這個單元要來探討的主題是：【¼車輛行駛模型】 (Quarter Car Model) –
(1) 「模態分析」(Modal Analysis)。
在先前單元：#318，【如何建構「離散系統」的「數學模型」？-
車輛行駛模型(Vehicle Riding Model)】，介紹了【¼車體模型】的「數學建模」(mathematical modeling)，以取得對應於「實際結構」的等效「數學模型」(mathematical model)。
首先回顧一下，先前單元：#314，【車輛動力學(Vehicle
Dynamic)：如何定義車體的自由度(DOF)？】，參閱圖示左上方示意圖，是「車輛動力學」對汽車慣用的DOF定義與變數符號，就是：𝒙, 𝒚,
𝒛, 𝝓, 𝜽, 𝝍，分別是3個方向位移/平移「自由度」(displacement DOF)，以及3個方向旋轉「自由度」(rotational DOF)：
𝒙 的 縱向位移(longitudinal displacement)
𝒚 的 側向位移(lateral displacement)
𝒛 的 垂直位移(vertical displacement)
𝝓 的 翻滾角度(roll angle)
𝜽 的 前傾角度(pitch angle)
𝝍 的 旋轉角度(yaw angle)
參閱圖片左下方，以一個很簡化的【¼車體行駛動態分析模型】為例做說明。初步的假設呢，一部汽車會有4個輪子，此模型假設汽車的左右、前後對稱，所以只取了一個輪子，因此稱為【¼車體模型】(quarter car model)。
針對「離散系統」(discrete system)的「數學建模」，有7個步驟，包括：
1. 定義系統之質塊元件：
2. 定義系統之連接元件：
3. 定義系統之自由度：
4. 定義系統之邊界條件：
5. 定義系統之輸入條件：
6. 定義系統之初始條件：
7. 定義有興趣之系統輸出參數：
可以得到圖片中間下方的【¼車體行駛動態分析模型】。
要分析這個【¼車體模型】(quarter car model)，會有4種分析：
(1)
系統之模態參數(modal parameters)：「自然頻率」(natural frequency )𝒇𝒓，「模態振型」(mode shape)𝝓𝒓，「模態阻尼比」(modal damping ratio)𝝃𝒓。必須進行「模態分析」(modal analysis)。
(2)
系統之頻率響應函數FRF (frequency response function)：在此會有興趣的是，位移傳輸比(displacement transmissibility)=𝑻𝒓=𝑿𝒓 (𝒇)/𝒀(𝒇)，𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。必須進行「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)。
(3)
系統的位移/速度/加速度之時間域響應：探討行駛於不同路面狀態的響應 𝒙(𝒕) , 𝒗(𝒕), 𝒂(𝒕)。必須進行「暫態響應分析」(transient response analysis)。
(4)
系統的位移/速度/加速度之頻率域響應：探討行駛於隨機路面狀態的響應 𝑿(𝒇) , 𝑽(𝒇), 𝑨(𝒇)。必須進行「頻譜響應分析」(spectrum response analysis)。
本單元的重點，主要在討論「模態分析」(modal analysis)。
要對這個系統，進行後續的分析，就需要推導系統的「運動方程式」(equation of motion, EOM)，參閱圖示中間上方，可以得到「基座激振多自由度系統」的通式如下：
[𝑀]{𝑥 ̈}+[𝐶]{𝑥 ̇}+[𝐾]{𝑥}=[𝐶’]{𝑦 ̇}+[𝐾’]{𝑦}
由系統「運動方程式」的[𝑀]、[𝐶]、[𝐾]矩陣，就可以進行「模態分析」，以求得系統的「模態參數」(modal parameters)。由於此系統有3個自由度，所以，會有3個「振動模態」(vibration mode)，每個「振動模態」會有：
1. 「自然頻率」(natural frequency)𝒇𝒓：𝒇1=1.2125 Hz、𝒇2=4.6601 Hz、𝒇3=10.7113 Hz。
2. 「模態阻尼比」(modal damping ratio)𝝃𝒓：𝝃1=0.0381、𝝃2=0.1461、𝝃3=0.3365。
3. 「模態振型」(mode shape)𝝓𝒓：{𝝓1}、{𝝓2}、{𝝓3}，分別是3x1的「位移模態振型向量」 (displacement mode shape vector)。
另外，也可以採用「有限元素分析」(finite element analysis,
FEA)，就需要建構對應「數學模型」的「有限元素模型」(finite element model)。參閱圖示右下方的「有限元素模型」，是由質量元素(mass element)和彈簧阻尼元素(combination element)所組成。進行「模態分析」。也可以求得系統的「模態參數」(modal parameters)。
參閱圖示右下方的3個「模態振型」(mode shape)特徵，簡要說明其振動特性如下：
1. {𝝓1}：𝒙𝟏振動的小，而𝒙𝟐和𝒙3是同相(in-phase)的振動。
2. {𝝓2}：𝒙𝟏振動的比較大，而𝒙𝟐和𝒙3振動的比較小。
3. {𝝓3}：𝒙𝟏振動的小，而𝒙𝟐和𝒙3是反相(out-of-phase)的振動。
由「模態振型」的物理意義，可以瞭解各個系統自由度的振動關係。
綜合一下這個單元的討論，是針對【¼車體行駛動態分析模型】，也就是【¼車體模型】(quarter car model)。著重於「模態分析」(modal analysis)的理念說明，可以求得系統的模態參數(modal parameters)。分析步驟，包括：
1. 推導系統的「運動方程式」(equation of motion, EOM)：得到「基座激振多自由度系統」的通式，[𝑀]{𝑥 ̈}+[𝐶]{𝑥 ̇}+[𝐾]{𝑥}=[𝐶’]{𝑦 ̇}+[𝐾’]{𝑦}。
2. 進行「模態分析」(modal analysis)：可以得到模態參數(modal parameters)，包括：「自然頻率」(natural frequency )𝒇𝒓，「模態振型」(mode shape)𝝓𝒓，「模態阻尼比」(modal damping ratio)𝝃𝒓。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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