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《振動噪音科普專欄》甚麼是「破壞理論」(Failure Theory)?如何應用於結構安全性評估?

這個單元要來探討的主題是:甚麼是「破壞理論(Failure Theory)?如何應用於結構「安全性(Safety)評估?

 

在前一個單元:#290如何進行結構的「安全性」評估?,參閱圖示右上方的案例:懸臂樑受均佈壓力之靜力分析,可以得到各種類型的結構應力,包括:𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛,𝝉𝒙𝒚,𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒙𝒛,就是3個方向的正向應力Normal stress以及3個方向的剪應力Shear stress。由正向應力和剪應力可以推算出3個主應力Principal stress𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑,通常令𝝈𝟏>𝝈𝟐>𝝈𝟑。也可得到𝝈𝒆𝒒𝒗,是等效應力Equivalent/Effective stress,也稱為von Mises stress麥西斯應力。也就是取得「結構應力(Structural Stress)

 

又知道,對於結構靜力分析的「安全性(Safety)評估,首先,瞭解「安全係數(Safety Factor)的定義:

 

𝑵_𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒄 = 𝑺_𝒂𝒍𝒍𝒐𝒘 / 𝝈_𝒔𝒕𝒓𝒖𝒄𝒕𝒖𝒓𝒆
靜力安全係數 = 材料容許應力 / 結構應力 = Material Allowable Stress / Structural Stress

 

其次,甚麼是「材料容許應力(Material Allowable Stress)呢?結構會是由某種材料所製造的,每種材料有其「容許應力」,定義如下:

 

𝑺_𝒂𝒍𝒍𝒐𝒘 = 材料容許應力 = 材料強度 /𝑵

 

如果,令「材料容許應力(Material Allowable Stress) = 材料強度(Material Strength),也就是𝑵=安全係數=𝟏

 

還需要瞭解甚麼是「材料強度(Material Strength)?必須考慮兩種材料特性,如果是「延展性材料」特徵,可以定義3種「材料強度」選項:

 

1.      𝑺𝒚𝒅 = 降伏強度Yielding Strength:在彈性變形區的最大應力值。

2.      𝑺𝒖𝒕 = 極限強度Ultimate Strength:在塑性變形區的最大應力值。

3.      𝑺𝒇𝒓 = 破壞強度Fracture Strength:材料拉伸試驗斷裂時的應力值。

 

通常,𝑺𝒚𝒅 < 𝑺𝒇𝒓 < 𝑺𝒖𝒕,所以,𝑺𝒚𝒅是最保守的選項。

 

如果是「脆性材料」,因為其抗拉與抗壓的強度,會有明顯不同,因此需要取得的「材料強度」,包括:

 

1.      𝑺𝒕 = 抗拉強度Tensile Strength

2.      𝑺𝒄 = 抗壓強度Compressive Strength

 

所以,對於結構的「安全性(Safety)評估,需要從兩種材料特性的角度,分別進行評估:

 

1.      延展性材料(Ductile Material)𝑵𝒔𝒕 = 𝑺𝒚𝒅/𝝈𝒆𝒒𝒗 = 降伏強度 / 等效應力

2.      脆性材料(Brittle Material)𝑵𝒔𝒕=𝑺𝒕/𝝈𝟏 = 抗拉強度 / 第一主應力,而且,𝑵𝒔𝒕 = 𝑺𝒄 / 𝝈𝟑 = 抗壓強度 / 第三主應力

 

回顧了甚麼是「結構應力(Structural Stress)?甚麼是「材料容許應力(Material Allowable Stress)?甚麼是「材料強度(Material Strength)?以及甚麼是「延展性材料(Ductile Material)?甚麼是「脆性材料(Brittle Material)?以及兩種特性材料的結構「安全性(Safety)評估方法,本單元著重於瞭解甚麼是「破壞理論(Failure Theory)?同時,探討如何應用於結構「安全性(Safety)評估?

 

破壞理論」有很多種,針對「延展性材料」與「脆性材料」,常選用的兩種「破壞理論」,分述如下:

 

1.      von MisesFailure Theory,「麥西斯」破壞理論、或稱「畸應變能(Distortion Stain Energy)破壞理論:適用於「延展性材料(Ductile Material)。如果,𝝈𝒆𝒒𝒗 < 𝑺𝒚𝒅,也就是結構應力𝝈𝒆𝒒𝒗,小於材料強度,如𝑺𝒚𝒅降伏強度是最保守的選項,則結構不會破壞。

2.      Maximum Principal StressFailure Theory,「最大主應力」破壞理論:適用於「脆性材料(Brittle Material)。如果,𝑺𝒄 < {𝝈1,𝝈2,𝝈3 } < 𝑺𝒕,也就是結構的3個主應力,都介於𝑺𝒄 抗壓強度𝑺𝒕抗拉強度之間,則結構不會破壞。

 

接下來,定義𝝈𝒆𝒒𝒗,是等效應力Equivalent/Effective stress,也稱為von Mises stress麥西斯應力。詳細方程式,可參閱圖示,概念上,已知:結構應力,包括:𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛,𝝉𝒙𝒚,𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒙𝒛,就是3個方向的正向應力Normal stress以及3個方向的剪應力Shear stress,就可以求得等效應力𝝈𝒆𝒒𝒗。另外,也可以由3個主應力Principal stress𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑,求得等效應力𝝈𝒆𝒒𝒗

 

其次,如何求得3個主應力Principal stress𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑呢?參閱圖示左下方,可以寫出應力矩陣 [σ],是由𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛,𝝉𝒙𝒚,𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒙𝒛所組成,分析求解應力矩陣 [σ]特徵值(eigenvalue),即可求得3個主應力Principal stress𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑,通常令𝝈𝟏>𝝈𝟐>𝝈𝟑

 

有了以上「破壞理論」的基礎知識,就可以知道,彙整於圖示右下方的安全性評估,如何分別應用兩個「破壞理論」,進而分別對「延展性材料」結構以及「脆性材料」結構,進行其「安全性(Safety)的評估方法。

 

最後,綜合本單元的討論:

 

1.      介紹了兩個「破壞理論」:(1)麥西斯」破壞理論,以及(2)最大主應力」破壞理論。

2.      分別應用於「延展性材料」結構以及「脆性材料」結構的「安全性(Safety)的評估。

3.      對於「延展性材料」結構:因為採用「麥西斯」破壞理論,所以,「結構應力」要取得𝝈𝒆𝒒𝒗,是等效應力Equivalent/Effective stress,也稱為von Mises stress麥西斯應力

4.      對於「脆性材料」結構:因為採用「最大主應力」破壞理論,所以,「結構應力」要取得3個主應力Principal stress𝝈𝟏>𝝈𝟐>𝝈𝟑

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2022.10.17