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《振動噪音科普專欄》Window effect on decay signal for FFT

由英文標題來破題,需要了解甚麼是Window視窗?甚麼是decay signal衰減型信號?甚麼是FFT?又在進行FFT時,也就是頻譜分析時,採用不同的Window,對得到傅立葉頻譜(Fourier spectrum),會有甚麼影響?希望在這個單元可以獲得解答。


首先,FFT就是快速傅立葉轉換(fast Fourier transform, FFT)的數學運算,係將時間域的信號,轉換到頻率域,得到此信號的傅立葉頻譜(Fourier spectrum),所以可稱為頻譜分析(spectral analysis)。先前有關FFT的相關單元:甚麼是頻譜分析?】、【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)】、【甚麼是頻譜的摺疊效應(folding effect)】、【甚麼是假象(aliasing)】,有興趣讀者可以先複習一下。

其次,甚麼是Window視窗呢?如何與FFT搭配應用?有哪些Window呢?實際上,Window也可以稱為weighting function加權函數,數學上,常以w(t)代表視窗加權函數。

如果,對一個原始的量測信號p(t),在進行FFT之前,會將p(t)w(t)做對應時間的加權相乘,取得加權處理後的時間序列p’(t) =p(t)w(t),再進行FFT。注意:p’(t) =p(t)w(t)此相乘方式,是對應時間點的相乘。

Window 視窗加權函數,詳細的解說,將另闢單元探討,本單元將介紹4種,僅列出其名稱及簡要的說明如下:

1.      Boxcar:也可稱為Rectangle,矩形視窗加權函數,理念上,w(t)=1,所以,p’(t)=p(t),相當於沒有任何的加權效應。矩形視窗適用在沒有洩漏(leakage)的信號。可參考先前單元:【甚麼是洩漏(leakage)
2.      Hanning:漢寧視窗加權函數,w(t)呈現一半個正弦波信號,w(t)在起始及終止時間,w(t)=0漢寧視窗適用在隨機型信號
3.      Exponential:指數視窗加權函數,w(t)是一個指數函數。w(t)在起始時間,w(t)=1;在終止時間,常設定兩種:w(t)=0.1、或0.01,也就p(t)經指數加權處理後,在終止時間,原始信號p(t)量值,會加權僅有原始的量值的10%、或1%指數視窗適用在衰減型信號

甚麼是decay signal衰減型信號呢?如圖示就是4個衰減信號所組成的聲音信號p(t),本單元只針對p(t)1個衰減信號,進行FFT頻譜分析,取得聲音傅立葉頻譜P(f)

要對一個信號p(t)進行FFT頻譜分析,取得其傅立葉頻譜P(f),參考步驟如下:

1.      量測信號p(t)的取樣頻率:要注意量測此p(t)信號的取樣頻率(sampling frequency),本案例fs=44100Hz。可參考先前單元:【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)】。
2.      進行頻譜分析FFT參數設定:配合SM聲音量測軟體的應用分析,可參考網址:【http://aitanvh.blogspot.com/2017/10/sm.html】。需要設定:開始時間t1=1.76sec,取樣點數Nt=44100
3.      觀察FFT相關參數:如圖示顯示的FFT相關參數,包括:每個區間的時間(time frame)T=1 sec,終止時間t2=2.76,有效解析頻率fnyq=22050Hz,頻率解析度df=1Hz。原理仍要參閱先前單元:【甚麼是取樣頻率(sampling frequency)】。
4.      選擇視窗加權函數w(t):本案例探討了BoxcarHanningExponential 0.1Exponential 0.014種視窗加權函數,進行FFT頻譜分析後,所得到的傅立葉頻譜P(f)差異的探討。
5.      觀察得到的傅立葉頻譜P(f)特性:因為,傅立葉頻譜P(f)是複數(complex number),通常有興趣的振幅值(magnitude, amplitude),數學符號表示為|P(f)|

參考圖示右側為選用4種視窗加權函數,所分別得到的傅立葉頻譜|P(f)|,討論如下:

1.      Boxcar Window:在頻譜圖中,發現有柵欄效應(fence effect),這是因為進行FFTtime frame時間區間,p(t)在終止時間,還沒有降到0,信號有被截斷 (truncation)的現象,造成頻譜圖有不正常的柵欄效應。
2.      Hanning Window:在整體頻譜圖可發現,有許多毛躁的小峰值,這樣的頻譜圖,會讓人不容易判斷真正的信號頻率特徵。
3.      Exponential 0.1:相較於BoxcarHanning Window,此頻譜圖可解析的判讀性好了許多,不過,在500Hz以上,仍然有毛躁小峰值現象。
4.      Exponential 0.01:可以觀察此頻譜圖是最清楚,可以明確判別頻譜的峰值頻率特徵。因此,可以說對此衰減型信號,以Exponential 0.01的視窗加權函數處理後,進行FFT,所得到頻譜是最好的,因為可以明確判讀主要的峰值頻率,也就是此衰減型信號的頻率特徵。

綜合來說,當我們對一個時間域信號,要進行FFT頻譜分析,主要目的就是要了解該信號的頻率特徵,特別是能有效觀察到所有的峰值頻率。

以本案例所探討的衰減型信號,採用不同的視窗加權函數處理後,進行FFT頻譜分析,所得到的傅立葉頻譜,在判讀性、可解析性來看,當然,Exponential 0.01視窗加權函數,對衰減型信號的FFT頻譜分析,是較佳的選項

本單元以一個衰減型信號,說明不同視窗加權函數處理後的FFT頻譜分析的差異,希望讀者可以體會選擇適當的視窗加權函數之重要性,方可取得較好的傅立葉頻譜圖,才能夠有意義的解讀頻譜之頻率特徵。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2018.08.04