《振動噪音科普專欄》西藏頌缽的敲擊與摩擦聲音有甚麼不同？

「頌缽」(singing bowl)是一種常見的宗教法器，也有用於身心靈療法，以工程角度來說，「頌缽」就是一種打擊樂器。

使用「頌缽」大概有兩種方式：一是敲擊「頌缽」的上緣位置，一則是沿著「頌缽」上緣位置以迴轉摩擦方式激振「頌缽」。這個單元就來探討：一個西藏「頌缽」，分別以「敲擊」與「摩擦」方式激振時，聲音有甚麼不同？

有關「頌缽」的發聲特性、敲擊力道、以及其「模態振型」的解析，分別如先前的單元：【頌缽的發聲頻率與振動模態有甚麼關係？】，【敲擊力道對頌缽的聲音響應有甚麼影響？】，【頌缽的模態振型有甚麼特徵？】。

本單元所展示的是另一種「頌缽」，參閱影片或圖示，分別以「敲擊」及「摩擦」方式激發「頌缽」的聲音。首先，觀察兩種聲音的「時間波形」 (time waveform)差異：

1.          「敲擊」「頌缽」：以一支木棒敲擊「頌缽」的上緣位置，其「時間波形」呈現衰減的現象。

2.          「摩擦」「頌缽」：以木棒沿著「頌缽」的上緣位置，以「摩擦」方式、固定速度迴轉圍繞摩擦「頌缽」，會有如圖示右側的「重擊現象」(beating phenomenon)，【甚麼是重擊現象(beating phenomenon)？】。

接著，對量測到的聲音「時間波形」，進行FFT「快速傅立葉轉換」的「頻譜分析」，可以得到「聲音頻譜」，參閱圖示左側是「敲擊」的「頌缽」聲音頻譜，以及以FEA「有限元素分析」和EMA「實驗模態分析」得到的「模態振型」特徵，討論如下：

1.      聲音的「主觀評價」：此「頌缽」的敲擊音，似乎比較平淡，而且有快速的聲音衰減現象。

2.      聲音的「時間波形」：確實可以觀察到有典型的「聲音衰減」波形特徵。

3.      「聲音頻譜」：每一個「峰值頻率」就是對應於結構的「自然頻率」。而每個「自然頻率」會有對應的「模態振型」。

4.      此「頌缽」的「發聲頻率」：主要是來自「側環模態」(ring modes)以及「底盤模態」(circular plate modes)的「自然頻率」。可分別由分析(FEA)與實驗(EMA)，觀察到「側環」及「底盤」之「模態振型」特徵。其中，「側環模態」可以判讀為( ,r)=(2,1)、(3,1)、(4,1)、(5,1)、(6,1)等模態。另外，此「頌缽」的高度比較小，「底盤模態」有(r, )=(1,0)、(1,1)、(1,2)等模態。讀者可參考先前單元：【頌缽的模態振型有甚麼特徵？】。

其次，參閱圖示右側是「摩擦」的「頌缽」聲音特徵，討論如下：

1.      聲音的「主觀評價」：有嗡嗡的聽感，就是beating sound，稱之為「重擊音」、「拍擊音」、或「拍振音」。

2.      聲音的「時間波形」：可以觀察到有典型的「重擊現象」波形特徵。

3.   「聲音頻譜」：有兩個「峰值頻率」，一為403 Hz，可以知道是「頌缽」的「側環模態」 ( ,r)=(2,1)，在EMA得到的「自然頻率」是405 Hz。另一個「峰值頻率」是807 Hz，比對EMA得到的「振動模態」，並無此「自然頻率」。

4.      「重擊頻率」(beating frequency)：由主要的兩個「發聲頻率」，可以推算「重擊頻率」：fb=807-403x2=1 Hz，可得到「重擊週期」(beating period)：Tb=1/fb=1 sec。此「重擊週期」可以在「時間波形」看到「重擊現象」波形的對應關係。

