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《振動噪音科普專欄》Window effect on decay signal for FFT(2)


這個單元接續先前單元:【Window effect on decay signal for FFT】,衰減信號使用不同視窗加權對FFT之影響探討。

同樣,由英文標題來破題,需要了解甚麼是Window視窗?甚麼是decay signal衰減型信號?甚麼是FFT?又在進行FFT時,也就是頻譜分析時,採用不同的Window,對得到傅立葉頻譜(Fourier spectrum),會有甚麼影響?本單元還加入了取得自身功率頻譜Gpp(f)的信號解析方式,希望在這個單元可以進一步了解頻譜的特徵。

本單元探討的聲音信號,係以先前單元:【單一頻率與倍數頻率聲音的聽感差異?】,如圖示,第四個時間區間的聲音頻率特徵,已知:主要的聲音頻率特徵,除了有基音頻率f=165Hz,也有2倍的基音頻率,2f=330Hz 3倍的基音頻率,3f=495Hz,還包括了4倍的基音頻率,4f=660Hz

參閱圖示左上方的時間域信號,本單元將對第四個時間區間的衰減型信號,進行深入的解析與討論。取第四個時間區間的聲音信號,進行FFT頻譜分析,取得該訊號的自身功率頻譜(auto power spectrum),由於是取得功率頻譜,可以取平均以降低頻譜的隨機誤差(random error)。本案例,FFT參數設定:開始時間為6秒,每個FFT時間區間time frame1秒,取10次平均,重疊率為90%,所以,終止時間為7.9秒。

參考圖示左側,為選用4種視窗加權函數,所分別得到的自身功率頻譜Gpp(f),討論如下:

1.      Boxcar Window:在頻譜圖中,看起來還正常,比起在先前單元:【Window effect on decay signal for FFT】,採用Boxcar視窗加權函數時,相較起來,在此沒有發現有柵欄效應(fence effect),這是因為:(1)本案例FFT分析,設定了10次平均,取得自身功率頻譜Gpp(f)(2)進行FFTtime frame時間區間,p(t)在終止時間,已經降到接近0,所以,信號沒有被截斷 (truncation)的現象,頻譜圖是蠻正常的。
2.      Hanning Window:在整體頻譜圖可發現,有許多的小峰值,這樣的頻譜圖,會讓人不容易判斷真正的信號頻率特徵。文後,會解析此小峰值頻率係來自50Hz倍頻的電雜訊效應。
3.      Exponential 0.1:此頻譜圖可解析的判讀性好了許多,不過,仍然有小峰值現象。
4.      Exponential 0.01:可以觀察此頻譜圖是最清楚,可以明確判別頻譜的峰值頻率特徵。因此,可以說對此衰減型信號,以Exponential 0.01的視窗加權函數處理後,進行FFT,所得到頻譜是最好的,因為可以明確判讀主要的峰值頻率,也就是此衰減型信號的頻率特徵。

在圖示左側採用不同視窗加權函數的自身功率頻譜Gpp(f),都有一共同的特性,在50Hz及其倍頻似乎都有峰值頻率出現,為什麼呢?

觀察右側上圖在0~2秒之間,從時間域可以看出特別是約1.2~2秒之間,有明顯的雜訊特徵,對此0~2秒之間的信號進行FFT頻譜分析,採用Hanning window,可以觀察對應的自身功率頻譜Gpp(f),在50Hz及其倍數頻率都有小峰值頻率出現,可以推論:此錄製的信號,有電壓50Hz雜訊的影響。而且,在頻率為50Hz150Hz250Hz的量值特別大。

為了解釋左側圖示,許多50Hz倍頻的小峰值頻率的現象,例如,採用Hanning window時,所得到的自身功率頻譜Gpp(f),如圖示右側下方,一圖呈現50Hz的倍頻線,以紅色點線標示;另一圖呈現165Hz的倍頻線。可以發現:採用Hanning window時,自身功率頻譜Gpp(f)忠實的呈現出所有50Hz及其倍頻的雜訊頻率特徵。

由於,在頻譜分析時,主要目的都是在解析主要有興趣的信號之頻率特徵,若是採用了Hanning window,反而增加了許多50Hz相關的雜訊頻率特徵,這對於原始信號的解析,反而沒有幫助。

以本案例而言,解析目標在能夠解構此聲音信號,在第四個時間區間的頻率特徵,綜合比較起來:Exponential 0.01 window最佳,其次依序是Exponential 0.1 windowBoxcar windowHanning window。雖然Hanning window 有最好的頻率解析,但是,太多的50Hz雜訊相關倍數頻率的出現,反而會影響對需要解析信號之判別。

綜合來說,當我們對一個時間域信號,要進行FFT頻譜分析,主要目的就是要了解該信號的頻率特徵,特別是要能有效地觀察到所有的峰值頻率。

以本案例所探討的衰減型信號,採用不同的視窗加權函數處理後,進行FFT頻譜分析,所得到的是取10次平均的自身功率頻譜Gpp(f),在判讀性、可解析性來看,當然,Exponential 0.01視窗加權函數,對衰減型信號的FFT頻譜分析,是較佳的選項

本單元以一個衰減型信號,說明不同視窗加權函數處理後的FFT頻譜分析的差異,特別是帶入了取得自身功率頻譜Gpp(f)的信號解析方式,希望讀者可以體會選擇適當的視窗加權函數之重要性,方可取得較好的頻譜圖,才能夠有意義的解讀頻譜之頻率特徵。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2018.08.06





《振動噪音科普專欄》單一頻率與倍數頻率聲音的聽感差異?


