【振動噪音產學技術聯盟】網頁導覽影片

為提供訪客更多、更清楚的資訊,我們建立【振動噪音產學技術聯盟】網頁導覽影片,只要10分鐘的時間,快速為您介紹聯盟網頁架構、網頁內涵及如何應用,讓您多了解【振動噪音產學技術聯盟】網頁!

振動噪音產學技術聯盟

Facebook粉絲專頁

《振動噪音科普專欄》傅立業頻譜和功率頻譜有甚麼不同?

 

這個單元的主題,有兩個關鍵詞(keywords)(1)傅立業頻譜(Fourier spectrum)(2)功率頻譜(power spectrum)

 

在先前單元#75傅立葉頻譜與自身功率頻譜有甚麼不同?】,已經有初步的介紹,本單元再以另一個角度做說明,並以實際的信號案例,說明傅立業頻譜」及「功率頻譜」兩者的差異。

 

首先,由1的上方圖示,呈現的是信號處理流程圖(signal processing block diagram),說明如下:

 

1.      𝒙(𝒕):「時間波形」信號(time waveform),假設其單位為U,以一個「餘弦波(cosine wave)為例,𝒙(𝒕)=𝑿𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇0 𝒕),參閱1的右側圖示「時間波形」,可以觀察到對應的 𝑿 振幅值」,𝒇0是「頻率」,以及此頻率對應的「週期T 0 = 1/ 𝒇0

2.      𝑿(𝒇):「傅立業頻譜(Fourier spectrum),會是「複數(complex number),其單位也是U,數學上的理論分析,是透過「傅立業轉換(Fourier transform),可以寫成:𝑿(𝒇) = F [𝒙(𝒕)],也就是將時間波形信號𝒙(𝒕),轉換到頻率域的傅立業頻譜𝑿(𝒇)。實務上,是採用fast Fourier transform (FFT)快速傅立業轉換」是進行「FFT頻譜分析(spectral analysis)的數學方法。讀者可參閱#27:【甚麼是頻譜分析?】。參閱1的右側圖示,可以觀察 𝑿(𝒇)有實數部及虛數部,「餘弦波」的「傅立業頻譜」是頻率 𝒇 =𝒇0時,𝑿(𝒇) 實數部為其「振幅值𝑿

3.      𝐺𝑥𝑥 (𝑓):「自身功率頻譜(auto power spectral density, auto PSD, auto spectrum),也可稱為功率頻譜(power spectrum),其計算方式:𝐺𝑥𝑥 (𝑓)=𝑋 (𝑓)X (𝑓)/Δ𝑓,取「傅立業頻譜𝑿(𝒇) 的共軛複數(complex conjugate)相乘,再除以「頻率解析度(frequency resolution) Δ𝑓𝐺𝑥𝑥 (𝑓)單位,有4種表示方式:U^2/HzUUrmsUrms^2/Hz𝐺𝑥𝑥 (𝑓) 是純實數正值(pure real positive number),可以取「平均(averaging)運算,此點再另闢單元討論。參閱1的右側圖示,可以觀察「自身功率頻譜𝐺𝑥𝑥 (𝑓),在頻率 𝒇 =𝒇0時,其「振幅值𝑿,這是以U的單位方式表示。

4.      X rms:「平方平均根值(root mean square (rms) value)。可以透過兩種方式取得:(1)時間波形」,對 𝒙(𝒕)信號取平方、再取平均、再開根號,可得到X rms(2)自身功率頻譜」,對𝐺𝑥𝑥 (𝑓)取頻率域積分、再根號也可得到X rms。如果信號是單一頻率的「餘弦波」或「正弦波」,都是「簡諧波」,則X rms = 0.707XX rms的單位當然還是U

 

1,介紹了一個「時間波形」信號 𝒙(𝒕)

 

1.      進行「FFT頻譜分析」,可以得到「傅立業頻譜𝑿(𝒇)

2.      再進行「PSD」運算處理,可以得到「自身功率頻譜𝐺𝑥𝑥 (𝑓)

3.      再進行「rms」運算處理,可以得到「平方平均根值X rms

 

接下來,參閱2,將介紹實際「時間波形」信號的「FFT頻譜分析」、「PSD」及「rms」運算處理。首先,參閱2的上方三個圖示,分別說明如下:

 

1.      𝒇1 = 0 Hz𝑿1 = 5DC信號:所謂 DC,英文是 direct current,「DC信號」意義上是常數(constant value),令 𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕)𝑿1 = 5𝒇1 = 0 Hz,就可以取得定值為5的「DC信號」。如果,「時間波形𝒙(𝒕) 是常數,則其「傅立業頻譜𝑿(𝒇),會在頻率 𝒇 = 0 Hz時,其「振幅值」為 𝑿1 = 5。此「DC信號」的X rms 由「時間波形」以及由「自身功率頻譜」所推算的X rms 都相同為 5

