這個單元要來探討的主題是：不同窗函數對具有「庫倫阻尼」(Coulomb Damping)響應之頻譜分析，有甚麼影響(1)？這是「庫倫阻尼」系列的第6篇，也是不同窗函數影響探討的第一部分。
在前一個單元：#285，【庫倫阻尼SDOF系統自由振動之暫態響應的頻譜，有甚麼特徵？】，主要在分析觀察「庫倫阻尼」SDOF系統，在「自由振動」(free vibration)狀態的系統時間波形暫態響應，對其進行「頻譜分析」可以得到對應的「頻譜」(spectrum)，並且探討了「頻譜」的特徵。
不過，在應用FFT「快速傅立業轉換」(fast Fourier transform)，進行「頻譜分析」(spectral analysis)，並不是那麼單純，還有一些「控制參數」(control variables)要考慮，例如：「窗函數」(window / weighting function)以及FFT分析參數等。相關資訊，讀者可參考先前單元：#180，【FFT系列：如何確認FFT頻譜分析程式的正確性？】。
在這個「庫倫阻尼」系列，一直在探討的是「庫倫阻尼」SDOF系統，參閱圖示左上方，系統參數包括：𝒎=質量 (kg)，𝒄=黏滯阻尼係數 (N /
m/s)，𝒌=彈簧常數 (N/m)，𝝁=摩擦係數。
由「庫倫阻尼」SDOF系統示意圖，可以推導得到「庫倫阻尼」SDOF系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM)：通式如下：𝒎𝒂+𝒄𝒗+𝒌𝒙=𝒇(𝒕)+𝑭𝒔(𝒕)。其中，𝑭𝒔(𝒕)=「摩擦力」。
在單元：#285，探討了實際的數值分析案例作說明，設定：𝒎=1 (kg)，𝒄=0 (N-s/m)，𝒌=39.48 (N/m)，則自然頻率
𝒇𝒏= 1 (Hz)。令𝒇(𝒕)=0，𝒙𝟎 = 1 (m)，𝒗𝟎=𝟎 (m/s)，而 𝝁=𝟎.2，所以是單獨的「庫倫阻尼」效應的自由振動狀態。進行了「暫態響應分析」，就可以得到系統的時間域響應。
參閱右上方的位移𝒙(𝒕)時間波形，對之進行FFT「頻譜分析」，可以得對應的位移頻譜𝑿(𝒇)，取其絕對值|𝑿(𝒇)|如圖示。由圖示右上方的”ISOC”「系統方塊圖」的理念，說明如下：
1. Input 輸入：𝒙(𝒕) 是一個信號的時間波形(time waveform)。
2. System 系統：就是進行FFT「快速傅立業轉換」(fast Fourier transform)的「頻譜分析」(spectral analysis)。
3. Output 輸出：𝑿(𝒇) 是 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜」(Fourier spectrum)。
4. Control variables控制參數：包括「窗函數」(window)的選用，以及FFT分析參數。相關背景知識，可參考先前單元#106：【典型的Window視窗加權函數有哪些？】，#179：【FFT系列：FFT分析參數 Fmax 及 LOR 對量測信號之影響？】。
典型常用的「窗函數」，摘錄自單元#106，說明如下：
1. Rectangle (Box) window矩形窗函數：在一個time
frame，Box window數值都是1，也就是相當於沒有加權的效果。
2. Hanning window漢寧窗函數：在一個time
frame，Hanning window呈現接近一個半正弦波的特性，「加權後的信號」，可以看出兩端的數值都為零，使得起始點與終點的數值相同，可以降低洩漏(leakage)的效應。Hanning window常用於隨機信號的頻譜分析，可以得到不錯的頻率解析及其振幅解析。
3. Flat-top window平頂窗函數：Flat-top window對於頻率解析度，是最不好的一種。但是，在頻率對應振幅的解析是最優的，甚至可以得到幾乎完全正確的振幅。因此，對於標準振動源的加速度規校正、或是標準音源的麥克風校正，都是單一頻率的簡諧波，非常有用。
4. Exponential window指數窗函數：Exponential window的加權函數，係由σ「衰減率」(decay rate)控制，或是由τ「時間常數」(time