本單元不在深入探討此「摩擦」的「頌缽」聲音的起源，不過，可以推測，會和木棒轉動的速度、摩擦力道有關聯性。在此，是可以合理的解讀出產生「重擊聲音」的現象。

總結來說，「頌缽」的敲擊聲音和摩擦聲音，確實有很大的不同，當以木棒直接敲擊「頌缽」，和以木棒迴轉接觸摩擦「頌缽」產生的聲音，觀察其聲音的差異：

1.      「頌缽」的「敲擊」聲音：如同打擊樂器，就是由敲擊，激發了「頌缽」的「振動模態」，其「發聲頻率」出現在「頌缽」的「側環模態」及「底盤模態」，所對應的「自然頻率」。

2.      「頌缽」的「摩擦」聲音：主要由第一個「側環模態」的「自然頻率」所主導，並有其兩倍的「發聲頻率」，由於有微小的頻率差異，使得有「重擊聲音」的現象。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2020.06.06

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《振動噪音科普專欄》頌缽的模態振型有甚麼特徵？

這個單元要討論的是：「頌缽」(singing bowl)的「模態振型」有甚麼特徵？接續前面兩個單元：【頌缽的發聲頻率與振動模態有甚麼關係？】，【敲擊力道對頌缽的聲音響應有甚麼影響？】，都是在討論「頌缽」的聲音特徵，以及與「振動模態」的關聯性。

首先參閱圖1，右下方是「頌缽」的實體結構，另外，也以FEA「有限元素分析」建立了「頌缽」的「有限元素分析模型」，進行了結構的「模態分析」(modal analysis)，所以可以得到如圖1左側的前三個「振動模態」的「自然頻率」及對應的「模態振型」。

看到這裡，先回顧一下：【頌缽的發聲頻率與振動模態有甚麼關係？】，摘錄如圖2，綜合如下：

1.      聲音的「主觀評價」：有嗡嗡的聽感，就是beating sound，稱之為「重擊音」、「拍擊音」、或「拍振音」。

2.      聲音的「時間波形」：可以觀察到有典型的「重擊現象」波形特徵。

3.      「聲音頻譜」：每一個「峰值頻率」就是對應於結構的「自然頻率」。而每個「自然頻率」會有對應的「模態振型」。

4.      此「頌缽」的「發聲頻率」：主要是來自「環模態」(ring modes)的「自然頻率」。可分別由分析(FEA)與實驗(EMA)得到的「模態振型」，觀察出(Z,θ)=(1,2)、(1,3)、(1,4)到(1,9)的「振動模態」特徵。

5.      對聲音有高貢獻度的「振動模態」：主要是低頻率的「振動模態」，來自前兩個「峰值頻率」118.4 Hz及361.7 Hz有較高的貢獻度。

6.      「頌缽」的「軸對稱模態」：由於不是真圓，所以會有兩個「自然頻率」為118.4 Hz及120.2 Hz，很相近但是不相等，因而使得有beating sound的「重擊音」效應。

因為，在敲擊「頌缽」時，都是敲擊在「頌缽」的上緣位置，所以主要都是激發出「環模態」的「自然頻率」，也就是「聲音頻譜」的「峰值頻率」(peak frequencies)。

這種只在「頌缽」上緣位置振動的「模態振型」，如圖1可觀察出(Z,θ)=(1,2)、(1,3)、(1,4)，都是「頌缽」上緣位置的振動形式，所以可稱為：

1.      「局部模態」Local modes：會稱之為「局部模態」，是因為只有「頌缽」的上緣位置有振動現象，而「頌缽」的下緣底部位置都是不動的。

2.      「環模態」Ring modes：會稱之為「環模態」，是因為「頌缽」的上緣部位，是個環形結構，讀者可參閱：【如何解讀圓形環結構之模態振型？】。在此”Ring”，也可以說是「雙關語」，除了代表環形結構外，也是代表主要發出聲音的「環模態」。由圖1的左側標示的紅色線段，代表對應的「節線」(nodal lines)，可以區別出(Z,θ)=(1,2)、(1,3)、(1,4)的物理意義。