2.      𝒇2 = 200 Hz𝑿2 = 1AC信號:所謂 AC,英文是 alternating current,「AC信號」泛指波動的信號,如一個「餘弦波」信號,令 𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇2 𝒕)𝑿2 = 1𝒇2 = 200 Hz。其「時間波形𝒙(𝒕) 是波動的信號,而其「傅立業頻譜𝑿(𝒇),會在頻率 𝒇 = 200 Hz時,其「振幅值」為𝑿2 = 1。此「餘弦波」的X rms由「時間波形」以及由「自身功率頻譜」所推算的X rms 都相同,X rms = 0.707X = (0.707)1 = 0.707

3.      𝒇3 = 500 Hz𝑿3 = 10AC信號:一樣的「AC信號」,令 𝒙3(𝒕)=𝑿3𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇3 𝒕)𝑿3 = 10𝒇3 = 500 Hz。在此信號特別的是,𝒇3 = 500 Hz是最高的有效頻率fnyq = Fmax = 500 Hz。其「時間波形𝒙(𝒕) 是波動的信號,而其「傅立業頻譜𝑿(𝒇),會在頻率 𝒇 = 500 Hz時,其「振幅值」為𝑿3 = 10。此「餘弦波」的X rms = 10。要注意的是,因為在時間域的取樣,只有擷取到+1010的數值,在「頻率」及「振幅值」的解析是正確,但是由時間域的數值,計算的X rms 也是符合實際取樣的數值結果,X rms = 10,而不是X rms = 0.707X = (0.707)10 = 7.07

 

參閱2的左下方圖示,是以上三個信號的合成,特徵說明如下:

 

1.      𝒙(𝒕)時間波形(time waveform):「時間波形」的中間值為5,是來自 𝑿1 = 5𝒇1 = 0 Hz,「DC信號」的效應。𝑿3 = 10𝒇3 = 500 Hz,「AC信號」主導了主要的波形。𝑿2 = 1𝒇2 = 200 Hz,「AC信號」使得「時間波形」有微幅的波動。實務上,從「時間波形」是很難辨識出實際信號的頻率及振幅特徵,所以需要借助「FFT頻譜分析」的解析。

2.      𝑿(𝒇)傅立業頻譜(Fourier spectrum):可觀察到在對應的「頻率」,都有正確的「振幅值」,包括:𝒇1 = 0 Hz𝑿1 = 5𝒇2 = 200 Hz𝑿2 = 1𝒇3 = 500 Hz𝑿3 = 10。同時,要注意瞭解𝑿(𝒇) 是複數,可以分別以amplitude振幅值」、real實數」、imaginary虛數」、或 Nyquist plot奈氏圖」呈現。「奈氏圖」再另闢單元介紹。

3.      X rms平方平均根值(root mean square (rms) value):此合成信號的X rms,由「時間波形」以及由「自身功率頻譜」所推算的X rms 都相同,X rms = 11.203。符合「時間波形」的特徵,所以,可以確認兩者的運算處理方式都正確。

 

最後,參閱2的右方的四個圖示,是𝐺𝑥𝑥 (𝑓)自身功率頻譜(auto power spectral density, auto PSD, auto spectrum),以四種單位表示的圖示,分別說明如下:

 

1.      𝐺𝑥𝑥 (𝑓) (U):以單位U表示,沒有意外,和 𝑿(𝒇)傅立業頻譜」的圖示,完全相同。因為,所表示的單位是相同的。

2.      𝐺𝑥𝑥 (𝑓) (U^2/Hz):以單位U^2/Hz表示,在𝒇1 = 0 Hz𝑿 = 𝑿*𝑿/Δ𝑓 = 5*5/0.5 =50,其他兩個「AC信號」也是相同計算方式。

3.      𝐺𝑥𝑥 (𝑓) (Urms):以單位Urms表示,在𝒇1 = 0 Hz𝑿 = (0.707)𝑿 = (0.707)*5 =3.536,其他兩個「AC信號」也是相同計算方式。

4.      𝐺𝑥𝑥 (𝑓) (Urms^2/Hz):以單位Urms^2/Hz表示,在𝒇1 = 0 Hz𝑿 = 𝑿rms*𝑿rms/Δ𝑓 = 3.536*3.536/0.5 =25,其他兩個「AC信號」也是相同計算方式。

 

參閱2所呈現的重點,是以三個信號的合成,來說明「時間波形𝒙(𝒕)、「傅立業頻譜𝑿(𝒇)、「自身功率頻譜𝐺𝑥𝑥 (𝑓)、以及平方平均根值X rms的現象與重要特性。特別舉例DC信號」的特徵,以及兩個「AC信號」的特徵解析,其中,一個「AC信號」取任意的頻率,而另一個「AC信號」取其最大的有效頻率,以驗證「FFT頻譜分析」解析的正確性。

 

綜合本單元的討論,主要在區別「傅立業頻譜𝑿(𝒇)以及「自身功率頻譜𝐺𝑥𝑥 (𝑓)的差異。除此之外,如果,讀者有自行撰寫「FFT頻譜分析」程式,要檢驗程式的正確性,可以參考以「DC信號」、和「AC信號」分別確認𝑿(𝒇)𝐺𝑥𝑥 (𝑓)X rms三者之間的對應關係,並檢察分析程式的正確性。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2020.10.16

文章粉絲團連

YouTube影片連結


1、傅立業頻譜和功率頻譜有甚麼不同?

2、傅立業頻譜和功率頻譜有甚麼不同?實例