這個單元要來探討的主題是：如何檢查「頻譜分析儀」(FFT spectrum Analyzer)的基本功能(basic functions)正常運作？這是這個系列的第6篇，針對第3項的功能檢查：3. 自身功率頻譜密度檢查(Auto PSD Spectrum Check)，本單元介紹「自身功率頻譜」(Auto PSD Spectrum)的基本原理(Principle)以及相關背景知識。
首先，回顧先前單元：#338，【如何進行EMA量測數據之信號處理？】，參閱圖示右上方，EMA量測數據之信號處理流程圖，簡要說明如下：
1. 𝒇𝒋 (𝒕)、𝒂𝒊(𝒕)：「時間波形」(time waveform)，是EMA實驗量測的「原始數據」(raw data)。𝒇𝒋 (𝒕)和𝒂𝒊(𝒕) 分別是敲擊外力和加速度響應的數據。
2. 𝑭𝒋 (𝒇)、𝑨𝒊 (𝒇)：「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)，是透過FFT分析取得。
3. 𝑮𝒋𝒋 (𝒇)、𝑮𝒊𝒊 (𝒇)：「自身功率頻譜」(auto power spectrum, auto PSD)，以及 𝑮𝒋𝒊(𝒇)、𝑮𝒊𝒋(𝒇)：「交叉功率頻譜」(cross power spectrum, cross
PSD)，都是透過PSD分析取得。
4. 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)：「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)，是透過FRF分析取得。
5. 𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇)：「關聯性函數」(coherence function, COH)，是透過COH分析取得。
這個單元著重在PSD分析，也就是「功率頻譜密度」(Power Spectral Density, PSD)函數的分析，參閱【EMA量測數據之信號處理流程圖】下方圖示，是對應流程圖中所有變數符號的典型案例圖示，本單元，著重在4個變數符號：𝑮𝒋𝒋 (𝒇)、𝑮𝒊𝒊 (𝒇)、𝑮𝒋𝒊(𝒇)、𝑮𝒊𝒋(𝒇)，也就是PSD「功率頻譜密度」(Power Spectral Density, PSD)函數。
接下來，就以【4W】心法來思考：
1. What is? 甚麼是PSD spectrum「功率頻譜」？
2. Why to do? 為什麼要取得PSD spectrum「功率頻譜」？
3. What goal? 取得PSD spectrum「功率頻譜」要達到甚麼目標？
4. How to do? 如何取得PSD spectrum「功率頻譜」？
What is? 甚麼是PSD spectrum「功率頻譜」？簡單的說：由對應𝒙(𝒕)的𝑿(𝒇)「傅立葉頻譜」，進行PSD分析，就可以取得「功率頻譜密度」(Power Spectral
Density, PSD)函數，可簡稱為，「功率頻譜」。又可以分為兩種：(1)「自身功率頻譜」(Auto PSD)，(2)「交叉功率頻譜」(Cross PSD)。
PSD「功率頻譜密度」函數的定義，如下：
1. Auto PSD = 𝑮𝒇𝒇(𝒎𝜟𝒇)=𝑭∗(𝒎𝜟𝒇)𝑭(𝒎𝜟𝒇)。其中，𝑭(𝒎𝜟𝒇) = 𝒇(𝒕)的「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)，表示成數位化的形式，𝒎 = 頻譜條數(spectral line)，𝒎=𝟏,𝟐,…,𝑵𝒄，共有𝑵𝒄個條數。可以簡寫為：𝑮𝒇𝒇(𝒇) =𝑭∗(𝒇)𝑭(𝒇)，是對𝑭(𝒇)取共軛複數(complex conjugate)，得到𝑭∗(𝒇)，乘上𝑭(𝒇)，兩個相乘的「傅立葉頻譜」是相同的，所以稱為「自身功率頻譜」(Auto PSD)。
2. Cross PSD = 𝑮𝒇𝒂(𝒎𝜟𝒇)=𝑭∗(𝒎𝜟𝒇)𝑨(𝒎𝜟𝒇)，表示成數位化的形式，可以簡寫為：𝑮𝒇𝒂(𝒇)=𝑭∗(𝒇)𝑨(𝒇)。是對𝑭(𝒇)取共軛複數(complex conjugate)，得到𝑭∗(𝒇)，乘上𝑨(𝒇)，兩個相乘的「傅立葉頻譜」是不相同的，所以稱為「交叉功率頻譜」(Cross PSD)。需要注意的是，𝑮𝒇𝒂(𝒇) ≠
𝑮𝒂𝒇(𝒇)。
知道兩種函數的定義：「自身功率頻譜」(Auto PSD)、或是「交叉功率頻譜」(Cross PSD)，可以看出，其計算分析方式是相同的，只是兩個「傅立葉頻譜」是相同的、或是不相同的。
