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《振動噪音科普專欄》如何從「實際結構」定義「數學模型」 ?心法:FGMBIR



 這個單元要來探討的主題是:如何從「實際結構(Real Structure)定義「數學模型(Mathematical Model)?要介紹的心法,仍然是:FGMBIR

 

在先前單元:#289如何進行結構的「靜力分析」?】,探討如何進行「靜力分析」,主要步驟,包括:

 

1.      定義問題

2.      建構數學模型

3.      發展有限元素模型

4.      進行FEA軟體應用分析

5.      解讀分析結果討論評估

 

其中,第二個步驟,就是要建構「數學模型(Mathematical Model),本單元將應用【F GMBI R】心法,來思考如何定義「數學模型」。

 

快速回顧一下,如何進行「靜力分析」,主要步驟,包括:

 

1.      問題定義(Problem Definition):就是對「實際結構(Real Structure)有明確的定義問題,在前一個單元:#296針對「靜力分析」,如何「定義問題」?心法:FGMBIR】,就是採用F GMBI R】心法,對結構的「靜力分析」做問題定義,也就是以【Input System Output=ISO】,做系統化的「定義問題」。

2.      假設(Assumptions):透過適當的分析假設,建構「數學模型(Mathematical Model),也是這個單元討論重點,也將應用【F GMBI R】心法。

3.      分析假設(Analysis Assumptions):當採用有限元素分析(Finite Element Analysis, FEA)軟體,進行分析時,就需要建構對應的「有限元素模型(Finite Element Model, FE Model)

4.      分析(Analysis):應用FEA軟體進行結構分析,就可以求得結構的變形(deformation)和結構應力(stress)

 

接續前一個單元:#296針對「靜力分析」,如何「定義問題」?心法:FGMBIR】,所探討的結構案例:樑置於兩端基座上受均佈壓力之靜力分析,參閱圖示的右上方是示意圖,已經應用【F GMBI R】心法,完成了實際結構問題定義(Problem Definition)

 

本單元將探討如何從「實際結構(Real Structure)定義「數學模型(Mathematical Model)

 

要建構取得「數學模型」,需要適當的分析假設,也可以應用【F GMBI R】心法,逐項討論如下:

 

l   F=Force外力負荷在樑的頂面,受到均佈下壓力的作用,並且假設Force外力:此均佈下壓力是常數,其單位是Pa,因為,進行的是「靜力分析」。

l   G=Geometry幾何實際結構」都是3D三維空間的立體結構,不過,在進行FEA有限元素分析時,對此案例,可以採用兩種元素進行分析:(1)立體元素(solid element)以及(2)平面元素(plane element)。若採用(1)立體元素」,當然分析模型就是3D的立體結構。當採用(2)平面元素」,係假設沿著樑和基座結構的寬度𝒃方向,是均勻的(uniform),所以,忽略寬度方向的變化,而只取寬度𝒃方向的一個平面剖面進行分析,所以,Geometry幾何假設,就是2D平面結構之幾何模型(Geometry Model)

l   M=Material材料每一個零組件都有其Material材料參數(Material parameters),如圖示樑結構和基座結構的材料,都定義了楊氏係數(Young’s modulus)200 (GPa)普松比(Poisson ratio)0.3,是典型的鋼材。在此,是採用了「等向性材料模型(Isotropic Material Model),事實上,還有許多種材料模型,例如「正向性材料模型(Orthotropic Material Model)、「異向性材料模型(Anisotropic Material Model)等,我們再另闢單元討論。

l   B=Boundary邊界條件在基座的底部,假設是固定邊界(fixed boundary),也就是理想狀態的固定邊界,也許實際上是埋在地下的基座,可能是泥土地、混擬土地、鋼板,不管是甚麼地基,在此就是假設Boundary邊界條件為理想狀態的固定邊界(ideally fixed boundary)

l   I=Interface接觸介面在定義零組件之間的接觸狀態,在此,樑結構是置放在基座的上方,所以,可以合理的假設,此Interface接觸介面是「摩擦滑動接觸(frictional sliding contact)

l   R=Response結構響應最後,要進行結構的「靜力分析」,就是要分析瞭解結構的變形(deformation)和應力(stress)狀態,就是Response結構響應

 

分別參閱圖示左下方的結構變形圖和結構應力𝝈𝒙的分布圖,比較說明如下:

 

1.      結構的變形(deformation):若採用「立體元素」,可以得到三個方向的結構變形參數(𝒖, 𝒗, 𝒘)。當採用「平面元素」,只可以得到兩個方向的結構變形參數(𝒖, 𝒗)

2.      結構的應力(stress):若採用「立體元素」,可以得到3個方向的正向應力Normal stress (𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝈𝒛)3個方向的剪應力Shear stress (𝝉𝒙𝒚,𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒙𝒛),因此,可以取得3個主應力Principal stress (𝝈𝟏,𝝈𝟐,𝝈𝟑)以及等效應力Equivalent/Effective stress,也稱為von Mises stress麥西斯應力(𝝈𝒆𝒒𝒗)。當採用「平面元素」,由於只有兩個方向的結構變形參數(𝒖, 𝒗),所以只有平面2D的應力(𝝈𝒙,𝝈𝒚,𝝉𝒙𝒚)以及(𝝈𝟏,𝝈𝟐, 𝝈𝒆𝒒𝒗)

 

當要從「實際結構(Real Structure)定義「數學模型(Mathematical Model),同時,還需要考慮所擬採用的元素型式,也就是需要同步思考「有限元素模型(Finite Element Model, FE Model)的定義。

 

本單元就分別介紹了兩種元素:(1)立體元素(solid element)以及(2)平面元素(plane element),分別思考建構其對應的「數學模型」,以【F GMBI R】心法,比較說明如下:

 

1.          F:採用「立體元素」時,Force外力的均佈下壓力,而「平面元素」是的均佈下壓力。不過,兩者Force外力的物理意義相同,其單位都是Pa

2.          G:採用「立體元素」時,是3D三維空間的立體結構,而「平面元素」,是只取寬度𝒃方向的一個平面剖面進行分析,所以,Geometry幾何假設,就是2D的平面結構之幾何模型(Geometry Model)。必須注意,只有【F GMBI】在寬度𝒃方向是均勻的(uniform),才可以採用「平面元素」進行分析。

3.          M:不管是採用「立體元素」或是「平面元素」,都採用了「等向性材料模型(Isotropic Material Model)Material材料物理意義是相同的。所以,樑結構和基座結構的材料,都定義了楊氏係數(Young’s modulus)200 (GPa)普松比(Poisson ratio)0.3,是典型的鋼材。

4.          B:採用「立體元素」時,Boundary邊界條件是在基座底部的,是固定邊界。而「平面元素」是在基座底部的,是固定邊界。不過,兩者的物理意義相同,都是理想狀態的固定邊界(ideally fixed boundary)

5.          I:採用「立體元素」時,在樑與基座的Interface接觸介面面對面的接觸(face-to-face contact)。而「平面元素」,在樑與基座的Interface接觸介面線對線的接觸(line-to-line contact)

6.          R:「立體元素」時,Response結構響應之結構變形(deformation)和應力(stress)狀態,可以得到3D的響應,而「平面元素」,只可以得到2D的響應。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2022.11.28