由圖2是「頌缽」小力敲擊的分析結果，詳細的討論可參考前一單元：【頌缽的發聲頻率與振動模態有甚麼關係？】。可以觀察到：「頌缽」小力敲擊時，都只激發出這種”Ring modes”，也是”Local modes”的「模態振型」之「振動模態」，會有「發聲頻率」的貢獻度。

又由另一單元：【敲擊力道對頌缽的聲音響應有甚麼影響？】，參閱圖3，在大力敲擊「頌缽」時，與小力敲擊比較，除了「環模態」的「峰值頻率」之外，又有出現一些未知的「峰值頻率」，此現象，也是來自「頌缽」的「振動模態」，但是不是「環模態」，這就是本單元的重點：「頌缽」的「模態振型」有甚麼特徵？

接續，觀察圖1，呈現的表格為(r, )的「振動模態」，如何解讀「頌缽」的(r, )「模態振型」，綜合說明如下：

1.   (r, )，r=1：如圖1(r, )的標示，其中，r是指沿著「頌缽」上緣到底部的半徑方向。當r=1時，其間，沒有任何的「節線」，所以，r=1是相當於一等份。可以看到分別有：(r, )=(1,0)、(1,1)、(1,2)、(1,3)等模態。為什麼 =0呢？因為，沿著「頌缽」底部的圓周方向，沒有任何的「節線」。

2.   (r, )，r=2：沿著「頌缽」上緣到底部的半徑方向，中間有一條「節線」，所以有兩等份，因此，標示為(r, )=(2,0)、(2,1)、(2,2)等模態。當r=3以及r=4時，可依此類推，並觀察動畫可以符合此現象。

3.   (r, )， =0：也就是沿著「頌缽」底部的圓周方向，沒有任何的「節線」，如(r, )=(1,0)、(2,0)、(3,0)、(4,0) 等模態，都有此現象。

4.   (r, )， =1：也就是沿著「頌缽」底部的圓周方向，有一條「節線」，如(r, )=(1,1)、(2,1)、(3,1)等模態，都有此現象。其實，這幾個模態特徵，尤其是(r, )=(1,0)、(1,1)、(2,1)，都是「頌缽」底部的振動為主，也可判斷為「頌缽」底部的「局部模態」(local modes)，如同前述的「環模態」也是「頌缽」上緣的「局部模態」。

5.   (r, )， =2， =3：可以觀察在「頌缽」底部的圓周方向，分別有2、3條「節線」，如(r, )=(1,2)、(1,3)。可以觀察，(r, )的數值越大，「模態振型」的「節線」越多，也就越複雜。透過此(r, )的標示方式，可以有效的解讀「頌缽」之「振動模態」的「模態振型」物理意義。

解讀了以上(r, )的「振動模態」有甚麼意義呢？首先，這些(r, )的「模態振型」都是「頌缽」的「振動模態」，都會貢獻到「頌缽」的「發聲頻率」，只是不同的「模態振型」有不同的貢獻度。

有別於「頌缽」上緣的「環模態」，稱之為local modes「局部模態」，在此，系列的(r, )「振動模態」可稱之為global modes「整體結構模態」，因為，可以看出是「頌缽」整體結構的振動。當然，若是看(r, )=(1,0)、(1,1)、(2,1)，都是「頌缽」底部的振動為主，也可判斷為「頌缽」底部的「局部模態」(local modes)。

最後，總結一下本單元，針對「頌缽」的「模態振型」物理意義，可以概分為兩種：

1.      Local modes「局部模態」的ring modes「環模態」：參閱圖2，當小力敲擊「頌缽」時，主要的「發聲頻率」，都是來自此「環模態」的效應。

2.   Global modes「整體結構模態」的(r, )「振動模態」：參閱圖2，當大力敲擊「頌缽」時，主要的「發聲頻率」，除了來自「環模態」的效應，也會有(r, )「振動模態」的效應。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2020.06.05

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圖1、頌缽的模態振型有甚麼特徵？

圖2、頌缽的發聲頻率與振動模態有甚麼關係？

圖3、敲擊力道對頌缽的聲音響應有甚麼影響？

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