這個單元是姆指琴系列專欄的第3篇，要來探討：「姆指琴」撥奏聲音的「時間波形」有甚麼特徵呢？
甚麼是「姆指琴」(Kalimba)呢？參閱圖示，可知道「姆指琴」如何演奏，就是以手持音箱，並以兩手的姆指撥動琴片，進而會發出聲音，所以稱為「姆指琴」。
在此，再回顧一下「姆指琴」的「構造」，包含：「琴片」、「琴片座」及「音箱」。這個「姆指琴」有7根「琴片」，以類似懸臂樑的方式固定在「琴片座」，而「琴片座」鎖固在「音箱」上，這個椰子殼製作的「音箱」，在圓形面板上，有開了一個圓孔，稱為「音孔」。這個「姆指琴」有7根「琴片」，長短各有不同，可以發出不同「音階」的聲音。
參閱圖示的左側，為「姆指琴」實體結構的發聲機制示意圖，透過姆指「施力」作用在「琴片」上，透過「琴片」的振動，傳遞到「琴片座」，進而傳遞到「音箱」，每一個結構體都會透過「空氣」發出聲音，傳遞聲音到人的「耳朵」，所以可以聽到「姆指琴」發出的聲音。
當然，有興趣的是，「琴片」的貢獻度有多少？「琴片座」有怎樣的影響？以及「音箱」又會有甚麼樣的影響？這些疑問將在這個「姆指琴」系列專欄，作相關的介紹與討論。
接下來，參閱圖示左側下方圖示，從另一個角度觀察「姆指琴」的發聲機制，以「SPR流程圖」來討論，其中：
1.
S：Source激振源。就是施加在「琴片」上的作用力𝒇𝒋 (𝒕)。
2.
P：Path路徑。可以概分為：「結構路徑」(structural path)，以及「空氣路徑」(air path)。結構路徑包含了「琴片」、「琴片座」及「音箱」。「結構路徑」的振動與「空氣路徑」有互相耦合效應，進而可以發出聲音。
3.
R：Response響應或Receiver收受者。理念上，可以在結構上，以「加速規」(accelerometer)量測得到結構振動的響應，以𝒂𝒊 (𝒕)表示。另外，可以在空間中，以「麥克風」(microphone)量測發出的聲音，以𝒑𝒌
(𝒕)表示。𝒂𝒊 (𝒕)是「結構路徑」的Response響應，而𝒑𝒌
(𝒕)是「空氣路徑」的Response響應。
針對「姆指琴」的「琴片#04」，撥奏「琴片」可以量測到聲音的時間波形𝒑𝒌
(𝒕)，如圖的右上圖示，時間波形𝒑𝒌
(𝒕)就是「聲音壓力」(sound pressure)的波形，有明顯的衰減現象。這個單元將著重在時間波形𝒑𝒌 (𝒕)的「聲音壓力」特徵解析。
一個樂器的「聲音品質」(sound quality)，可以從多方面的角度探討，在此舉三個「指標」(index)作說明：
1. 「音準」(pitch)：也就是「音階」的頻率，主要以「基音頻率」(fundamental frequency)和「音階標準頻率」相比較，其「頻率誤差」應該要< ±𝟎.𝟑𝟒%。由「聲音頻譜」𝑮𝒑𝒑 (𝒇)曲線，通常「第一個峰值」會有最高的「聲音振幅」，稱之為「基礎頻率」(fundamental frequency)，也就是這個「琴片」的「基音頻率」。
2. 「音色」(tonality)：就是「泛音頻率」(overtone frequencies)的組成。由「聲音頻譜」𝑮𝒑𝒑 (𝒇)曲線，除了「第一個峰值頻率」外，其他的「峰值頻率」，都是「泛音頻率」，這些「泛音頻率」的組成，就形成了一個樂器獨特的「音色」特性。
3. 「持續度」(continuity)：由圖示右上方的時間波形𝒑𝒌 (𝒕)，就是「聲音壓力」(sound pressure)的波形，有明顯的衰減現象，可以觀察到聲音持續時間的長短，在此以「衰減率」(decay rate)來界定「持續度」。
