這個單元要來探討的主題是：「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)，針對SDOF單自由度的「平移」(translational)和「旋轉」(rotational)振動系統，探討兩者之間有甚麼差異？
關於SDOF「平移」(translational)振動系統，參閱圖片上方的系列圖示，說明如下：
1. 當取得了SDOF單自由度系統的「等效系統」(Equivalent System)：可取得System 系統參數：就是𝒎𝒆𝒒、𝒄𝒆𝒒、𝒌𝒆𝒒，分別是「等效質量」(kg)、「等效黏滯阻尼係數」(N / m/s)、「等效彈簧常數」(N / m)。
2. 推導得到系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM)：除了System 系統參數以及Output 輸出參數，位移𝒙(𝒕)/速度𝒙 ̇(𝒕)/加速度𝒙 ̈(𝒕)，還包括：Input 輸入參數：外力 𝒇(𝒕) (N)，和兩個初始條件(IC)，初始位移：𝒙𝟎 (m)，和初始速度：𝒗𝟎 (m/s)。
3. 進而可以進行「模態分析」(modal analysis)：可以得到「模態參數」(modal parameter)：「自然頻率」(natural frequency) 𝒇𝒏 (Hz)以及「阻尼比」(damping ratio) 𝝃。
4. 評估「共振」(resonance)：即可據以評估結構系統是否有「共振」，也就是在比較探討外力 𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏「自然頻率」。如果，𝒇𝒆
≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。
另外，觀察圖示的「ISO系統流程圖」(system block diagram)，說明如下：
1. Input 輸入參數：就是外力 𝒇(𝒕)，和兩個初始條件(IC)，𝒙𝟎和𝒗𝟎。
2. System 系統參數：就是𝒎𝒆𝒒、𝒄𝒆𝒒、𝒌𝒆𝒒。
3. Output 輸出參數：如系統位移𝒙(𝒕)/速度𝒙 ̇(𝒕)/加速度𝒙 ̈ (𝒕)之時間域響應。
由於以上的各種參數，都是物理量(physical quantity)：可以實際度量、具有物理單位(physical unit)，所以此「ISO系統流程圖」稱為：「物理域系統方塊圖」(physical
domain block diagram)。
參閱「模態域系統方塊圖」(modal domain block diagram)，其中，System 系統參數包括：𝒇𝒏「自然頻率」 以及𝝃「阻尼比」。與外力的 𝒇𝒆「激振頻率」比較，就可以判斷是否有「共振」。建議：採用20%原則，也就是：𝒇𝒆 < 𝟎.𝟖 𝒇𝒏，或 𝒇𝒆 > 𝟏.𝟐 𝒇𝒏，以避免「共振」。
本單元主要在瞭解SDOF單自由度的「平移」(translational)和「旋轉」(rotational)振動系統，探討兩者之間有甚麼差異？
接著，參閱圖片下方的系列圖示，關於SDOF「旋轉」(rotational)振動系統，說明如下：
1. 當取得了SDOF單自由度系統的「等效系統」(Equivalent System)：可取得System 系統參數：就是𝑱𝟎,𝒆𝒒、𝒄𝜽,𝒆𝒒、𝒌𝜽,𝒆𝒒，分別是「等效質量慣性矩」(kg-𝐦^𝟐)、「等效旋轉阻尼係數」(N-m / rad/s)、「等效旋轉彈簧常數」(N-m/rad)。
