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《振動噪音科普專欄》甚麼是頻譜的“柵欄效應”(fence effect)?3K的思維模式

 

這個單元的主題,來探討:甚麼是頻譜的「柵欄效應(fence effect)?會以「3K」的思維模式,來思考及探討這個問題。

 

首先,主題中有「柵欄效應」,以「3K」的思維來看,自我提問如下:

 

1.      Know “What?甚麼是「柵欄效應」?

2.      Know “Why?為甚麼會有「柵欄效應」?

3.      Know “How?如何改善「柵欄效應」?

 

由第一個”K” Know “What?甚麼是「柵欄效應」?可以觀察圖示中間的三個「時間域響應x(t),以及對應的「傅立業頻譜(Fourier spectrum) X(f),現象說明如下:

 

1.      頻譜沒有「柵欄效應:由中間的第一個圖示,可以觀察到X(f)是進行「FFT頻譜分析」取得的「傅立業頻譜」,具有單頻率、有阻尼效應的頻譜特徵,其中,「峰值頻率(peak frequency)50 Hz,也是潛在的系統「自然頻率」。

2.      頻譜有些微的「柵欄效應:由中間的第二個圖示,可以觀察到X(f)進行「FFT頻譜分析」取得的「傅立業頻譜」,除了觀察到具有單頻率、有阻尼效應的頻譜特徵,其中,「峰值頻率(peak frequency)50 Hz,也是潛在的系統「自然頻率」之外,在頻譜有些微的波動,可以說是有些微的「柵欄效應」。

3.      頻譜有嚴重的「柵欄效應:由中間的第三個圖示,可以觀察到X(f),除了觀察到具有單頻率、有阻尼效應的頻譜特徵,其中,「峰值頻率(peak frequency)50 Hz,也是潛在的系統「自然頻率」之外,在頻譜有明顯的波動,形成類似花圃的「柵欄」,所以稱此現象為「柵欄效應」。

 

由第一個”K” Know “What?甚麼是「柵欄效應」?瞭解了頻譜會有所謂的「柵欄效應」。接著,由第二個”K” Know “Why?來探討為甚麼會有「柵欄效應」?

 

1.      頻譜沒有「柵欄效應:由中間的第一個圖示,可以觀察到x(t)是一個單一頻率的衰減信號,在「FFT頻譜分析」的「時間區間T,在此T=0.2 secx(t)t=0為零,同時在t=0.2時,因為x(t)信號的阻尼夠大,所以,x(t)衰減到零(decay to zero),沒有「洩漏(leakage),因此,進行「FFT頻譜分析」取得的「傅立業頻譜X(f)是很正常具有單頻率、有阻尼效應的頻譜特徵,其中,「峰值頻率(peak frequency)50 Hz,也是潛在的系統「自然頻率」。

2.      頻譜有些微的「柵欄效應:由中間的第二個圖示,可以觀察到x(t)是一個單一頻率的衰減信號,因為x(t)信號的阻尼教小,在「FFT頻譜分析」的「時間區間T,在此T=0.2 secx(t)t=0為零,而在t=0.2時,並沒有完全衰減到零(do not decay to zero),所以,有些微「洩漏(leakage),此種現象,稱為「截斷誤差(truncation error),所以,進行「FFT頻譜分析」取得的「傅立業頻譜X(f),除了觀察到具有單頻率、有阻尼效應的頻譜特徵,其中,「峰值頻率(peak frequency)50 Hz,也是潛在的系統「自然頻率」之外,在頻譜有些微的波動,所以就會出現有些微的「柵欄效應」。

3.      頻譜有嚴重的「柵欄效應:由中間的第三個圖示,可以觀察到x(t)是一個單一頻率的衰減信號,在「FFT頻譜分析」的「時間區間T,在此T=0.2 secx(t)t=0為零,而在t=0.2時,x(t)的響應仍然很大,因為阻尼效應很小,完全沒有衰減到零(do not decay to zero),由於,x(t)在起始時間及終止時間的大差異,或是說不相等、或是沒有都等於零,所以,有「洩漏(leakage),此種現象,稱為「截斷誤差(truncation error),因此,進行「FFT頻譜分析」取得的「傅立業頻譜X(f),除了觀察到具有單頻率、有阻尼效應的頻譜特徵,其中,「峰值頻率(peak frequency)50 Hz,也是潛在的系統「自然頻率」之外,在頻譜有明顯的波動,形成類似花圃的「柵欄」,所以稱此現象為「柵欄效應」。

 

由第二個”K” Know “Why?瞭解了為甚麼會有「柵欄效應」?是因為x(t) 沒有衰減到零的「截斷誤差」效應。

 

接著,由第三個”K” Know “How?來探討如何改善「柵欄效應」?在此,要介紹「指數窗函數(exponential window),在先前單元#106:【典型的Window視窗加權函數有哪些?】、#72Window effect on decay signal for FFT】、#74:【Window effect on decay signal for FFT (2)】,有相關的探討,請讀者參閱。

 

參閱本單元圖示,左下方有一個單頻率的簡諧波是「原始信號(original signal),以「指數窗函數」進行加權處理,可以得到「加權後信號(weighted signal),使得x(t)在起始時間及終止時間的值,都為零,因此,可以降低「洩漏」或是「截斷誤差」的效應,所以,可以消除「柵欄效應」。

 

參閱本單元圖示,右下方是對中間的第三個圖示,對「原始信號x(t)進行「指數窗函數」的加權處理可以得到「加權後信號」及其對應頻譜,可以觀察到以下的現象:

 

1.      加權後信號x(t) 在終止時間已經衰減到零。

2.      進行「FFT頻譜分析」取得的「傅立業頻譜X(f),確實可以消除「柵欄效應」。

3.      加權後信號x(t)的「傅立業頻譜X(f),其「峰值頻率」的「振幅值」是0.11,比起「原始信號」的「傅立業頻譜X(f),其「峰值頻率」的「振幅值」是0.68,顯然比較小,這是因為「指數窗函數」的加權處理,加重了「阻尼效應」,係來自「指數窗函數」的「衰減率σ的效應。

 

最後,綜合本單元的討論,以「3K」的思維來看:

 

1.      Know “What?甚麼是「柵欄效應」?在「傅立業頻譜X(f),會有明顯的波動,形成類似花圃的「柵欄」,所以稱此現象為「柵欄效應」。

2.      Know “Why?為甚麼會有「柵欄效應」?主要是x(t)在終止時間,沒有衰減到零(do not decay to zero),形成「洩漏(leakage),此種現象,稱為「截斷誤差(truncation error)

3.      Know “How?如何改善「柵欄效應」?以「指數窗函數」對x(t)作加權處理可以得到「加權後信號」及其對應頻譜,確實可以消除「柵欄效應」,但是,由於來自「指數窗函數」的「衰減率σ,加重了「阻尼效應」,使得「峰值頻率」的「振幅值」會變小。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2020.12.07

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