這個單元是 SDOF 簡諧激振 FRF 系列的第 4 篇 ，要來探討的主題是：如何應用「頻率響應函數 」 (Frequency Response Function , FRF ) ？
首先，快速回顧一下這個「外力激振 」「單自由度系統 」，參考圖示左上方，是實際結構的示意圖，一個質塊，懸吊在一個彈簧下面，彈簧的另一端是固定邊界，當質塊受到外力作用，質塊會有上下振盪的現象。
為了分析這個質塊 - 彈簧的 「實際結構 」 (real structure ) ，建構 此系統 「數學模型 」 (mathematical model ) ，如示意圖。其中，
1.
「系統參數 」 (system parameters ) ，就是： m 、 c 、 k ，分別是質塊的「質量 」 (mass ) 、彈簧的「黏滯阻尼係數 」 (viscous damping coefficient ) 、彈簧的「彈簧常數 」 (spring constant ) 。
2.
「輸入 」是 f(t) ，為系統的外力，以及質塊本身的兩個「初始條件 」 (initial condition, IC ) ，包括：「初始位移 」 (initial displacement ) X0 及「初始速度 」 (initial velocity ) V0 。
3.
「輸出 」是 x(t) ，為系統質塊的位移響應。
由系統的 「數學模型 」，可以推導出這個 「單自由度系統 」的「運動方程式 」 ： ma+cv+kx=f(t) 。是「二階的常微分方程式 」，所以需要兩個「初始條件 」：「初始位移 」 X0 及「初始速度 」 V0 。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以 x 、 v 、 a ，代表位移 、速度 、加速度 。】
接著，定義系統的「輸入參數 」，假設系統受到了 「 簡諧外力 」激振，為 正弦函數
𝒇 ( 𝒕 )= 𝑭𝐬𝐢𝐧 ( 𝟐𝝅𝒇𝒕 ) ，其中， 𝑭 = 「 簡諧外力振幅 」； 𝒇 = 「 簡諧外力 」的「 激振頻率 」。
當這個正弦波的 「 簡諧外力 」，作用在此 「 SDOF 單自由度系統 」，由先前單元： #208 ，【 SDOF 簡諧激振系列 (2) ：為甚麼簡諧激振，會有簡諧響應？ 】， 質塊的位移響應 𝒙 ( 𝒕 ) ，可以 區別出，有 「暫態響應 」 (transient state response ) ，以及「穩態響應 」 (steady state response ) 的區間。
其中，有興趣的是「穩態位移響應 」，也是 「簡諧響應 」，可以寫出 位移響應方程式： 𝒙 ( 𝒕 )= 𝑿𝐬𝐢𝐧 ( 𝟐𝝅𝒇𝒕 + 𝝓 ) ，其中，
1. 𝑿 ：是「穩態位移響應 」的「位移振幅 」。
2. 𝒇 ：是「穩態位移響應 」的「響應頻率 」，此頻率值就是「 簡諧外力 」的「 激振頻率 」。
3. 𝝓 ： 是「穩態位移響應 」的「相位角 」 (phase
angle ) ，是「位移 」 𝒙 ( 𝒕 ) 和「 外力 」 𝒇 ( 𝒕 ) 的「相位角 」差。
特別有興趣的是「位移振幅 」 𝑿 和 「相位角 」 𝝓 。為了有效率的全盤了解 「穩態位移響應 」的特性， 所以， 定義了 「頻率響應函數 」 (Frequency Response Function , FRF ) ， 𝑯 ( 𝒇 ) ：
1.
𝑯 ( 𝒇 ) = 輸出 / 輸入。
2.
𝑯 ( 𝒇 ) =
𝑿 ( 𝒇 )/ 𝑭 ( 𝒇 ) 。
3.