在前一個單元，已經探討此「姆指琴」的聲音特徵，「音準」(pitch)及「音色」(tonality)，是從「頻率域」的角度進行解析，本單元將從「時間域」的角度，以「持續度」(continuity)來探討。
那麼甚麼是「衰減率」呢？參閱圖片右邊中間圖示，是具有阻尼衰減效應的時間波形。阻尼衰減效應：方程式為𝑒^(−𝜉𝜔𝑡)=𝑒^(−𝜎𝑡)，是「指數函數」(exponential function)，其中，𝜎 就是「衰減率」(decay rate)，𝜎=𝜉𝜔=𝜉(2𝜋𝑓)，「衰減率」是「阻尼比」𝜉
和「圓週頻率」𝜔 的乘積。
𝜎 越大，衰減效應越大，聲音持續的時間就越短；𝜎 越小，衰減效應越小，聲音持續的時間就越長。所以，就採用𝜎「衰減率」，作為「持續度」的評估指標。
參閱圖片右上方「衰減率」分析的圖示，對「琴片#04」原始的聲音時間波形𝒑𝒌
(𝒕)，每一個時間點取平方、再開根號，可以得到全部正值的波形圖，再以「指數函數」方程式：𝑒^(−𝜎𝑡)，進行「曲線嵌合」(curve fitting)，可以得到如圖示的「振幅」= 0.62，以及「衰減率」𝜎=4.50。
參閱圖片中間下方的表格，是「姆指琴」各「琴片」的聲音「衰減率」𝜎 總表，可以看出來大部分都是
𝜎 = 4左右，最大是 𝜎
= 8.06、而最小是 𝜎 = 1.99。
參考圖片右邊下方的表格，是不同打擊樂器聲音之「衰減率」特性總表，說明如下：
1. 指鈸：是一種密宗法器，兩個鐵製小圓盤，相互撞擊的聲音，迴響很久，「持續度」很長，𝜎 = 0.458。
2. 鼓鈸/古鈸：是銅製的圓盤，敲擊的聲音，迴響很久，「持續度」很長，𝜎 = 0.824。(讀者可參考#99單元：【圓盤結構的振動模態及音場模態？】)
3. 鐵琴：是屏科大機械系振動噪音實驗室發展的新型打擊樂器，敲擊的聲音，迴響很久，「持續度」很長，𝜎 = 0.857。(讀者可參考#100單元：【簡諧倍頻音板結構的振動模態及音場模態？】)
4. 鐘琴：是一種鐵質的打擊樂器，敲擊的聲音，迴響程度普通，𝜎 = 2.575。
5. 木琴：木質材料的打擊樂器，敲擊的聲音，「持續度」短，𝜎 = 4.990。(讀者可參考#114單元：【木琴條發聲物理機制和振動模態的關係？】)
6. 木魚：打擊樂器的「木魚」在樂團中的角色，主要是配合樂曲打出節奏。所以迴響的時間短，木質木魚𝜎 = 22.605，塑膠木魚𝜎 = 29.180。(讀者可參考#155單元：【塑膠材質木魚的打擊聲音有甚麼特徵？】)
由以上不同打擊樂器的「衰減率」比較，大致可知：𝜎 < 1，迴響很久，「持續度」很長。1 < 𝜎 < 10，迴響的「持續度」是中等特性。𝜎 > 10，幾乎是短暫的聲音。
以「姆指琴」的「琴片#04」為例，𝜎 = 4.50，大約介於鐘琴和木琴之間，「衰減率」特性是稍微大的，迴響的「持續度」是中等特性。可以解讀，「姆指琴」的「琴片」是鐵質材料，透過木質音箱放大傳播出聲音。
綜合一下本單元的討論，主要是觀察「姆指琴」撥動「琴片」的時間波形特徵：
1. 聲音的時間波形𝒑𝒌 (𝒕)：可以量測到「聲音壓力」(sound pressure)的波形，有明顯的衰減現象。
2. 以「衰減率」(decay rate) 𝜎：界定「持續度」。
3. 觀察「姆指琴」7根「琴片」的「衰減率」：𝜎=1.99~8.06之間，平均值大約
𝜎=4。
4. 「姆指琴」聲音的「衰減率」與不同打擊樂器相比較：屬於中等衰減，迴響的「持續度」是中等特性。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2021.02.02
