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《振動噪音科普專欄》基座激振之懸臂樑:掃描正弦波簡諧激振−共振現象的觀察


這個單元同樣來看的是:基座激振之懸臂樑結構,共振現象的觀察,不同於先前兩個單元:基座激振之懸臂樑:共振現象ODS的觀察】、【基座激振之懸臂樑:不同懸臂樑結構之共振現象ODS觀察是受到單一頻率的正弦波激振時,本單元將以掃描正弦波做實驗觀察

甚麼是掃描正弦波激振(swept sine excitation)?與正弦波激振(sinusoidal excitation)有甚麼不同呢?以單一頻率正弦波簡諧激振,可以觀察到結構的共振(resonance)現象,那麼掃描正弦波也可以嗎?實務上,甚麼情況下會有掃描正弦波的激振呢?

首先,先區別以下兩個名詞:

1.          單一頻率之正弦波激振:當系統的輸入,受到單一頻率的正弦波激振,可表示為y(t)=Y*sin(2*pi*f*t),其中,Y位移振幅(m)f激振頻率(Hz)。此正弦波激振,也可稱為簡諧激振(harmonic excitation)。以轉動機械為例,轉速頻率可以說就是系統的正弦波激振頻率,相當於在固定轉速的狀態。【什麼是轉速頻率(rotating speed frequency)
2.          掃描正弦波激振(swept sine excitation):其實就是正弦波激振,不過,其激振頻率f是變動的,f可以由小到大,或是由大到小。以轉動機械為例,轉速頻率由小到大,相當於是機械由靜止、啟動運轉、達到預定的工作轉速,此過程可稱為run-up。反之,由高轉速、到低轉速,或是機械的關機過程,轉速頻率就是由大到小,此過程稱為coast-down

參考圖示,是一支15公分長的鋼尺,固定夾持在基座上。此基座受到垂直方向的振動輸入,因此,稱之為基座激振。由先前單元:基座激振之懸臂樑:共振現象ODS的觀察】,懸臂鋼尺第一及第二個模態自然頻率,分別為:14.9Hz 95.1Hz

基座激振的懸臂樑結構系統,其基座激振的激振頻率f係由小逐漸增大,設定由f=0 Hz,逐漸增大到f=120 Hz。所以,相當於轉動機械的run-up狀態,從靜止、啟動運動、到轉速為:60*120=7200 RPM (revolution per minute),即每分鐘7200轉。

左圖為實際的實驗影片,右圖為對應左圖的模擬分析動畫,基座激振頻率f=0~120Hz,循環激振,可以觀察到與實際影片相似的現象,討論如下:

1.          在不同的激振頻率時:鋼尺僅隨著基座的振動,並沒有太大的振動產生。
2.          當激振頻率f掃描通過f=14.9Hz附近:鋼尺結構會有大的振動現象,而且振動的型態,就是第一個模態的模態振型。
3.          當激振頻率f掃描通過f=95.1Hz附近:鋼尺結構也會有較大的振動現象,而且振動的型態,就是第二個模態的模態振型。
4.          共振(resonance)現象:影片中顯示鋼尺在共振時,有大振動的現象。

對於這樣的基座激振懸臂樑結構系統,受到掃描正弦波的基座激振,可以參閱圖示右上方的系統方塊圖,由以下幾個角度來討論:

1.          ISO系統方塊圖Input-System-Output。也就是:輸入-系統-輸出。
2.          物理域(physical domain)系統方塊圖:輸入為y(t)=Y*sin(2*pi*f*t),激振頻率f=0~120Hz,以掃描正弦波為輸入振動源。所以,輸出也可表示為x(t)=X*sin(2*pi*f*t),隨著激振頻率的改變,結構響應的頻率特徵也是隨著同步改變。系統可以表示為[M][C][K]三個矩陣,分別是質量、阻尼、剛性矩陣。
3.          模態域(modal domain)系統方塊圖:由前述系統矩陣,可以由理論模態分析求得系統的模態參數,包括:自然頻率fr、模態振型Pr、以及模態阻尼比Dr。這三個模態參數是系統的內涵,是不會變動的。

當掃描正弦波的激振頻率,通過結構自然頻率時,亦即f ~= fr時,稱為共振激振(resonant excitation),此時結構的變形狀態,稱之為「操作變形振型(operational deflection shape, ODS),會呈現出該結構「自然頻率」所對應的「模態振型(mode shape),這就是「共振現象ODS觀察」的作動原理。

如果,懸臂鋼尺結構是一部轉動機械,此結構系統會有其結構的自然頻率。當轉動機械的轉速頻率,逐漸上升,通過結構系統的自然頻率時,就會產生共振現象。這種共振現象,結構會有大的振動,對於結構系統來說,是不好的,所以,應該要避免之。【什麼是轉速頻率(rotating speed frequency)

轉動機械由靜止啟動運轉,達到額定的工作轉速頻率的過程,如果,轉速頻率會掃描經過結構系統自然頻率,就會造成共振,當然,對結構系統而言,是有風險的。要如何避免共振呢?

基本原則:確保轉速頻率遠離結構系統的自然頻率,理論上以40%為原則。舉例來說,一部轉動機械,其額定工作轉速6,000 RPM,轉速頻率f=6000/60=100Hz。避免共振,理論上以40%為原則,結構系統的自然頻率建議:fr > f*1.4=140Hz

本單元以掃描正弦波的簡諧激振,觀察基座激振懸臂樑結構的共振現象,特別是共振激振狀態的振動大現象。並以此系統比擬一部轉動機械,探討轉速頻率對應於激振頻率之影響,此掃描正弦波頻率由小到大,猶如轉速由小逐漸增大,此轉速對應的頻率,就相當於作用在轉動機械系統的輸入源之激振頻率。

希望對讀者在了解結構自然頻率結構模態振型掃描正弦波激振激振頻率(excitation frequency)結構共振共振激振(resonant excitation)振動相關的名詞與現象,有所了解與體會。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2019.01.26


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