這個單元要來探討的主題是：如何應用ASTM E 756的理念，求得一個結構材料的「動態剛性」(dynamic stiffness)與「阻尼」(damping)？
材料的「動態剛性」(dynamic stiffness)，也可以說是「動態模數」(dynamic modulus)。其中，「動態」是指以振動方法取得的「模數」(modulus)。實際上，「模數」就是「彈性模數」(elastic modulus)、或稱「楊氏係數」(Young’s modulus)。
材料的「阻尼」(damping)特性，最常見的評估指標是：「阻尼比」(damping ratio)或「散失因子」/「損耗因數」(loss factor)。
首先，參閱圖片左上方圖示，摘錄自先前單元：#400，【甚麼是動態模數(dynamic modulus)？和靜態模數(static modulus)有甚麼不同嗎？】，其中，介紹了ASTM E 756的試驗規範。
ASTM E 756是怎樣的標準或規範呢？英文名稱：Standard Test Method
for Measuring Vibration-Damping Properties of Materials。中文名稱：量測材料振動阻尼特性的標準測試方法。
參閱圖片左上方圖示，是摘錄自ASTM E 756，採用均勻懸臂薄樑(uniform
cantilever beam)試體的示意圖。ASTM
E 756係以振動方法量測材料的「動態模數」(dynamic modulus)以及材料阻尼特性的「阻尼比」(damping ratio)或「散失因子」/「損耗因數」(loss factor)。
ASTM E 756的基本理念，參閱圖片左上方圖示，簡要說明如下：
1. 求得材料的「動態模數」(dynamic modulus) = 𝑬：必須以振動方法量測均勻懸臂薄樑(uniform
cantilever beam)試體的結構「自然頻率」(natural frequency) 𝑓𝑟。在已知樑的幾何尺寸(𝑳, 𝑯)、密度(𝝆)、以及模態常數(𝑪𝒓)，即可推算得到𝑬。
2. 求得材料阻尼特性的「阻尼比」(damping ratio) = 𝝃、或「散失因子」/「損耗因數」(loss factor) = 𝜼：會採用「半能量點法」(Half Power Point method)，可參考先前單元：#389，【如何求得阻尼比(damping ratio)？ – 頻率域：半能量點法(Half
Power Point)】，即可求得𝝃 以及𝜼。
再詳細的來看，應用ASTM E 756的主要試驗步驟，概述如下：
1. 量測懸臂樑結構頻率響應函數(frequency response function, FRF) = 𝑯(𝒇)：透過簡易的實驗模態分析(experimental modal analysis, EMA)，以衝擊鎚(impact hammer)敲擊樑結構，可得到外力頻譜𝑭(𝒇)。另外，以加速度規(accelerometer)量測樑結構的加速度響應頻譜𝑨(𝒇)。再進行信號處理(signal processing)，可以得到系統的FRF
= 𝑯(𝒇) = 𝑨(𝒇) /
𝑭(𝒇)。
2. 取得每個振動模態的自然頻率(natural frequency) = 𝒇𝒓：參閱圖示是一個振動模態的𝑯(𝒇)示意圖，繪製得到|𝐻(𝑓)|，即FRF的振幅圖。由FRF曲線|𝐻(𝑓)|的峰值(peak)，對應得到的頻率，就會是系統的自然頻率(natural
frequency) 𝑓𝑟。𝑓𝑟是指第𝒓個自然頻率。
3. 推算動態楊氏係數(dynamic Young’s modulus) = 𝑬：參閱圖片的方程式：𝑬 =
(𝟏𝟐𝝆𝑳^𝟒 𝒇𝒓^𝟐)/(𝑯^𝟐 𝑪𝒓^𝟐 )。其中，𝝆
是試體材料的密度，單位：kg/m^3。𝑳 和 𝑯 分別是懸臂樑的長度和厚度，單位：m。𝒇𝒓是懸臂樑第𝒓個自然頻率。𝑪𝒓是懸臂樑的第𝒓個模態係數，圖中，顯示了前5個模態的 𝑪𝒓 值。由於結構系統有多振動模態，每個𝒇𝒓，可得到對應的𝑬𝒓。因此，可取其平均值(mean value)，推算「動態模數」(dynamic modulus) = 𝑬= (∑𝑬𝒓
)/𝑵。
4. 以半能量點法(Half Power Point
method)，取得「阻尼比」(damping ratio) = 𝝃：𝝃 ≅
(𝒇𝒃−𝒇𝒂)/(𝟐𝒇𝒓 ) = 𝜟𝒇/(𝟐𝒇𝒓 )。其中，𝒇𝒂
和 𝒇𝒃頻率值：由半能量點=𝑸/√𝟐，與|𝑯(𝒇)|曲線交叉的位置，會有兩個交叉點，此兩個交叉點的頻率值，分別就是𝒇𝒂
和 𝒇𝒃。𝜟𝒇=(𝒇𝒃−𝒇𝒂)。由於結構系統有多振動模態，每個𝒇𝒓，可得到對應的𝝃𝒓。因此，可取其平均值(mean value)，推算「黏滯阻尼比」(viscous damping
ratio)= 𝝃
= (∑𝝃𝒓
)/𝑵。再取得「損耗因數」(loss factor) = 𝜼。由已知：𝜼 = 𝟐 𝝃=
𝜟𝒇/𝒇𝒓。
以上的步驟程序，係依照ASTM E 756的規範，必須製作如圖示的均勻懸臂薄樑(uniform cantilever beam)試體。思考的問題，如果有如圖片中間圖示的響鈴板結構，可以應用ASTM E 756的理念，來求得此響鈴板結構的材料「動態模數」(dynamic modulus)以及「阻尼比」(damping ratio)嗎？
