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《振動噪音科普專欄》如何激發橋樑的振動模態?


這個單元探討的主題:如何激發橋樑的「振動模態」?How to excite bridge vibration modes?

本單元將引用YouTube的影片,係由美國賓州Messiah College Prof. Bob Barrett師生完成的一部影片:連結網址:https://www.youtube.com/watch?v=uWoiMMLIvco,也可以查詢:Resonant Bridge – many harmonics,可以觀看原始的影片。

本單元的介紹,將配合此影片,係以人工方式激發橋梁不同的「振動模態」,並輔以先前單元:【如何解讀振動模態:模態振型?】,探討一個長條形的矩形薄板在兩端是固定邊界的結構,類似於該影片中的橋樑結構,據以探討如何激發橋樑的「振動模態」?

要如何激發橋樑的「振動模態」?主要就是應用「共振(resonance)的原理:當外部的「激振頻率(excitation/forcing frequency)和結構的「自然頻率(natural frequency)相等或相近時,就會使得結構「共振」,而有大的振動現象。

以「共振」的關鍵詞,對【振動噪音科普專欄】進行搜尋,可以找到6篇的相關單元主題,列舉編號及單元名稱如下:

1.          #5:【甚麼是【共振】?
2.          #7:【「共振」現象之觀察
3.          #92:【基座激振之懸臂樑:共振現象ODS的觀察

開始以下的討論之前,在此提醒讀者:影片中,激發橋樑共振,是危險的行為,請勿模仿!不過呢,也要感謝Prof. Bob Barrett師生完成及提供這樣的一部影片,可以做為解釋:如何激發橋樑的「振動模態」?

首先,觀看影片或圖示,共有激發6個橋樑「振動模態」的奮力演出,分別討論如下:

1.      2nd bending modeYouTube影片有兩段在激發此「2nd bending mode」,也就是「2個彎曲模態」,參閱圖示,一是近距離,另一是遠距離的拍攝。引用前一個單元:【如何解讀振動模態:模態振型?】,探討一個長條形的矩形薄板在兩端是固定邊界的結構,類似於該影片中的橋樑結構,截取「2z-方向彎曲模態」或稱為(x,y)= (2,1)平板模態」如圖示。可以觀察在長度x-方向,中間位置有一條「節線(nodal lines)的存在,人力激振的位置剛好在「模態振型」有最大變形的位置,約在長度x-方向1/43/4位置,而且激振力的方向是相反,透過一端施力,另一端則在反向施力,可以激發出此「2個彎曲模態」。
2.      3rd bending mode:觀看分析得到「模態振型」動畫,可以區別出是(x,y)= (3,1)平板模態」或是稱為「3z-方向彎曲模態」,此「模態振型」有兩條「節線」分別在長度x-方向1/32/3位置,同樣可以看到影片有三組人,分別在「模態振型」有最大變形的3個位置,左右兩端和中間的施力方向是反向,進而激發了此(x,y)= (3,1)平板模態」的振動。
3.      4th bending mode:再觀察此「4th bending mode」,也就是「4個彎曲模態」,影片中有兩組人分別在如分析得到「模態振型」的右側,在「模態振型」有最大變形的2個位置,分別施予反向力,進而激發了「4z-方向彎曲模態」,也可稱為(x,y)= (4,1)平板模態」。此「模態振型」有3條「節線」,不同於前兩個模態的激振,在此僅在右側兩個位置激振,依然可以有效的激發此(x,y)= (4,1)平板模態」。所以,只要激振的位置和「模態振型」對應,又能夠以和該模態「自然頻率」相同的頻率,施予「激振頻率」,也可以有效激發該模態。
4.      1st x-torsion mode:由「樑結構」角度來看,可以說是「1x-方向扭曲模態」,搭配影片及「模態振型」動畫,可以明顯得知,此模態也可以說是(x,y)= (1,2)平板模態」。施加力的方式,剛好在橋樑中間的兩側,分別給予反向的施力,就可以有效的激發此(x,y)= (1,2)平板模態」。
5.      2nd x-torsion mode:此模態,由「樑結構」角度來看,可以說是「2x-方向扭曲模態」,搭配影片及「模態振型」動畫,可以明顯得知,此模態也可以說是(x,y)= (2,2)平板模態」。參閱分析的「模態振型」圖示,有標示了兩個向下施力點位置,分別對應了影片中兩組人的施力,要注意的是,此施力方向是同方向,也就是「同相位(in-phase),和前述其他模態的施力方式不同,多是「不同相位(out-of-phase),實際上是180度「相位角(phase angle)差異,也就是兩個施力剛好反向。
6.      1st y-bending mode:最後是「1y-方向彎曲模態」,此模態是「y-方向側向振動」,其結構y-方向側向剛性大,所以,可看到影片中,很吃力地才能激發此結構的「模態振型」。而前述1~3是可以判別是「z-方向彎曲模態」,而此「z-方向彎曲模態」是此橋樑主要的振動特徵。