constant)為「衰減率」的倒數來設定其指數視窗加權函數w(t)的波形。對於「衰減型的信號」，如果在一個time frame的時間區間，信號沒有衰減到零，這時，就需要施予Exponential window，可以降低時間域信號的truncation error「截斷誤差」影響，以免頻譜會有「柵欄效應」(fence effect)的產生。
FFT分析參數，在本單元的分析設定：「取樣頻率」fs = 10,000 Hz，「取樣時間」T = 6 或 10 sec。
參閱圖示中間的4個圖示，分別是使用4種「窗函數」，對時間波形作加權處理(weighting)的對照，紅色點線段表示各別「窗函數」的時間波形。藍色是原始的時間波形，而綠色是以「窗函數」加權處理後的時間波形。
參閱圖下方的4個圖示，分別是使用4種「窗函數」，進行FFT「頻譜分析」，所得到對應的位移頻譜𝑿(𝒇)，都以絕對值|𝑿(𝒇)|呈現。
首先，觀察不同「取樣時間」T = 6 或 10 sec的比較，都以Box window窗函數加權處理，比較探討如下：
1. T = 6 sec：在f = 1 (Hz)，有一個波峰(peak)出現，其振幅值是|𝑿(𝒇=1)|= 0.4198 m，因為，時間波形的振盪頻率是系統的「自然頻率」𝒇𝒏= 1 (Hz)。又，因為時間波形有衰減現象，所以，沿著波峰(peak)兩側都有類似洩漏(leakage)現象，這是合理的頻譜特徵。
2. T = 10 sec：其位移頻譜|𝑿(𝒇)|和T = 6 sec時，很相似，但是，|𝑿(𝒇=1)|= 0.2519
m，小於T = 6 sec時，因為「取樣時間」長，在5~10 sec之間，響應幾乎為零，所以，在「取樣時間」內的平均總能量變小了。
其次，在相同的「取樣時間」T =10 sec比較以4種「窗函數」加權處理的頻譜，比較探討如下：
1. Box window：一個波峰(peak)，振幅值是|𝑿(𝒇=1)|= 0.2519 m。振幅值取對數座標，呈現單純的SDOF系統響應。
2. Hanning window：一個波峰(peak)，振幅值是|𝑿(𝒇=1)|= 0.1496 m。振幅值取對數座標，呈現出1、3、5、…奇數倍的「簡諧倍頻」(harmonics)。
3. Flat top window：兩個波峰(peak)，振幅值是|𝑿(𝒇=0.8)|= 0.0922 m。振幅值取對數座標，呈現出1、3、5、…奇數倍的「簡諧倍頻」(harmonics)。
4. Exponential window：一個波峰(peak)，振幅值是|𝑿(𝒇=1)|= 0.1340 m。振幅值取對數座標，呈現單純的SDOF系統響應。
綜合來說，在這個數值分析案例，對位移𝒙(𝒕)時間波形，以4種「窗函數」加權處理所得到的頻譜來看：
1. Box window的頻譜：最能夠反應出實際的時間波形特徵。
2. Hanning window的頻譜：對一般的隨機信號是最好的選擇，在此案例是衰減特徵的信號，振幅值降低了，同時，也顯現出奇數倍的「簡諧倍頻」(harmonics)特徵。
3. Flat top window的頻譜：適用在單頻率沒有衰減的簡諧波，可以得到良好的振幅解析，在此案例，得到的頻譜，是不合理的結果。
4. Exponential window的頻譜：是適用於衰減特徵的信號，不過，由於在「取樣時間」內，信號已經衰減到零，Exponential window反而加重了阻尼效應，所以，解析的振幅值會更小。
最後，統整一下，由以上討論，進行FFT「頻譜分析」，要注意兩個「控制參數」的選用：(1) 「窗函數」(window / weighting function)，(2)「取樣頻率」fs和「取樣時間」T。
針對此案例，在相同的「取樣頻率」fs = 10,000 Hz，「取樣時間」T = 10 sec設定，「窗函數」的選用結論：
1. Box window取得頻譜，最好，最能夠顯示出時間波形的特徵。
2. Hanning window也是不錯的選項，畢竟在實務上，不會是如本案例的簡單時間波形。
3. Flat top window完全不適合。
4. Exponential window反而加重了阻尼效應，所以，解析的振幅值會更小。但是，如果信號在「取樣時間」內，沒有衰減到接近零，則Exponential window會是好的選擇。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2022.09.03
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