𝑯 ( 𝒇 ) = 「穩態位移振幅 」 / 「外力振幅 」 。
這樣，可以快速知道 𝑿 ( 𝒇 ) 和 𝑭 ( 𝒇 ) 的關係。又，因為不同的 「 激振頻率 」 𝒇 ，會有不同的 「穩態位移振幅 」 𝑿 ，所以，分別以 𝑿 ( 𝒇 ) 和 𝑭 ( 𝒇 ) 變數 符號表示之。
針對「單自由度系統 」之 FRF ： 𝑯 ( 𝒇 ) = 𝑿 ( 𝒇 )/ 𝑭 ( 𝒇 ) = 𝟏 /[( 𝒌 − 𝒎𝝎 ^ 𝟐 )+ 𝒊 ( 𝝎𝒄 )] ，會和 「系統參數 」： m 、 c 、 k 相關，也會隨著不同的「 激振頻率 」 𝒇 ，而會有不同的 𝑯 ( 𝒇 ) 。
這個單元要來探討如何應用這個 「頻率響應函數 」 (FRF ) ？
首先，由 FRF 定義： 𝑯 ( 𝒇 ) = 𝑿 ( 𝒇 )/ 𝑭 ( 𝒇 ) ，可以推導出來， 𝑿 ( 𝒇 ) = 𝑭 ( 𝒇 )
𝑯 ( 𝒇 ) 。也就是說，如果知道系統的 m 、 c 、 k ，就可以求得 「頻率響應函數 」 𝑯 ( 𝒇 ) ，當已知 「 簡諧外力 」的「 外力振幅 」 𝑭 ，以及其 「 激振頻率 」 𝒇 ，就可以透過上面的方程式，推算出「穩態位移響應 」 𝑿 ( 𝒇 ) ，包括： 「位移振幅 」 𝑿 和 「相位角 」 𝝓 。
接下來，舉一個實際數值案例做探討，令「系統參數 」： m = 1 (kg) 、 c =
1 (N/ m/s) 、 k = 39.47 (N/m) ，繪製 FRF 的數值案例。可以求得兩個「模態參數 」： 「自然頻率 」 𝒇𝒏 = 1 (Hz) ， 「阻尼比 」 𝝃 = 0.0796 。因為， 0 < 𝝃 < 1 ，所以是 「次阻尼 」 狀態。
在此，設定 「 簡諧外力 」的「 外力振幅 」 𝑭
= 0.2
(N) ，有不同的「 激振頻率 」 𝒇 ， 分別令： 𝒇 = 0.6 (Hz) 、 1.0
(Hz) 、 1.4 (Hz) 。也就是 𝒇 = 𝟎 . 𝟔𝒇𝒏 ， 𝒇 < 𝒇𝒏 ，即 「 激振頻率 」小於 「 自然頻率 」； 𝒇 = 1.0 𝒇𝒏 ， 𝒇 = 𝒇𝒏 ，即 「 激振頻率 」等於 「 自然頻率 」； 𝒇 = 1.4 𝒇𝒏 ， 𝒇 > 𝒇𝒏 ，即 「 激振頻率 」大於 「 自然頻率 」。
同時， 兩個「初始條件 」 (initial condition, IC ) ，「初始位移 」 X0 及「初始速度 」 V0 。在此，都假設為 0 ，也就是： 𝒙 ( 𝟎 )= 𝒙𝟎
= 0 (m) ， 𝒙 ̇( 𝟎 )= 𝒗𝟎 = 0 (m/s) 。
在先前單元： #209 ，【 SDOF 簡諧激振系列 (3) ：不同簡諧激振頻率，對振動響應有甚麼影響？ 】，有介紹過 「 簡諧激振 」的「 暫態響應分析 」，參閱圖示右邊的三個圖示，分別是 𝒇 = 0.6 (Hz) 、 1.0
(Hz) 、 1.4 (Hz) ，所對應的時間域響應。
圖示中央的兩個圖，分別是 FRF 的 「振幅 」 (amplitude ) 圖、及 「相位角 」 (phase angle ) 圖，係由已知的系統參數 m 、 c 、 k ，所繪製的 FRF 。水平軸就是系統的「 激振頻率 」 𝒇 。
怎麼應用這兩個 FRF 的圖示呢？簡要的計算與說明如下：
𝒇 =0.6 (Hz) ：由前述已知： 𝑿 ( 𝒇 ) = 𝑭 ( 𝒇 )