瞭解PSD「功率頻譜密度」函數的定義，再來觀察「自身功率頻譜」(Auto PSD)的單位，以下符號，令：𝒖(𝒕)=信號的「時間波形」，可能是𝒇(𝒕)、或𝒂(𝒕)。𝑼(𝒇) =信號的「傅立葉頻譜」，而𝑮𝒖𝒖 (𝒇) =信號的「自身功率頻譜」(Auto PSD)。
𝑮𝒖𝒖 (𝒇)的單位，依照不同場合，可以表示成不同的單位形式，綜合如下：
1. 振幅值平方 𝑼^𝟐 : 𝑮𝒖𝒖 (𝒎𝜟𝒇)=𝑼∗(𝒎𝜟𝒇)𝑼(𝒎𝜟𝒇)
2. 振幅值𝑼 : 𝑮𝒖𝒖(𝒎𝜟𝒇)=√(𝑼∗(𝒎𝜟𝒇)𝑼(𝒎𝜟𝒇) )
3. 平方平均根值的平方 𝑼𝒓𝒎𝒔^𝟐
: 𝑮𝒖𝒖(𝒎𝜟𝒇)=𝑼∗(𝒎𝜟𝒇)𝑼(𝒎𝜟𝒇)/𝟐
4. 平方平均根值 𝑼𝒓𝒎𝒔 : 𝑮𝒖𝒖 (𝒎𝜟𝒇)=√(𝑼∗(𝒎𝜟𝒇)𝑼(𝒎𝜟𝒇)/𝟐)
5. 振幅值平方/頻率
𝑼^𝟐/𝐇𝐳 : 𝑮𝒖𝒖 (𝒎𝜟𝒇)=𝑼∗(𝒎𝜟𝒇)𝑼(𝒎𝜟𝒇)/𝜟𝒇
6. 平方平均根值平方/頻率
𝑼𝐫𝐦𝐬^𝟐/𝐇𝐳 : 𝑮𝒖𝒖(𝒎𝜟𝒇)=𝑼∗(𝒎𝜟𝒇)𝑼(𝒎𝜟𝒇)/(𝟐𝜟𝒇)
其中，以餘弦波(Cosine)為例：數學方程式：𝒙(𝒕)=𝑨𝐜𝐨𝐬(𝟐𝛑𝒇𝟎 𝒕)，其中，振幅值=𝑨，餘弦波的頻率= 𝒇𝟎 Hz。所以，振幅值平方 𝑼^𝟐就是𝑨^𝟐。
平方平均根值(root
mean square value, 𝒓𝒎𝒔 value)，或簡稱方均根值，也就是𝒓𝒎𝒔值。注意：就𝒓𝒎𝒔值的意義來說，中文名詞，應該是方均根值，不宜稱為均方根值。以餘弦波(Cosine)為例，其𝒓𝒎𝒔值，𝑨𝒓𝒎𝒔= 𝑨/sqrt(𝟐) = 0.707 𝑨。所以，𝑼𝒓𝒎𝒔^𝟐和𝑼^𝟐之間，會有除以𝟐
的關係。
常用的Auto PSD單位，是𝑼𝐫𝐦𝐬^𝟐/𝐇𝐳，𝒓𝒎𝒔值平方除以頻率，所以，在計算此單位時，還要除以𝜟𝒇 = 頻率解析度。所以，此單位的計算方式，可以簡寫為：𝑮𝒖𝒖(𝒇)=𝑼∗(𝒇)𝑼(𝒇)/(𝟐𝜟𝒇)。其中分母的𝟐𝜟𝒇，𝟐是取得𝒓𝒎𝒔值，而𝜟𝒇是取得頻譜密度的頻率。
如果是外力的「自身功率頻譜」(Auto PSD)，就是：𝑮𝒇𝒇(𝒇)=
𝑭∗(𝒇) 𝑭(𝒇)/(𝟐𝜟𝒇)，單位= (𝑵 𝐫𝐦𝐬^𝟐)/𝐇𝐳。如果是加速度的「自身功率頻譜」(Auto PSD)，就是：𝑮𝒂𝒂(𝒇)=
𝑨∗(𝒇)
𝑨(𝒇)/(𝟐𝜟𝒇) ，單位= (g
𝐫𝐦𝐬^𝟐)/𝐇𝐳。
Why to do? 為什麼要取得PSD spectrum「功率頻譜」？有幾個理由：(1) PSD spectrum是可以取平均(averaging)，可以降低雜訊(noise)。(2)
因為，取平均的PSD spectrum，可以更容易觀察頻譜的特徵。(3) 更重要的是，必須要有PSD spectrum，才可以計算求得「頻率響應函數」(frequency response
function, FRF)以及「關聯性函數」(coherence, COH)。
What goal? 取得PSD spectrum「功率頻譜」要達到甚麼目標？當然就是要能夠計算得到正確的PSD spectrum。
How to do? 如何取得PSD spectrum「功率頻譜」？參閱右上方流程圖，一個信號的「自身功率頻譜」(Auto PSD)，必須由𝒖(𝒕)=信號的「時間波形」，透過FFT分析，取得 𝑼(𝒇) =信號的「傅立葉頻譜」，再透過PSD分析，取得𝑮𝒖𝒖 (𝒇) =信號的「自身功率頻譜」(Auto PSD)。或是由兩個信號的「傅立葉頻譜」，才能夠取得兩個信號的「交叉功率頻譜」(Cross PSD)。
接下來的問題，如何確認：PSD分析，得到的PSD spectrum「功率頻譜」是正確的呢？參閱圖示右下方的方程式，是對𝑮𝒖𝒖(𝒇)在頻率區間上，做積分、再開根號，就可以得到𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇 = 𝒖(𝒕)的方均根值，也就是𝒖(𝒕)「時間波形」的𝒓𝒎𝒔值。在此要注意：𝑮𝒖𝒖(𝒇)的單位要採用𝑼𝐫𝐦𝐬^𝟐/𝐇𝐳。同時，此積分的幾何意義：相當於是𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum曲線，和頻率軸之間，所圍成的面積。𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇的𝒇，代表是由𝑮𝒖𝒖(𝒇)頻譜，所求得的𝑼𝐫𝐦𝐬。
𝑼𝐫𝐦𝐬 也可以直接由
𝒖(𝒕)「時間波形」的原始量測數據求得，對𝒖(𝒕)取平方、取平均、再開根號，就可以取得𝒖(𝒕)「時間波形」的𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒕。其中的𝒕，代表是由𝒖(𝒕)，所求得的𝑼𝐫𝐦𝐬。
