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《振動噪音科普專欄》結構振動分析步驟流程:樑結構

這個單元來探討的主題:結構振動分析的步驟與流程,會以樑結構(beam structure)系統為例,來說明。

 

要進行一個結構的振動分析」,是有多個步驟程序,參閱1說明如下:

 

1.      數學模型化(mathematical modeling):對「實際結構(real structure),進行「數學模型化」,可以得到結構的「數學模型(mathematical model)

2.      推導運動方程式(derivation of equation of motion (EOM)):由結構的「數學模型」,進行「推導運動方程式」,可以得到可描述系統的「系統方程式(system equations),不同系統特性,會有不同的數學方程式,例如:「單自由度系統」是二階的常微分方程式,「多自由度系統」會是二階的聯立常微分方程式,而「連續系統」則是偏微分程式。

3.      模態分析(modal analysis):由得到的系統方程式」,進行「理論模態分析」,可以求得系統的「模態參數」。進而,可以將原始物理域的「系統方程式」,以「模態參數」表示成模態域的「系統方程式」,此步驟有助於後續的響應分析。

4.      模態域數學模型(modal domain mathematical model):由模態域的「系統方程式」,可以描繪出等效於「實際結構」、以及等效於物理域的「數學模型」,所對應的模態域的「數學模型」,於此,有助於瞭解結構的「模態參數」特徵。

5.      簡諧響應分析(harmonic response analysis):係基於系統受到簡諧激振(harmonic excitation)假設,可以求得系統的「簡諧響應(harmonic response),稱之為「頻率響應函數(frequency response function, FRF)

6.      暫態響應分析(transient response analysis):若結構系統受到已知的時間域外力(external force),透過「暫態響應分析」,可求得結構系統如位移的「時間域響應」。

7.      頻譜響應分析(spectrum response analysis):如果,結構系統受到的是「隨機(random)的「外部激振(external excitation),透過「頻譜響應分析」,可求得結構系統如位移的「頻率域響應」

 

如果,對一個結構進行實驗模態分析(experimental modal analysis, EMA),大致會是反向的程序,先量測得到結構系統的「時間域響應」,再利用FFT求得其「頻率響應」,進而可得到「頻率響應函數」,再以「曲線嵌合(curve fitting),求得結構的「模態參數」。有關此主題,我們再另闢單元討論。

 

這個單元將探討「樑結構」,如何透過圖示的這些程序步驟,進行結構振動分析。首先,回顧一下先前單元#170:【樑結構之振動分析有哪些?】,參閱2,簡要說明如下:

 

1.      實體結構一個「簡支樑(simple support beam)的實體結構(real structure)之示意圖,幾何形狀看起來像個平板,不過,這裡以「樑結構(beam structure)的角度來討論。同時,可以看到兩端是「簡支邊界(simply-supported)

2.      數學模型:對應實體結構,可透過「數學模型化(mathematical modeling)的步驟,取得「物理域數學模型(physical mathematical model)。取樑的中性軸 (neutral axis),以線架構來簡化代表實體。圖示中,f(x,t)是作用在樑的外力函數,w(x,t)是樑的側向位移。需要明確定義:「系統參數(system parameters)、「輸入參數(input parameters)、「輸出參數(output parameters),也就是ISO/SPR的理念。

3.      運動方程式有了數學模型(mathematical model),要以理論解析方式探討,就要先推導「系統運動方程式(system equations of motion),參閱圖示可以得到是一個「偏微分方程式(partial differential equation, PDE),在這裡,沒有要解析此數學方程式,而是,概念性的說明,此樑結構的四種「振動分析」。

 

接下來,回顧一下「振動分析可以藉由4W的思考想一下「振動分析」:

 

1.      What is?甚麼是「振動分析」?

2.      Why to do?為什麼要進行「振動分析」?

3.      What to get/know?:進行「振動分析」可以得到/知道甚麼

4.      How to do?如何進行「振動分析」?

 

一個結構的「振動」「分析」,可以分為四種類型,從WHY to do?WHAT to get/know?分別說明如下:

 

1.      模態分析(modal analysis)WHY:瞭解結構的「振動模態(vibration mode)WHAT to get?:求得結構的「模態參數(modal parameters)

2.      簡諧響應分析(harmonic response analysis)WHY:瞭解結構系統的「頻譜響應」特性。WHAT to get? 求得結構的「頻率響應函數(frequency response function, FRF)

3.      暫態響應分析(transient response analysis)WHY:瞭解結構系統受到「外部激振」的系統「時間域響應」。WHAT to get?:求得結構系統如位移的「時間域響應」

4.      頻譜響應分析(spectrum response analysis)WHY:瞭解結構系統受到「隨機(random)的「外部激振」之系統「響應」。WHAT to get?:求得結構系統如位移的「頻率域響應」

 

1,是結構振動分析的步驟流程,會以另外一角度,來看如何進行多自由度系統」的四種「振動分析」。由1的流程圖,可以從兩個方向討論:

 

1.          振動理論分析由上而下的流程,是進行振動理論分析」的程序步驟,也就是本單元的討論重點。

2.          實驗模態分析由下而上的流程,則是進行實驗模態分析」的程序步驟,我們再另闢單元討論。

 

