《振動噪音科普專欄》如何激發橋樑的振動模態？

這個單元探討的主題：如何激發橋樑的「振動模態」？How to excite bridge vibration modes?

本單元將引用YouTube的影片，係由美國賓州Messiah College Prof. Bob Barrett師生完成的一部影片：連結網址：https://www.youtube.com/watch?v=uWoiMMLIvco，也可以查詢：Resonant Bridge – many harmonics，可以觀看原始的影片。

本單元的介紹，將配合此影片，係以人工方式激發橋梁不同的「振動模態」，並輔以先前單元：【如何解讀振動模態：模態振型？】，探討一個長條形的矩形薄板在兩端是固定邊界的結構，類似於該影片中的橋樑結構，據以探討如何激發橋樑的「振動模態」？

要如何激發橋樑的「振動模態」？主要就是應用「共振」(resonance)的原理：當外部的「激振頻率」(excitation/forcing frequency)和結構的「自然頻率」(natural frequency)相等或相近時，就會使得結構「共振」，而有大的振動現象。

以「共振」的關鍵詞，對【振動噪音科普專欄】進行搜尋，可以找到6篇的相關單元主題，列舉編號及單元名稱如下：

1.          #5：【甚麼是【共振】？】

2.          #7：【「共振」現象之觀察】

3.          #92：【基座激振之懸臂樑：共振現象ODS的觀察】

4.          #93：【基座激振之懸臂樑：不同懸臂樑結構之共振現象ODS觀察】

5.          #94：【基座激振之懸臂樑：掃描正弦波簡諧激振−共振現象的觀察】

6.          #124：【「自然頻率」和「共振頻率」有差別嗎？】

開始以下的討論之前，在此提醒讀者：影片中，激發橋樑共振，是危險的行為，請勿模仿！不過呢，也要感謝Prof. Bob Barrett師生完成及提供這樣的一部影片，可以做為解釋：如何激發橋樑的「振動模態」？

首先，觀看影片或圖示，共有激發6個橋樑「振動模態」的奮力演出，分別討論如下：

1.      2^nd bending mode：YouTube影片有兩段在激發此「2nd bending mode」，也就是「第2個彎曲模態」，參閱圖示，一是近距離，另一是遠距離的拍攝。引用前一個單元：【如何解讀振動模態：模態振型？】，探討一個長條形的矩形薄板在兩端是固定邊界的結構，類似於該影片中的橋樑結構，截取「第2個z-方向彎曲模態」或稱為(x,y)= (2,1)的「平板模態」如圖示。可以觀察在長度x-方向，中間位置有一條「節線」(nodal lines)的存在，人力激振的位置剛好在「模態振型」有最大變形的位置，約在長度x-方向1/4及3/4位置，而且激振力的方向是相反，透過一端施力，另一端則在反向施力，可以激發出此「第2個彎曲模態」。

2.      3^rd bending mode：觀看分析得到「模態振型」動畫，可以區別出是(x,y)= (3,1)的「平板模態」或是稱為「第3個z-方向彎曲模態」，此「模態振型」有兩條「節線」分別在長度x-方向1/3、2/3位置，同樣可以看到影片有三組人，分別在「模態振型」有最大變形的3個位置，左右兩端和中間的施力方向是反向，進而激發了此(x,y)= (3,1)「平板模態」的振動。

3.      4^th bending mode：再觀察此「4th bending mode」，也就是「第4個彎曲模態」，影片中有兩組人分別在如分析得到「模態振型」的右側，在「模態振型」有最大變形的2個位置，分別施予反向力，進而激發了「第4個z-方向彎曲模態」，也可稱為(x,y)= (4,1)的「平板模態」。此「模態振型」有3條「節線」，不同於前兩個模態的激振，在此僅在右側兩個位置激振，依然可以有效的激發此(x,y)= (4,1)的「平板模態」。所以，只要激振的位置和「模態振型」對應，又能夠以和該模態「自然頻率」相同的頻率，施予「激振頻率」，也可以有效激發該模態。