如果，由𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum「功率頻譜」曲線，透過積分式，取得的𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇，能夠和由𝒖(𝒕)「時間波形」取得的𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒕，兩者能夠相同的話，也就是：𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇 =
𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒕，那麼就可以驗證計算取得的𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum之正確性。這就是進行第3項的功能檢查：3. 自身功率頻譜密度檢查(Auto PSD Spectrum Check)的基本原理(Principle)。
綜合一下這個單元的討論，總結如下：
1. 回顧先前單元：#338，【如何進行EMA量測數據之信號處理？】，參閱圖示右上方，EMA量測數據之信號處理流程圖，從「時間波形」(time waveform)，進行FFT分析，取得「傅立葉頻譜」(Fourier spectrum)，再透過PSD分析，可以取得「功率頻譜密度」(Power Spectral Density, PSD)函數，進而由FRF分析，可以得到「頻率響應函數」(frequency response function, FRF)以及「關聯性函數」(coherence, COH)。本單元重點在：PSD分析的基本原理。
2. 以【4W】的心法：(1) What is? 甚麼是PSD spectrum「功率頻譜」？(2) Why to do?
為什麼要取得PSD spectrum「功率頻譜」？(3) What goal?
取得PSD spectrum「功率頻譜」要達到甚麼目標？(4) 如何取得PSD spectrum「功率頻譜」？做了概述探討。包括：「自身功率頻譜」(Auto PSD)以及「交叉功率頻譜」(Cross PSD)。
3. 針對Auto PSD以及Cross PSD，分別由數位化的「傅立葉頻譜」定義其計算與分析方式。
4. 特別對Auto PSD，說明𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum「功率頻譜」不同單位的表示方式。最重要的Auto PSD單位，是𝑼𝐫𝐦𝐬^𝟐/𝐇𝐳。
5. 典型的𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum，例如：外力的Auto PSD，𝑮𝒇𝒇(𝒇)單位= (𝑵 𝐫𝐦𝐬^𝟐)/𝐇𝐳。加速度的Auto PSD， 𝑮𝒂𝒂(𝒇)單位= (g
𝐫𝐦𝐬^𝟐)/𝐇𝐳。
6. 一個信號的𝒓𝒎𝒔值，可以由𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum「功率頻譜」曲線，透過積分式，取得𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇。
7. 一個信號的𝒓𝒎𝒔值，也可以直接由𝒖(𝒕)「時間波形」的原始量測數據，求得𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒕。
8. 如果，由𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum「功率頻譜」曲線取得的𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇，和由𝒖(𝒕)「時間波形」的原始量測數據求得的𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒕，兩者相等：𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒇 =
𝑼𝐫𝐦𝐬,𝒕，就可以驗證計算取得的𝑮𝒖𝒖(𝒇) PSD spectrum「功率頻譜」之正確性。盡管是以Auto PSD，進行驗證分析，因為Cross PSD和Auto PSD算法相同，所以，可以校正PSD分析的正確性。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.06.21
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