這個單元要來探討的主題是：為什麼「模態分析」(Modal analysis)，不一定需要設定「阻尼」(damping)？
破題就以【4W】的思維，來探討一下「模態分析」(Modal analysis)：
1. What is? 甚麼是「模態分析」？
2. Why to do? 為什麼要進行「模態分析」？
3. What goals? 進行「模態分析」，要達到甚麼目標？
4. How to do? 如何進行「模態分析」？
首先，What is? 甚麼是「模態分析」？是4種振動分析類型(four types of vibration analysis)之一。先前單元，介紹過「振動分析」(vibration analysis)可以概分為4種振動分析類型，分別是：模態Modal、簡諧Harmonic、暫態Transient、頻譜Spectrum。
其次，Why to do? 為什麼要進行「模態分析」？目的在，瞭解結構的「振動模態」(vibration modes)。
其中，「結構/振動系統」(structure/vibration system)，參閱圖片的表格，可以概分為兩種：
1. 「離散系統」(Discrete system)：「離散系統」的主要特徵，質塊等物體，會是「剛體」(rigid body)的假設，通常會由彈簧、阻尼元件，連接組成。可以區分為：(1) 「單自由度系統」(SDOF system)，(2) 「多自由度系統」(MDOF system)。
2. 「連續系統」(Continuous system)：物體都是考慮為「彈性體」(elastic body)或「撓性體」(flexible body)的假設，也就是結構體是會變形的。可以區分如下：(1) 「線側向振動」(string lateral
vibration)，(2) 「柱軸向振動」(bar axial
vibration)，(3) 「軸扭轉振動」(shaft torsional
vibration)，(4) 「樑側向振動」(beam lateral
vibration)，(5) 「板側向振動」(plate lateral
vibration)，(6) 「任意結構三軸向振動」(arbitrary
structure in triaxial vibration)。
「模態分析」就是要瞭解以上各種結構系統的「振動模態」(vibration modes)。
接著，What goals? 進行「模態分析」，要達到甚麼目標？要瞭解結構系統的「振動模態」(vibration modes)，就是要得到系統的「模態參數」(Modal parameters)，包括：
1. 𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)。𝝎𝒓= 𝟐𝝅 𝒇𝒓。𝝎𝒓的單位：rad/sec。𝒇𝒓的單位：Hz。
2. 𝝓𝒓「模態振型」(mode shape)。在SDOF系統，沒有𝝓𝒓。在MDOF系統，𝝓𝒓是{𝝓𝒓}「模態振型向量」(mode shape vector)。在連續系統，𝝓𝒓是𝝓𝒓(𝒙)「模態振型函數」(mode shape function)
3. 𝝃𝒓「阻尼比」(damping ratio)。在SDOF系統，𝒓=
𝟏。在MDOF系統，𝒓=𝟏,𝟐,…𝑵。𝑵是自由度的數量。在連續系統，𝒓=𝟏,𝟐,…。會有無窮多組的「模態參數」。
需要注意的是，三個「模態參數」是成對出現的。也就是每一個「振動模態」，會有三個「模態參數」：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。
再來，How to do? 如何進行「模態分析」？可以區分兩種方法：
1. 「正交模態分析」(Normal Mode analysis)、或稱「實數模態分析」(Real Mode analysis)。
2. 「複數模態分析」(Complex Mode analysis)。
以「多自由度系統」(MDOF system)為例，參閱圖片左下方的「運動方程式」(equation of motion, EOM)。進行「正交模態分析」，係假設系統的「阻尼」(damping)是「比例阻尼」(proportional damping)，也就是「雷利阻尼」(Rayleigh damping)：[𝑪]
= 𝜶[𝑴] + 𝜷[𝑲]。其中，𝜶 和 𝜷
是任意常數。符合這個關係，就稱為「雷利阻尼」(Rayleigh damping)，也就「比例阻尼」系統。
所以，在「正交模態分析」，可以忽略[𝑪]「阻尼」(damping)效應。就可以得到「模態參數」：𝒇𝒓、{𝝓𝒓}。再由阻尼矩陣的比例關係，可以推導得到「阻尼比」(damping ratio)：𝝃𝒓 = 𝜶 / (𝟐 𝝎𝒓 ) + (𝜷 𝝎𝒓)/𝟐。
如果，[𝑪]
≠ 𝜶[𝑴]
+ 𝜷[𝑲]，也就是「非比例阻尼」(non-proportional
damping)，進行「模態分析」，不可以忽略[𝑪]，必須納入系統的[𝑪]「阻尼」(damping)效應，就是「複數模態分析」(Complex Mode analysis)。
在求解「非比例阻尼」(non-proportional damping)系統，其EOM「運動方程式」的矩陣「特徵值問題」(eigenvalue problem)，求得的𝝀𝒓「特徵值」(eigenvalue)與{𝝍𝒓 }「特徵向量」(eigenvector)，會是複數(complex number)。
可進而取得系統的「模態參數」：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。其中，𝝓𝒓是複數的「模態振型」(mode shape)。不同於「比例阻尼」(proportional damping)系統，𝝓𝒓是實數的「模態振型」(mode shape)。
回到這個單元討論的主題：為什麼「模態分析」(Modal analysis)，不一定需要設定「阻尼」(damping)？就看所欲進的是「正交模態分析」(Normal Mode analysis)、或「複數模態分析」(Complex Mode analysis)。
1.
「正交模態分析」(Normal Mode analysis) / 「實數模態分析」(Real Mode analysis)：適用在「比例阻尼」(proportional damping)系統，可以忽略[𝑪]，所以不需要設定「阻尼」(damping)，就可以進行「模態分析」，取得「模態參數」：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。其中，𝝓𝒓是實數的「模態振型」(mode shape)。
2.
「複數模態分析」(Complex Mode analysis)：適用在「非比例阻尼」(non-proportional damping)系統，不可以忽略[𝑪]，所以需要設定「阻尼」(damping)，才可以進行「模態分析」，取得「模態參數」：𝒇𝒓、𝝓𝒓、𝝃𝒓。其中，𝝓𝒓是複數的「模態振型」(mode shape)。
綜合這個單元的討論，總結如下：
1. 以【4W】的思維，破題探討「模態分析」(Modal analysis)：(1) What is? 甚麼是「模態分析」？。(2) Why to do? 為什麼要進行「模態分析」？。(3) What goals? 進行「模態分析」，要達到甚麼目標？。(4) How to do? 如何進行「模態分析」？。
2. 如何進行「模態分析」(Modal analysis)？可以區分兩種方法：(1) 「正交模態分析」(Normal Mode analysis)、或稱「實數模態分析」(Real Mode analysis)：適用在「比例阻尼」(proportional damping)系統，可以忽略[𝑪]，所以不需要設定「阻尼」(damping)。(2) 「複數模態分析」(Complex Mode analysis)：適用在「非比例阻尼」(non-proportional
damping)系統，不可以忽略[𝑪]，所以需要設定「阻尼」(damping)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