綜合以上討論,本單元以實際橋樑的人力激振方式,所激發不同類型之「振動模態」的「模態振型」影片,搭配理論分析得到對應的理論「模態振型」動畫,可以合理地解釋說明如何激發不同的橋樑「振動模態」。

由以上討論,其中1~3為此橋樑典型的「z-bending mode」,對應圖示下排的影片及分析的「模態振型」動畫,要激發此類型模態,施予外力要作用在z-方向,並且都是在「模態振型」有最大變形的位置。又施力的方向要根據「模態振型」的正負方向,給予適當的週期力,此作用力的「週期」,其實對應的是「激振頻率」。所以,由「力的三要素」來看:「大小」、「方向」、「作用點」。力的「大小」要調整到和結構「自然頻率」有相同頻率的狀態,作用力的「方向」及「作用點」,需要配合所要激發的「振動模態」之「模態振型」,特別要選在「模態振型」有最大變形的位置。

要能夠激發結構的「振動模態」,在此,進一步補充,「共振激振(resonant excitation),也是本單元探討的如何激發橋樑的「振動模態」?可以由「力的三要素」:「大小」、「方向」、「作用點」作討論:

1.      大小」:主要的關鍵在「激振頻率~=自然頻率」。首先有個認知,每一個結構都有「自然頻率」。「激振頻率」是外部施加在結構上激振源的頻率,此「激振源(excitation source)在本單元的影片看到的就是人工作用的外力。當外部的「激振頻率(excitation/forcing frequency)和結構的「自然頻率(natural frequency)相等或相近時,就會使得結構「共振」,而有大的振動現象。當「共振」時,微小的激振力,都可能引發結構大的振動響應,所以「共振」是不容忽視的現象。
2.      方向」:在此施力的「方向」需要配合所要激發的「振動模態」之「模態振型」,而「模態振型」有正負方向之分,施力必須配合正負的「模態振型」,給予「同相位(in-phase)或「180度不同相位(180 degree out-of-phase)的外力,同時,要配合「激振頻率~=自然頻率」,才可激發出對應的「振動模態
3.      作用點」:也就是施力的激振位置,由各個模態的展示,可以看出都是作用在「模態振型」有最大變形的位置,而且作用力的方向,要配合「模態振型」的正負方向。

最後,仍要感謝美國賓州Messiah College Prof. Bob Barrett師生完成的這部YouTube影片,才得以完成本單元的製作與說明。希望讀者能夠瞭解結構的「共振激振(resonant excitation)以及所引發的「共振(resonance)現象。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2020.05.13

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《振動噪音科普專欄》如何解讀振動模態:模態振型?


先前的單元:#160甚麼是結構的「振動模態」?】,討論的方向是以高爾夫球桿為例,可以分別由EMAFEA求得了結構的「振動模態」,也就是「模態參數」,其中包括了「自然頻率」、「模態振型」、「模態阻尼比」三個重要的「模態參數」。同時,也介紹了:「振動模態」、「振動自然模態」、「模態參數」、「模態特性」等說法,可以說都是等效的名詞。

這個單元來探討如何解讀「振動模態」,特別是「模態振型」。首先,一個「振動模態,包括3個重要的「模態參數(modal parameters)

(1)       自然頻率(natural frequency)
(2)       模態振型(mode shape)
(3)       模態阻尼比(modal damping ratio)

參閱圖示,本單元以一個長條形的矩形薄板在兩端是固定邊界的結構作討論,這是個長條形、寬度比較窄的薄板結構。如果,對此結構進行「理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA),透過「有限元素分析(finite element analysis, FEA),進行「正交模態分析(normal mode analysis),可以分別得到兩個重要的「模態參數(modal parameters):「自然頻率(natural frequency)及「模態振型(mode shape)。在此需注意,通常「模態阻尼比」只能由實驗方法求得。

接下來參閱圖示或影片,可以觀察到有上中下三排的「模態振型」動畫,在此忽略「自然頻率」的數值,僅觀察「模態振型」來討論如何解讀其「振動模態」,特別是「模態振型」的物理意義。

由最上排的7個「模態振型」動畫來看,討論如下:

1.      首先,畫出平板結構原始形狀的輔助線,可以觀察到平板會有不動點的現象。
2.      可辨識每一個「振動模態」的「模態振型」之不動點,也就是「節線(nodal lines)的存在。由左到右,從無「節線」、一條「節線」、兩條「節線」、到最多有六條「節線」。
3.      根據平板在z-方向的彎曲振動或側向振動現象,以及各「模態振型」的「節線」特徵,可以說此「振動模態」是「彎曲模態(bending modes)
4.      彎曲模態」由小到大,編號及名稱如下:「1個彎曲模態(the 1st bending mode)、「2個彎曲模態(the 2nd bending mode)、到「7個彎曲模態(the 7th bending mode)