要進行一個結構的振動分析」,是有多個步驟程序,參閱1,在此取樑結構」以此程序步驟,進行探討:

 

1.      數學模型化(mathematical modeling):首先有「實際結構」,是一個「簡支樑(simple support beam)的實體結構(real structure)之示意圖,透過「數學模型化(mathematical modeling)的步驟,取得「物理域數學模型(physical mathematical model)。取樑的中性軸 (neutral axis),以線架構來簡化代表實體。圖示中,f(x,t)是作用在樑的外力函數,w(x,t)是樑的側向位移。

2.      推導運動方程式(derivation of equation of motion (EOM)):對此「簡支樑」的「數學模型」,可以得到是一個「偏微分方程式(partial differential equation, PDE)

3.      模態分析(modal analysis)主要在求得結構的「模態參數(modal parameters)。在此樑結構的「模態參數」為:(1)自然頻率」,ωr=2πfr,詳細的方程式,可參閱圖示,會和樑的密度( )、楊氏係數(E)、截面積(A)、截面積慣性矩(I)、長度(L)相關。其中,r 是指第 r 個模態,樑結構」是連續系統(continuous system),所以,振動模態(vibration modes)會有無窮多個。(2)模態振型」,在此樑結構」會是連續函數,以 表示,圖示有顯示「簡支樑」的前三個模態之模態振型」,分別是 (3)模態阻尼比」,ξr,通常在理論的「正交模態分析(normal mode analysis),是沒有考慮「阻尼」效應。若要取得「阻尼比」,一般需要透過實驗方式,如「實驗模態分析(experimental modal analysis, EMA)

4.      模態域數學模型(modal domain mathematical model):有了系統原始的「物理域系統方程式」,可以轉換為以「模態參數」表示的「模態域系統方程式」。在此,「模態域數學模型」是以「自然頻率」,ωr,「模態阻尼比」,ξr所表示的無窮多個獨立的單自由度系統」。值得注意的是,此模態域系統方程式」和「物理域系統方程式」所對應的「模態域數學模型」和「物理域數學模型」是等效的。

5.      簡諧響應分析(harmonic response analysis)主要在求得結構的「頻率響應函數(frequency response function, FRF),圖示以H(ω)代表,其物理意義是:結構受到「簡諧激振(harmonic excitation),其「外力振幅Fj,而系統的「穩態響應」也是「簡諧響應」,其「位移振幅Wi,所以Hij(ω)是輸出的「位移振幅Wi,除以輸入的「外力振幅FjHij(ω)=Wi/Fj,完整的表示式參閱圖示,可以觀察到是與「模態參數」的三個參數ωr ξr相關。參閱右方圖示,「外力振幅Fj,是作用在樑結構」的xj位置上的簡諧點力(harmonic point force),而Wi樑結構」的xj位置上的簡諧響應之位移振幅」。典型的樑結構」之頻率響應函數Hij(ω)的振幅圖,如圖示,其特性再另闢單元討論,不過,可以看到在「自然頻率」,ωr的頻率位置,會有高的峰值響應,這就是共振(resonance)的來源。

6.      暫態響應分析(transient response analysis)主要在求得結構系統如位移的「時間域響應」。當已知系統的外力f(x,t),以及樑結構」的初始位移」及「初始速度」。可以求得「輸出」是w(x,t),為樑結構的位移「時間域響應」。此分析是從「時間域」的角度,探討結構的暫態響應。可以求得「輸出」是 w(x,t),為樑在x位置的位移「時間域響應」。由圖示的w(x,t)方程式,可以看到是「模態座標(modal coordinate) qr(t),與「模態振型函數φr(x) 的線性組合(linear combination),此稱為「擴充原理(expansion theorem)

7.      頻譜響應分析(spectrum response analysis)當結構系統受到「隨機」的「外部激振」時,如圖示的「隨機外力f(x,t),若以前項的「暫態響應分析」方式求解「時間域響應」,雖然可行,但是不容易解析、也曠日廢時,所以會將「隨機外力f(x,t),進行FFT(快速傅立業轉換)甚麼是頻譜分析?】,求得「隨機外力」的「自身功率頻譜Gff(ω),透過「頻譜響應分析」方式求解之系統位移的「頻率域響應Gww(ω),也就是樑結構」的位移「功率頻譜密度函數」。對Gww(ω)取積分、開根號,可以求得位移的「平方平均根值(RMS, root mean square),相當於瞭解了結構的位移響應量值大小,可達到分析目的。

 

綜合本單元的討論,是從先前單元#170:【樑結構之振動分析有哪些?談起,是個別的看實際結構」、「數學模型」、及「系統方程式」,以及有四種「振動分析」:「模態分析」、「簡諧響應分析」、「暫態響應分析」、「頻譜響應分析」。而本單元的討論,則是將這些個別的分析工作事項(tasks),綜合歸納了系統化的結構振動分析步驟,以流程化的方式呈現及討論。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2020.08.11 

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圖1、結構振動分析步驟流程:樑結構

1、結構振動分析步驟流程:樑結構


圖2、樑結構之振動分析有哪些?
2、樑結構之振動分析有哪些?