2. 推導得到系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM)：除了System 系統參數以及Output 輸出參數，角度𝜽(𝒕)/角速度𝜽 ̇(𝒕)/角加速度𝜽 ̈(𝒕)，還包括：Input 輸入參數：外力矩 𝑻(𝒕) (N-m)，和兩個初始條件(IC)，初始角度：𝜽𝟎 (rad)，和初始角速度：𝝎𝟎 (rad/s)。
3. 進而可以進行「模態分析」(modal analysis)：可以得到「模態參數」(modal parameter)：「自然頻率」(natural frequency) 𝒇𝒏 (Hz)以及「阻尼比」(damping ratio) 𝝃。
4. 評估「共振」(resonance)：即可據以評估結構系統是否有「共振」，也就是在比較探討外力 𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏「自然頻率」。如果，𝒇𝒆
≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。
另外，觀察圖示的「ISO系統流程圖」(system block diagram)，說明如下：
1. Input 輸入參數：就是外力矩 𝑻(𝒕)，和兩個初始條件(IC)，𝜽𝟎 和 𝝎𝟎。
2. System 系統參數：就是𝑱𝟎,𝒆𝒒、𝒄𝜽,𝒆𝒒、𝒌𝜽,𝒆𝒒。
3. Output 輸出參數：如系統的角度𝜽(𝒕)/角速度𝜽 ̇(𝒕)/角加速度𝜽 ̈(𝒕)之時間域響應。
由於以上的各種參數，都是物理量(physical quantity)：可以實際度量、具有物理單位(physical unit)，所以此「ISO系統流程圖」稱為：「物理域系統方塊圖」(physical
domain block diagram)。
參閱「模態域系統方塊圖」(modal domain block diagram)，其中，System 系統參數包括：𝒇𝒏「自然頻率」 以及𝝃「阻尼比」。與外力的 𝒇𝒆「激振頻率」比較，就可以判斷是否有「共振」。
綜合一下這個單元的討論，分別觀察了SDOF單自由度的「平移」(translational)和「旋轉」(rotational)振動系統，兩者之間的差異，彙整如下：
Ø
振動方向：「平移」(translational)振動
→「旋轉」(rotational)振動。
Ø
自由度的定義：位移
𝒙(𝒕) (m) → 角度 𝜽(𝒕) (rad)。
Ø
自由度的定義：速度
𝒙 ̇(𝒕) (m/s) → 角速度 𝜽 ̇(𝒕) (rad/s)。
Ø
自由度的定義：加速度
𝒙 ̈ (𝒕) (m/s^𝟐) → 角加速度 𝜽 ̈(𝒕) (rad/s^𝟐)。
Ø
系統參數：「等效質量」𝒎𝒆𝒒
(kg) → 「等效質量慣性矩」𝑱𝟎,𝒆𝒒 (kg-𝐦^𝟐)。
Ø
系統參數：「等效阻尼係數」𝒄𝒆𝒒
(N / m/s) → 「等效旋轉阻尼係數」𝒄𝜽,𝒆𝒒 (N-m / rad/s)。
Ø
系統參數：「等效彈簧常數」𝒌𝒆𝒒
(N / m) → 「等效旋轉彈簧常數」𝒌𝜽,𝒆𝒒 (N-m/rad)。
Ø
輸入：外力 𝒇(𝒕) (N) → 外力矩 𝑻(𝒕) (N-m)。
Ø
初始條件：初始位移：𝒙𝟎 (m) → 初始角度：𝜽𝟎 (rad)。
Ø
初始條件：初始速度：𝒗𝟎 (m/s) → 初始角速度：𝝎𝟎 (rad/s)。
Ø
自然頻率：𝝎𝒏=√(𝒌𝒆𝒒/𝒎𝒆𝒒 ) (rad/s) → 𝝎𝒏=√(𝒌𝜽,𝒆𝒒
/ 𝑱𝟎,𝒆𝒒 ) (rad/s)。
𝒇𝒏 = 𝝎𝒏 / 𝟐𝝅 (Hz)。
Ø
阻尼比：𝝃 = 𝒄𝒆𝒒
/ 𝒄𝒄 → 𝝃
= 𝒄𝜽,𝒆𝒒 /𝒄𝒄。
Ø
臨界阻尼係數：𝒄𝒄=𝟐√(𝒎𝒆𝒒 𝒌𝒆𝒒) → 𝒄𝒄=𝟐√(𝑱𝟎,𝒆𝒒 𝒌𝜽,𝒆𝒒)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2023.07.06