由此解讀方式,可以很明確的指出最上排的7個「模態振型」的物理意義,甚至更高頻率的「振動模態」也可以判斷出來。

接下來看圖示,中間排的7個「模態振型」動畫,討論如下:

1.      首先,也是畫出平板結構原始形狀的輔助線,不過是在寬度的y-方向,也就是寬度方向的正中間,可以觀察到平板在中線位置,會有不動點的現象。
2.      可辨識每一個「振動模態」的「模態振型」,在寬度的中間位置皆為不動點,也就是「節線(nodal lines)。另外,如同最上排的7個「模態振型」,在長度的x-方向,由左到右,從無「節線」、一條「節線」、兩條「節線」、到最多有六條「節線」。
3.      如果,在此要以前述的方式,來解讀中間排的7個「模態振型」動畫,就難以合理的解釋其「模態振型」的物理意義。在此,回顧編號#56單元:【甚麼是結構振動模態】,由於此平板主要的振動模態z方向的側向振動(lateral vibration),可以由平板的(x,y)兩個方向節線(nodal line)的特徵,據以解讀平板的振動模態特性,例如:(x,y)=(1,1)(2,1)(3,1)等不同的振動形式。
4.      因此,可以解讀最上排的7個「模態振型」是:(x,y)=(1,1)(2,1)、、、(7,1)等不同的振動形式。而中間排的7個「模態振型」是:(x,y)=(1,2)(2,2)、、、(7,2)等平板的振動模態特性。

至於,結構是否會有(x,y)=(1,3)(2,3)等平板的振動模態」呢?答案是:有。因為這是個長條形平板,長度x-方向寬度y-方向」長很多,在(x,y)=(1,3)、甚至(1,4)等之振動模態」,仍然存在,只是其「自然頻率」很高,在此僅顯示大約前20個「振動模態」,所以沒有觀察到此等高頻率的「振動模態」。

到此,可以看到以「平板」的角度,來觀察探討「振動模態特性是可行的,可以解讀圖示中最上排及中間排的所有模態振型」的物理意義。

最後,再觀察圖示中最下排的兩個「模態振型」,也是此長條形平板結構的「振動模態」之其中一種類型,討論如下:

1.      兩個「模態振型」都是在y-方向的振動,可以說是「y-方向彎曲模態(y-bending modes)
2.      此「y-方向彎曲模態」和最上排的7個「模態振型」是「z-方向彎曲模態」是完全不同的振動方向,一為y-方向,一為z-方向
3.      所以,可以分別定義最上排的7個「模態振型」是「z-方向彎曲模態」,分別由第1到第7個「z-方向彎曲模態」。而最下排的2個「模態振型」是「y-方向彎曲模態」,也是分別第1到第2個「y-方向彎曲模態」。其中,最下排的「y-方向彎曲模態」在前20個「模態」中,只出現兩個,這是因為「y-方向側向振動」其結構剛性大,其「自然頻率」相對較高,所以沒有出現第3個「y-方向側向振動」。
4.      如果,以「樑結構」角度來解讀「模態振型」的物理意義,那麼中間排的7個「模態振型」代表甚麼意義呢?如圖示標示,可以視為「x-方向扭曲模態(x-torsion modes),也就是以x-方向為旋轉中心的「扭曲模態(torsion modes),或稱為「旋轉模態(rotational modes)。但是,如果,以「平板模態」來看(x,y)=(1,3)的話,這種「x-方向扭曲模態」就難以有合理的解讀了。

綜合以上的討論,不要忘記了本單元的主題是在探討:如何解讀「振動模態」,特別是「模態振型」?如何找到一種簡潔的有效的表達方式,可以合理地解讀結構的「模態振型」是主要目的,在此介紹了三種解讀方式:

1.      z-方向彎曲模態」或簡稱「彎曲模態」的解讀:適用在只探討如最上排的7個「模態振型」,如果,不考慮其他方向的「振動模態」,單純以「1個彎曲模態(the 1st bending mode)、「2個彎曲模態(the 2nd bending mode)來解讀,是合理可行的。
2.      樑結構」角度的三種「振動模態」解讀:包括了「z-方向彎曲模態」、「y-方向彎曲模態」、「x-方向扭曲模態」。如果此長條形平板的模態,在有興趣的頻率範圍,包含了此三種「振動模態」特徵,就需要分別區別出「x-方向」、「y-方向」、「z-方向」的振動特徵,分別有bending modetorsion mode的差異。
3.      平板結構」角度的解讀:係以平板的(x,y)兩個方向節線(nodal line)的特徵,據以解讀平板的振動模態特性,例如:(x,y)=(1,1)(2,1)(3,1)等不同的振動形式。

綜合來說,這單元主要在解讀長條形平板結構「振動模態」的「模態振型」物理意義?大體上可以由「樑結構」角度或是「平板結構」角度,來解讀探討「振動模態」的「模態振型」之物理意義。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2020.05.11

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