𝑯 ( 𝒇 ) ，帶入 𝒇 =0.6 (Hz) ，查閱 FRF 的 「振幅 」 (amplitude ) 圖，得到： 𝑯 ( 𝒇 = 𝟎 . 𝟔 ) = ( 𝟎 . 𝟎𝟑𝟗𝟏𝟓 ) (m/N) 。已知： 𝑭 ( 𝒇 = 𝟎 . 𝟔 ) = ( 𝟎 . 𝟐 ) (N) 。所以， 𝑿 ( 𝒇 = 𝟎 . 𝟔 )= 𝑭 ( 𝒇 = 𝟎 . 𝟔 ) x 𝑯 ( 𝒇 = 𝟎 . 𝟔 ) = ( 𝟎 . 𝟐 )( 𝟎 . 𝟎𝟑𝟗𝟏𝟓 ) = 𝟎 . 𝟎𝟎𝟕𝟖𝟑 ( 𝐦 ) ，此數值，和「 暫態響應分析 」所觀察到的「穩態位移響應 」 𝒙 ( 𝒕 ) 的振幅值，是相同的。
如果，要由「 暫態響應分析 」的「穩態位移響應 」 𝒙 ( 𝒕 ) 觀察「相位角 」，必須和 𝒇 ( 𝒕 ) 比較觀察，相當辛苦。但是在這裡， 帶入 𝒇 =0.6 (Hz) ，查閱 FRF 的 「相位角 」 (phase angle ) 圖，得到： 𝝓 ( 𝒇 = 𝟎 . 𝟔 ) = (− 𝟖 . 𝟒𝟖 ° ) ，也就是幾乎 「 同相 」 (in-phase ) 。
由以上範例解釋，可以知道，取得 「頻率響應函數 」 (FRF ) 的優點：可以快速的求得及理解系統受到 「簡諧激振 」的「穩態位移響應 」之狀態。
同樣道理，參閱圖示，有其他兩個數值計算案例的說明，分別是： 𝒇 = 1.0 (Hz) ，也就是 𝒇 = 1.0 𝒇𝒏 ，以及
𝒇 = 1.4 (Hz) ，也就是 𝒇 = 1.4 𝒇𝒏 ，也是同樣的計算方式。可以快速的知道系統 的「穩態位移響應 」，包括：「位移振幅 」 𝑿 及 「相位角 」 𝝓 。
另外，由 「頻率響應函數 」 (FRF ) ，還可以觀察到甚麼呢？就是判斷是否有 「共振激振 」 (resonant excitation ) 的現象，如果有「簡諧激振 」，其「 激振頻率 」很接近「 自然頻率 」，那麼就會造成「共振 」 (resonance ) ，會有大的振動響應。
要如何避免「共振 」呢？當然，就是讓「 激振頻率 」遠離結構的「 自然頻率 」，建議：以「 20% 」原則，也就是 𝒇 < 0.8 𝒇𝒏 ，或是 𝒇 > 1.2 𝒇𝒏 ，由「振幅 」圖的觀察，可以知道在遠離結構「 自然頻率 」的簡諧激振，其位移響應是相對的小很多。
所以，當我們在進行結構的設計分析時，如果能夠得到結構系統的 「頻率響應函數 」 (FRF ) ，也知道 結構系統的「 激振頻率 」，通常就是機器的「 轉速頻率 」，就可以依照 FRF 顯示的資訊，據以探討避免「共振 」的設計分析。
綜合這個單元的探討，綜合如下：
1. 已知 SDOF 「單自由度系統 」的 FRF ： 𝑯 ( 𝒇 ) = 𝑿 ( 𝒇 )/ 𝑭 ( 𝒇 ) = 𝟏 /[( 𝒌 − 𝒎𝝎 ^ 𝟐 )+ 𝒊 ( 𝝎𝒄 )] 。只要知道系統的 m 、 c 、 k ，就可以求得 「頻率響應函數 」 𝑯 ( 𝒇 ) 。
2. 同時，可以推導得到： 𝑿 ( 𝒇 ) = 𝑭 ( 𝒇 )
𝑯 ( 𝒇 ) 。
3. 可以繪製：「頻率響應函數 」 𝑯 ( 𝒇 ) 的 「振幅 」 (amplitude ) 圖，以及 「相位角 」 (phase angle ) 圖，藉由前項的方程式，當已知 𝑭 ( 𝒇 ) ，就可以推算得到系統 的「穩態位移響應 」，包括：「位移振幅 」 𝑿 及 「相位角 」 𝝓 。
4. 另外，也可以由 「頻率響應函數 」 𝑯 ( 𝒇 ) 的 「振幅 」 (amplitude ) 圖，判斷是否有 「共振激振 」 (resonant excitation ) 的現象？
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2021.05.08
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