是的，可以的！參閱圖片右下方的流程圖是：應用FEA與EMA於結構之模型驗證。基本上，就是應用ASTM E 756的理念。以下說明「模型驗證」(model verification, MV)的步驟流程：
1. 進行「有限元素分析」(finite element
analysis, FEA)：建構響鈴板結構的FEA模型。進行「模態分析」(modal analysis)，可得到理論的「模態參數」(modal parameter)，包括：「自然頻率」(natural frequency) 𝑓𝑟，「模態振型」(mode shape) 𝝓𝒓，「模態阻尼比」(damping ratio) 𝝃𝒓。也可進行「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)，可得到理論的「頻率響應函數」(frequency response function, FRF) = 𝑯𝒊𝒋
(𝒇)=𝑨𝒊 (𝒇)/𝑭𝒋 (𝒇)。
2. 進行「實驗模態分析」(experimental modal
analysis, EMA)：對響鈴板，以衝擊鎚(impact hammer)敲擊樑結構，可得到外力頻譜𝑭𝒋 (𝒇)。另外，以加速度規(accelerometer)量測樑結構的加速度響應頻譜𝑨𝒊 (𝒇)。再進行信號處理(signal processing)，可以得到系統的FRF
= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)=𝑨𝒊 (𝒇)/𝑭𝒋 (𝒇)。再進行「曲線嵌合」(curve fitting)，可以擷取到實驗的「模態參數」(modal parameter)：𝑓𝑟，𝝓𝒓，𝝃𝒓。
3. 比較理論與實驗的「模態參數」(modal parameter)：讓理論分析與實驗量測的「自然頻率」(natural frequency) 𝑓𝑟相等，即可完成MV「模型驗證」。如果，不相符，則需要進行「模型更新」(model updating)，調整材料參數，如材料的密度(density) 𝝆、楊氏係數(Young’s modulus) 𝑬、普松比(Poisson ratio) 𝝂，直到使得理論分析與實驗量測的「自然頻率」(natural frequency) 𝑓𝑟 相等。
響鈴板結構的MV「模型驗證」結果，參閱圖片右上方的表格：響鈴板結構FEA與EMA之自然頻率及模態阻尼比，以及圖示：響鈴板結構FEA與EMA之FRF及對應之模態振型。重點說明如下：
1. 「自然頻率」(natural
frequency) 𝑓𝑟 比較：以EMA實驗數據為基準，FEA的𝑓𝑟 誤差，平均值
AVG = 2.69 %，RMS值
= 2.95 %。而且，前三個模態的𝑓𝑟 誤差，在+/- 2%以內。隱含的意義，在FEA所設定的材料參數，包括：𝝆、𝑬、𝝂，與實際結構的振動模態特性相符。
2. 「模態阻尼比」(damping ratio) 𝝃𝒓：需注意，結構的𝝃𝒓，只可以由實驗方法取得，再帶入分析模型，進行FEA。可觀察EMA取得的𝝃𝒓，平均值 AVG = 0.13 %，RMS值 = 0.16 %。
3. 「頻率響應函數」(frequency response function, FRF) = 𝑯𝒊𝒋
(𝒇)=𝑨𝒊 (𝒇)/𝑭𝒋 (𝒇)：FEA和EMA的比較，整體趨勢對應一致，在前三個峰值頻率的對應非常吻合，代表𝑓𝑟有良好的對應。𝑯𝒊𝒋(𝒇) 在峰值的量值大小以及尖銳度相當一致，代表𝝃𝒓有良好的對應。
4. 「模態振型」(mode shape) 𝝓𝒓：FRF曲線上，每個峰值對應的頻率就是𝑓𝑟。而其對應的𝝓𝒓，在FEA與EMA都有一致性的物理意義。
綜合以上的FRF= 𝑯𝒊𝒋
(𝒇)以及模態參數：𝑓𝑟、𝝓𝒓、𝝃𝒓，在FEA和EMA的比較，相當吻合，所以，MV「模型驗證」是成功的。因此，可以明確地取得了響鈴板結構的楊氏係數(Young’s modulus) 𝑬、以及「模態阻尼比」(damping ratio) 𝝃𝒓，也就是明確的結構材料參數。
針對這個單元討論的主題：如何應用ASTM E 756的理念，求得一個結構材料的「動態剛性」(dynamic stiffness)與「阻尼」(damping)？總結如下：
1. 介紹了應用ASTM E 756的基本理念，以及實務的試驗步驟：以振動方法可量測材料的「動態模數」(dynamic modulus)以及材料阻尼特性的「阻尼比」(damping ratio)或「散失因子」/「損耗因數」(loss factor)。
2. 以一個特殊形狀的響鈴板結構，說明【應用FEA與EMA於結構之模型驗證】的流程步驟：透過FEA理論分析與EMA實驗量測的「自然頻率」(natural frequency) 𝑓𝑟，兩兩比較相符合，即可完成MV「模型驗證」。可以明確地取得了響鈴板結構的楊氏係數(Young’s modulus) 𝑬、以及「模態阻尼比」(damping ratio) 𝝃𝒓，也就是明確的結構材料參數。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
