻率頻帶的加速度位準dB,也可轉換為對應的Arms(fc),是該中心頻率頻帶的加速度平方平均根值。
5.          Laacceleration Level加速度位準:由前項Gaa,1/3(fc),得到每一個中心頻率頻帶的加速度位準dB,累加所有中心頻率的加速度位準,即可得到此加速度信號的總量位準La,單位是dB re 1 μm/s^2。在此須注意:此加速度總量的位準(overall acceleration level)dB,也可轉換為對應的Arms,是該加速度信號的平方平均根值。

介紹到這裡,請讀者注意本文的邏輯,有兩個討論的角度:

1.      處理程序方塊圖的角度:本單元介紹了4個處理程序的方塊圖,包括:FFTPSD1/3 octave、及dB
2.      信號輸入輸出的角度:由每個處理程序方塊圖,各有其輸入輸出參數,包括:a(t)A(f)Gaa(f)Gaa,1/3(fc)、及La

本單元以加速度a(t)的信號為例,探討了單一頻率正弦波」的「加速度」,經過「FFT」及「信號處理」,可以得到三種頻譜」以及「位準」的「頻譜分析」流程,以及對應的頻譜圖示。希望由本單元的探討,讀者能夠進一步了解加速度頻譜」有三種「頻譜」:A(f)Gaa(f)Gaa,1/3(fc)以及「位準La的基本理念。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2019.04.23

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