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《振動噪音科普專欄》結構數學模型:「離散系統」和「連續系統」有甚麼區別?

這個單元要來探討的主題是:結構「數學模型」:「離散系統」和「連續系統」有甚麼區別?

 

對一個結構系統進行振動分析(vibration analysis),其中一個重要步驟就是建構結構系統的「數學模型(mathematical model),此步驟稱為「數學建模(mathematical modeling)

 

數學模型」可以概分為兩種:「離散系統(discrete system)和「連續系統(continuous system),這個單元就來探討兩者之間有甚麼差異?

 

首先,參閱圖示中間上方,假設有一個樑結構,放置在兩個彈簧上,彈簧的「彈簧常數(spring constant) 𝒌。當樑的上方有受到如圖示的一個負荷作用,如果,要對這個樑結構進行振動分析,就要對「實際結構(real structure),進行「數學建模」,以獲得結構的「數學模型」。

 

要建構「數學模型」,就要思考一下「實際結構」在受負荷的狀態與特性。

 

如果,彈簧的 𝒌值很小,也就是彈簧很軟,當樑結構受到負荷,其結構變形狀態,可以得到如圖示的左下方圖示,樑結構本身幾乎不會變形,而是呈現如接近「剛體(rigid body)的狀態,而有整體的偏移運動。

 

另外一個可能性,如果,彈簧的 𝒌值很大,也就是彈簧很硬,例如:樑結構厚度很薄,相對的彈簧就是很硬。此時,當樑結構受到負荷,樑結構的變形狀態,可以得到如圖示的右下方圖示,樑結構本身會呈現出變形狀態,此時的樑結構,就可視為是「撓性體(flexible body),或稱為「彈性體(elastic body)

 

由以上的討論,這個「實際結構」的樑結構,可以歸納、區別出兩種「數學模型」,說明如下:

 

1.      離散系統(discrete system):假設結構是「剛體(rigid body),所以,會是具有有限個自由度(finite” degree-of-freedom, DOF),其系統方程式是常微分方程式(ordinary differential equation, ODE)。如果是多自由度系統(MDOF system),就會是聯立的常微分方程組。典型的「離散系統」可以區分:單自由度系統(SDOF system)以及多自由度系統(MDOF system)

2.      連續系統(continuous system):假設結構是「撓性體(flexible body),或稱為「彈性體(elastic body),因為結構本身有連續的撓性變形狀態,所以會有無限多個自由度(infinite” degree-of-freedom, DOF),其系統方程式是偏微分方程式(partial differential equation, DDE)。例如:弦樂器的琴弦側向振動、結構柱的軸向振動、軸的扭轉振動、樑的側向振動、板殼的振動、甚至任意結構形狀的振動等,都是「連續系統」。

 

其次,分別舉例來區別一下「離散系統」和「連續系統」,說明如下:

 

1.      單自由度系統(SDOF system):參閱圖示中間下方,分析的是一個「單自由度系統」受到簡諧外力作用,可以觀察到質塊的振動響應動畫。此系統的「質塊」元件(mass element),就是假設為具有集中質量的「剛體」,所以,就是一個「離散系統」。

2.      樑結構系統(Beam structure system):參閱圖示右上方,是一個兩端固定的薄樑結構,此樑結構本身會有撓性變形,圖示觀察到的是,此樑結構的「振動模態(vibration modes),就是結構的「自然頻率(natural frequency)以及對應的「模態振型(mode shape),可以觀察結構是「撓性體」或稱為「彈性體」,所以,就是一個「連續系統」。

 

綜合一下這個單元的討論,統整幾個名詞如下:

 

1.      實際結構(real structure):就是所要分析的結構。

2.      數學模型(mathematical model):可以概分為「離散系統(discrete system)和「連續系統(continuous system)

3.      數學建模(mathematical modeling):透過適當的假設(assumption),獲得對應「實際結構」的「數學模型」。

4.      離散系統(discrete system):一種「數學模型」,假設結構是「剛體(rigid body),所以,會是具有有限個自由度(finite” degree-of-freedom, DOF)

5.      連續系統(continuous system):另一種「數學模型」,假設結構是「撓性體(flexible body),或稱為「彈性體(elastic body),所以會有無限多個自由度(infinite” degree-of-freedom, DOF)

 

實務上,「數學建模」也可以將「離散系統」和「連續系統」組合應用。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2023.03.21

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