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《振動噪音科普專欄》如何表示「位移」的振動量大小?



在先前的單元:【振動的大小如何表示呢?】,相信讀者已經有了初步的認知:「振動大小」可以由「位移振幅大小」來界定之。那麼實務上我們如何表示「位移」的振動量大小呢?

讀者可以回顧先前單元:【餘弦波(cosine wave)之數學意義、幾何意義、物理意義?】。在此就以餘弦波」的位移信號為例,說明如何表示其「位移」的「振動量」大小?

首先,參閱1以一個餘弦波」的位移信號為例,可以寫出以下的方程式:x(t)=Xcos(2πft-φ),或是=Xcos(ωt-φ) ,當寫出一個方程式,可以說這就是其「數學意義」,當然就要了解其中所有「變數(variable)代表的意義,其中:

1.          x(t),代表餘弦波」的位移x是時間t的函數,代表隨時間t變化的量值。
2.          X為此「餘弦波」位移的「振幅(amplitude),單位:m
3.          f為此「餘弦波」位移的「頻率(frequency),單位:Hz
4.          ω=2πf為此「餘弦波」位移的「圓周頻率(circular frequency),單位:rad/sec
5.          φ此「餘弦波」位移的「相位角(phase angle),單位:rad

同時,我們也可以畫出這個餘弦波」的時間域波形(time waveform),參閱1,可以了解各個參數在時間域波形的關係,也就是「幾何意義」。

1為「餘弦波」的幾何示意圖,水平軸為時間t,垂直軸為x(t),「餘弦波」x(t)呈現波動的特徵,可以觀察出幾個特性:

1.          餘弦波的振幅(amplitude)此波形的最大值為X,最小值為-X,原來方程式中的X,就是+/-之間的最大值及最小值,所以稱為餘弦波的振幅
2.          餘弦波的週期(period)圖示中,波峰到波峰的時間間距為T,因為有重複性的特徵,所以稱T週期
3.          餘弦波的頻率(frequency)再進一步探討,可以發現:f=1/T此餘弦波的「頻率f,會是週期T的倒數。
4.          餘弦波的相位角(phase angle)不同的相位角,則是會使得餘弦波最大值出現在不同的時間點,此時間差如圖示為φ/ω

由以上對餘弦波在時間域的圖示說明,可以看出波形的特徵,可以說就是此餘弦波幾何意義在此,我們假設x(t)位移」的信號,所以這個「餘弦波」的「物理意義」就是「位移」了。

回顧了餘弦波」的「數學意義」、「幾何意義」及「物理意義」,接著參閱2來探討:如何表示「位移」的振動量大小呢?

參閱2如前述,「餘弦波」的「位移」信號為x(t)=Xcos(2πft-φ),表達「位移」的振動量大小有幾種方式:

1.      峰值(peak)Xpeak=X
2.      波峰至波峰值(peak-to-peak)Xp-p=X
3.      平方平均根值 (root mean square, RMS)Xrms=X/sqrt(2)=0.707X
4.      平均值(averaged)Xavg=0

以上4「位移」振動量值的表示方式,peak peak-to-peak的定義很直觀,只要了解「餘弦波」的定義,就能理解。

如何求得Xrms呢?先對信號取平方、再取平均、再開根號,所以稱為「平方平均根值」,或可簡稱「方均根值」,不宜稱為「均方根值」,因為對信號處理的次序不正確了。

在此需注意:Xrms=X/sqrt(2)=0.707X,僅適用於正弦波」及「餘弦波」單一頻率的信號,如果是任意的隨機信號,必須對實際的信號:取平方、再取平均、再開根號,才能正確取得Xrms平方平均根值」。

由於振動信號,不管是「位移」、「速度」、「加速度」,其「平均值」大都為零,所以,幾乎不以「平均值」當作振動的大小量值。這也間接說明,以Xrms平方平均根值」為「振動量值」的潛在意義!

綜合來說,表達一個結構的「振動量」,也就是「振動大小」的方式:

1.      選擇適當的「物理量」:可以取「位移」、「速度」或「加速度」。三者之間有微分、積分關係,可參閱單元:【位移、速度、加速度之關係與轉換
2.      選擇適當的「量值」:此「量值」包括:(1)peak(2)peak-to-peak、以及(3)RMS值。在「位移」時,除了RMS值,peak-to-peak也是常用的「量值」。在「速度」或「加速度」則多以RMS值表達,也有以peak表示。總之,仍須注意標示的「量值」形式。

本單元探討了表達振動大小振動量」時,要注意選用的「物理量」,以及所選用的「量值」。

在實務上,例如:機器「振動量」的驗收標準,就要明確的敘明是哪一個「物理量」。如果是「位移」,就要確認是哪一個「量值」:XpeakXp-p、或是Xrms,否則將會引起爭議,因為3種「量值」的差異是:X2X、或是0.707X

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2020.02.08

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1、餘弦波(cosine wave)之數學意義、幾何意義、物理意義?


2、如何表示「位移」的振動量大小?