4.      1^st x-torsion mode：由「樑結構」角度來看，可以說是「第1個x-方向扭曲模態」，搭配影片及「模態振型」動畫，可以明顯得知，此模態也可以說是(x,y)= (1,2)的「平板模態」。施加力的方式，剛好在橋樑中間的兩側，分別給予反向的施力，就可以有效的激發此(x,y)= (1,2)的「平板模態」。

5.      2^nd x-torsion mode：此模態，由「樑結構」角度來看，可以說是「第2個x-方向扭曲模態」，搭配影片及「模態振型」動畫，可以明顯得知，此模態也可以說是(x,y)= (2,2)的「平板模態」。參閱分析的「模態振型」圖示，有標示了兩個向下施力點位置，分別對應了影片中兩組人的施力，要注意的是，此施力方向是同方向，也就是「同相位」(in-phase)，和前述其他模態的施力方式不同，多是「不同相位」(out-of-phase)，實際上是180度「相位角」(phase angle)差異，也就是兩個施力剛好反向。

6.      1^st y-bending mode：最後是「第1個y-方向彎曲模態」，此模態是「y-方向側向振動」，其結構y-方向側向剛性大，所以，可看到影片中，很吃力地才能激發此結構的「模態振型」。而前述1~3是可以判別是「z-方向彎曲模態」，而此「z-方向彎曲模態」是此橋樑主要的振動特徵。

綜合以上討論，本單元以實際橋樑的人力激振方式，所激發不同類型之「振動模態」的「模態振型」影片，搭配理論分析得到對應的理論「模態振型」動畫，可以合理地解釋說明如何激發不同的橋樑「振動模態」。

由以上討論，其中1~3為此橋樑典型的「z-bending mode」，對應圖示下排的影片及分析的「模態振型」動畫，要激發此類型模態，施予外力要作用在z-方向，並且都是在「模態振型」有最大變形的位置。又施力的方向要根據「模態振型」的正負方向，給予適當的週期力，此作用力的「週期」，其實對應的是「激振頻率」。所以，由「力的三要素」來看：「大小」、「方向」、「作用點」。力的「大小」要調整到和結構「自然頻率」有相同頻率的狀態，作用力的「方向」及「作用點」，需要配合所要激發的「振動模態」之「模態振型」，特別要選在「模態振型」有最大變形的位置。

要能夠激發結構的「振動模態」，在此，進一步補充，「共振激振」(resonant excitation)，也是本單元探討的如何激發橋樑的「振動模態」？可以由「力的三要素」：「大小」、「方向」、「作用點」作討論：

1.      「大小」：主要的關鍵在「激振頻率」~=「自然頻率」。首先有個認知，每一個結構都有「自然頻率」。「激振頻率」是外部施加在結構上激振源的頻率，此「激振源」(excitation source)在本單元的影片看到的就是人工作用的外力。當外部的「激振頻率」(excitation/forcing frequency)和結構的「自然頻率」(natural frequency)相等或相近時，就會使得結構「共振」，而有大的振動現象。當「共振」時，微小的激振力，都可能引發結構大的振動響應，所以「共振」是不容忽視的現象。

2.      「方向」：在此施力的「方向」需要配合所要激發的「振動模態」之「模態振型」，而「模態振型」有正負方向之分，施力必須配合正負的「模態振型」，給予「同相位」(in-phase)或「180度不同相位」(180 degree out-of-phase)的外力，同時，要配合「激振頻率」~=「自然頻率」，才可激發出對應的「振動模態」

3.      「作用點」：也就是施力的激振位置，由各個模態的展示，可以看出都是作用在「模態振型」有最大變形的位置，而且作用力的方向，要配合「模態振型」的正負方向。