由本單元的主題名稱來看,甚麼是單一頻率的聲音?甚麼是倍數頻率的聲音?甚麼是聽感?是聽到一個聲音的感覺嗎?

讀者是否會好奇,不同樂器所演奏出來同樣的音高(pitch),例如Do音階(musical note),為什麼我們能夠分辨得出來,是鋼琴、是小提琴、是喇叭、是薩克斯風、或其他樂器所演奏的呢?

在先前單元:【音階標準頻率】由工程聲學的角度,來說明音階、音符、音高、音名這些名詞。每個音階都有其標準頻率,例如:C4=261.63 HzC4就是鋼琴鍵中央Do,其頻率是261.63 HzA4=440 Hz的頻率。

那麼為什麼,同樣演奏C4=261.63 Hz,不同樂器會有不同的聽感呢?這就是本單元要來探討,單一頻率的聲音,以及具有2個、3個、到4倍數頻率所組成的聲音,在聽感上的差異,以及在頻譜分析時,所呈現的差異性。

如圖示,是4個區段的聲音,分別是單一1個頻率音,以及有2個、3個、4個倍數於基音頻率的多個聲音組成,當泛音有此倍數特性,我們稱之為簡諧倍頻音(harmonic sound)。一般的弦樂器都有這種簡諧倍頻音之特性。

這種有2個、3個、到4個倍數頻率所組成的聲音,也就是除了基音頻率(fundamental frequency)之外,還有2倍、3倍、及4倍的基音頻率,所共同組成的聲音,除了基音頻率外的主要聲音頻率,就是泛音頻率(overtone frequency)

不同樂器的泛音頻率,有不同的特徵,所以人耳可以明確地辨別,相同演奏的音階,是由怎樣的樂器所演奏出來的。

這個單元就以頻譜分析的角度,分別由傅立葉頻譜時頻圖、以及放大聲音的時間域圖示,來區別以下四種聲音的頻譜特性以及其時間域的特徵:

1.          單一1個頻率音的聲音:如圖示,第一個時間區間,由傅立葉頻譜圖及時頻圖,可以觀察到這個單一個頻率的聲音,其頻率f=165Hz,也是就E3 (Mi)音階的標準頻率。
2.          除了基音頻率外,也有2倍數於基音頻率的2個頻率的聲音:如圖示,第二個時間區間,除了基音頻率f=165Hz之外,還有2倍的基音頻率,2f=330Hz,剛好是E4 (Mi)音階的標準頻率。所以,這個聲音是有兩個E3E4Mi八度音所組成。
3.          除了基音頻率外,也有23倍數於基音頻率的3個頻率的聲音:如圖示,第三個時間區間,除了有基音頻率f=165Hz2倍的基音頻率,2f=330Hz,也有3倍的基音頻率,3f=495Hz,剛好是B4 (Si)音階的標準頻率。所以,這個聲音是有兩個E3E4Mi八度音,以及B4 (Si)E4 (Mi)的五度音,其頻率倍數約1.5倍。
4.          除了基音頻率外,也有234倍數於基音頻率的4個頻率的聲音:如圖示,第四個時間區間,除了有基音頻率f=165Hz2倍的基音頻率,2f=330Hz,也有3倍的基音頻率,3f=495Hz,還包括了4倍的基音頻率,4f=660Hz,剛好是E5 (Mi)音階的標準頻率。所以,這個聲音是有兩個E3E4E5Mi三個八度音,其頻率倍數關係是124倍;另外還有B4 (Si)E4 (Mi)的五度音,其頻率倍數約1.5倍,B4之於E3,其頻率倍數是3倍。

由以上的說明,或許複雜化了這個單元的討論。簡單的說,如果基音頻率1倍頻的音,就是如第一個時間區間的聲音特徵。其他時間區間,分別是有2個倍頻3個倍頻、以及4個倍頻所組成的聲音。建議讀者聆聽影片中的聲音檔案,可以體會單一頻率以及包含多個倍數頻率音聽感差異。

綜合一下本單元的討論重點,如下:

1.          單一1個頻率音的聲音:其實就是一個正弦波的特性,頻率的高低,決定了該聲音的音階。
2.          基音頻率:本單元呈現的四個區間的聲音,可以說都有一個基音頻率是f=165Hz,也是就E3 (Mi)音階的標準頻率。
3.          泛音頻率:本單元呈現的第二、第三及第四個區間的聲音,分別有1個、2個及3個倍數頻率的聲音。簡單說,除了基音頻率之外,聲音頻譜的高峰值頻率,都是泛音頻率。
4.          音色:一個聲音的音色,在於基音頻率與泛音頻率的組成,同時,其基音及泛音各個頻率對應的聲音振幅量值大小,就會顯現出不同的音色與聽感。不同樂器具有其特定的音色特徵,就在於基音頻率與泛音頻率的組成,所以,演奏相同的音階,會有不同音色的組成與聽感,因此,人耳可以明確地辨別是何種樂器所演奏。
5.          簡諧倍頻音:當泛音頻率與基音頻率呈現倍數關係時,可以稱這些泛音頻率音,為簡諧倍頻音。一般的弦樂器,因為琴弦的振動特性之自然頻率剛好是倍數頻率的特徵,所以,弦樂器的泛音頻率都會有簡諧倍頻音效應。
6.          頻譜分析:本單元應用FFT快速傅立葉轉換可以取得聲音頻譜,以及STFT短時傅立葉轉換可以取得時頻圖,因此,可以明確解析一個聲音信號的頻率特徵。

本單元以FFT頻譜分析,探討了四種具有簡諧倍頻音的聲音信號特徵,希望對讀者在了解基音頻率泛音頻率音色,有進一步的了解與體會!

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2018.08.05