最後，仍要感謝美國賓州Messiah College Prof. Bob Barrett師生完成的這部YouTube影片，才得以完成本單元的製作與說明。希望讀者能夠瞭解結構的「共振激振」(resonant excitation)以及所引發的「共振」(resonance)現象。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2020.05.13

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《振動噪音科普專欄》如何解讀振動模態：模態振型？

先前的單元：#160【甚麼是結構的「振動模態」？】，討論的方向是以高爾夫球桿為例，可以分別由EMA及FEA求得了結構的「振動模態」，也就是「模態參數」，其中包括了「自然頻率」、「模態振型」、「模態阻尼比」三個重要的「模態參數」。同時，也介紹了：「振動模態」、「振動自然模態」、「模態參數」、「模態特性」等說法，可以說都是等效的名詞。

這個單元來探討如何解讀「振動模態」，特別是「模態振型」。首先，一個「振動模態，包括3個重要的「模態參數」(modal parameters)：

(1)       自然頻率(natural frequency)

(2)       模態振型(mode shape)

(3)       模態阻尼比(modal damping ratio)

參閱圖示，本單元以一個長條形的矩形薄板在兩端是固定邊界的結構作討論，這是個長條形、寬度比較窄的薄板結構。如果，對此結構進行「理論模態分析」(theoretical modal analysis, TMA)，透過「有限元素分析」(finite element analysis, FEA)，進行「正交模態分析」(normal mode analysis)，可以分別得到兩個重要的「模態參數」(modal parameters)：「自然頻率」(natural frequency)及「模態振型」(mode shape)。在此需注意，通常「模態阻尼比」只能由實驗方法求得。

接下來參閱圖示或影片，可以觀察到有上中下三排的「模態振型」動畫，在此忽略「自然頻率」的數值，僅觀察「模態振型」來討論如何解讀其「振動模態」，特別是「模態振型」的物理意義。

由最上排的7個「模態振型」動畫來看，討論如下：

1.      首先，畫出平板結構原始形狀的輔助線，可以觀察到平板會有不動點的現象。

2.      可辨識每一個「振動模態」的「模態振型」之不動點，也就是「節線」(nodal lines)的存在。由左到右，從無「節線」、一條「節線」、兩條「節線」、到最多有六條「節線」。

3.      根據平板在z-方向的彎曲振動或側向振動現象，以及各「模態振型」的「節線」特徵，可以說此「振動模態」是「彎曲模態」(bending modes)。

4.      「彎曲模態」由小到大，編號及名稱如下：「第1個彎曲模態」(the 1^st bending mode)、「第2個彎曲模態」(the 2^nd bending mode)、到「第7個彎曲模態」(the 7^th bending mode)。

由此解讀方式，可以很明確的指出最上排的7個「模態振型」的物理意義，甚至更高頻率的「振動模態」也可以判斷出來。

接下來看圖示，中間排的7個「模態振型」動畫，討論如下：

1.      首先，也是畫出平板結構原始形狀的輔助線，不過是在寬度的y-方向，也就是寬度方向的正中間，可以觀察到平板在中線位置，會有不動點的現象。

2.      可辨識每一個「振動模態」的「模態振型」，在寬度的中間位置皆為不動點，也就是「節線」(nodal lines)。另外，如同最上排的7個「模態振型」，在長度的x-方向，由左到右，從無「節線」、一條「節線」、兩條「節線」、到最多有六條「節線」。

3.      如果，在此要以前述的方式，來解讀中間排的7個「模態振型」動畫，就難以合理的解釋其「模態振型」的物理意義。在此，回顧編號#56單元：【甚麼是結構振動模態】，由於此平板主要的「振動模態」是z方向的「側向振動」(lateral vibration)，可以由平板的(x,y)兩個方向「節線」(nodal line)的特徵，據以解讀平板的「振動模態」特性，例如：(x,y)=(1,1)、(2,1)、(3,1)等不同的振動形式。

4.      因此，可以解讀最上排的7個「模態振型」是：(x,y)=(1,1)、(2,1)、、、(7,1)等不同的振動形式。而中間排的7個「模態振型」是：(x,y)=(1,2)、(2,2)、、、(7,2)等平板的「振動模態」特性。

至於，結構是否會有(x,y)=(1,3)、(2,3)等平板的「振動模態」呢？答案是：有。因為這是個長條形平板，「長度x-方向」比「寬度y-方向」長很多，在(x,y)=(1,3)、甚至(1,4)等之「振動模態」，仍然存在，只是其「自然頻率」很高，在此僅顯示大約前20個「振動模態」，所以沒有觀察到此等高頻率的「振動模態」。

到此，可以看到以「平板」的角度，來觀察探討「振動模態」特性是可行的，可以解讀圖示中最上排及中間排的所有「模態振型」的物理意義。

最後，再觀察圖示中最下排的兩個「模態振型」，也是此長條形平板結構的「振動模態」之其中一種類型，討論如下：

1.      兩個「模態振型」都是在y-方向的振動，可以說是「y-方向彎曲模態」(y-bending modes)。

2.      此「y-方向彎曲模態」和最上排的7個「模態振型」是「z-方向彎曲模態」是完全不同的振動方向，一為y-方向，一為z-方向。

3.      所以，可以分別定義最上排的7個「模態振型」是「z-方向彎曲模態」，分別由第1到第7個「z-方向彎曲模態」。而最下排的2個「模態振型」是「y-方向彎曲模態」，也是分別第1到第2個「y-方向彎曲模態」。其中，最下排的「y-方向彎曲模態」在前20個「模態」中，只出現兩個，這是因為「y-方向側向振動」其結構剛性大，其「自然頻率」相對較高，所以沒有出現第3個「y-方向側向振動」。

4.      如果，以「樑結構」角度來解讀「模態振型」的物理意義，那麼中間排的7個「模態振型」代表甚麼意義呢？如圖示標示，可以視為「x-方向扭曲模態」(x-torsion modes)，也就是以x-方向為旋轉中心的「扭曲模態」(torsion modes)，或稱為「旋轉模態」(rotational modes)。但是，如果，以「平板模態」來看(x,y)=(1,3)的話，這種「x-方向扭曲模態」就難以有合理的解讀了。

綜合以上的討論，不要忘記了本單元的主題是在探討：如何解讀「振動模態」，特別是「模態振型」？如何找到一種簡潔的、有效的表達方式，可以合理地解讀結構的「模態振型」是主要目的，在此介紹了三種解讀方式：

1.      「z-方向彎曲模態」或簡稱「彎曲模態」的解讀：適用在只探討如最上排的7個「模態振型」，如果，不考慮其他方向的「振動模態」，單純以「第1個彎曲模態」(the 1^st bending mode)、「第2個彎曲模態」(the 2^nd bending mode)來解讀，是合理可行的。

2.      「樑結構」角度的三種「振動模態」解讀：包括了「z-方向彎曲模態」、「y-方向彎曲模態」、「x-方向扭曲模態」。如果此長條形平板的模態，在有興趣的頻率範圍，包含了此三種「振動模態」特徵，就需要分別區別出「x-方向」、「y-方向」、「z-方向」的振動特徵，分別有bending mode及torsion mode的差異。

3.      「平板結構」角度的解讀：係以平板的(x,y)兩個方向「節線」(nodal line)的特徵，據以解讀平板的「振動模態」特性，例如：(x,y)=(1,1)、(2,1)、(3,1)等不同的振動形式。

綜合來說，這單元主要在解讀長條形平板結構「振動模態」的「模態振型」物理意義？大體上可以由「樑結構」角度或是「平板結構」角度，來解讀探討「振動模態」的「模態振型」之物理意義。

以上個人看法，請多指教！

王栢村

2020.05.11

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