《振動噪音科普專欄》甚麼是庫倫阻尼(Coulomb Damping)？

上午9:00    No comments

這個單元要來探討的主題是：甚麼是「庫倫阻尼」(Coulomb Damping)？這是「庫倫阻尼」系列的第1篇。

 

首先，從破題的角度來看，可以拆解成3個名詞：

 

1.      「阻尼」(Damping)

2.      「庫倫摩擦」(Coulomb Friction)

3.      「庫倫阻尼」(Coulomb Damping)

 

甚麼是「阻尼」(damping)？可參考先前單元：#116，【什麼是「阻尼」(damping)？】，簡單的說：「阻尼」(damping)是一種消耗能量的機制。一般材料本身都有「阻尼效應」。從「微觀」角度來說，可以想像一個材料構件，因為結構體的變形，使得材料分子之間有摩擦，而產生摩擦的能量損失，即為「阻尼效應」。

 

參閱圖示右上方的引述，由mck「質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」來看，特別是以「黏滯阻尼係數」𝒄，可以解讀(A)、(B)、(C)三種振盪狀態的差異：

 

1.          (A)狀態，彈簧無阻尼效應，𝒄=0：實務上，彈簧材料都會有「阻尼效應」，𝒄 =0，是數學分析上的假設，可以理解無阻尼時，質塊的振盪現象，是永無止境的來回振盪。

2.          (B)狀態，彈簧有阻尼，𝒄較小：實務上，由於彈簧材料有「阻尼效應」，當𝒄 值小時，阻尼效應小，所以，質塊來回振盪的振幅衰減效應，比較慢。

3.          (C)狀態，彈簧有阻尼，𝒄較大：當彈簧材料的「阻尼效應」大，也就是𝒄 值較大時，阻尼效應較大，所以，質塊來回振盪的振幅衰減效應，就相對比較快。

 

由圖示「無阻尼」、「阻尼小」、及「阻尼大」的質塊位移𝒙(𝒕)時間域波形，可以看出質塊來回振盪之位移振幅的不同衰減效應。

 

其次，甚麼是「庫倫摩擦」(Coulomb Friction)？參閱圖示右邊中間的「庫倫摩擦」示意圖，在靜力學課程有摩擦的單元，如圖示有一個質塊𝒎，和地面有滑動的接觸，質塊和地面之間，會有「摩擦係數」(Friction coefficient) 𝝁。

 

當以外力𝑭 拖拉這個質塊，令外力𝑭逐漸增大，當𝑭> 𝑭𝒔=𝝁𝒔*𝑵，質塊會開始移動，其中，𝑭𝒔 為「摩擦力」(frictional force)，𝝁𝒔為「靜摩擦係數」(kinetic friction coefficient)，𝑵=𝒎𝒈是作用於地面的法向力，𝒈是重力加速度，𝒈=9.81 m/s^2。當質塊開始移動後，外力𝑭會略為下降，以穩定的𝑭𝒔=𝝁𝒌*𝑵即可拖動質塊的運動，其中，𝝁𝒌為「動摩擦係數」(kinetic friction coefficient)。

 

在此，由於討論的是質塊的動態振動行為，所以，在「庫倫阻尼」系列單元所討論的「摩擦係數」，會是「動摩擦係數」，也就是𝝁= 𝝁𝒌。

接下來，甚麼是「庫倫阻尼」(Coulomb Damping)？簡單說：由摩擦所產生的阻尼效應，也就是會有「阻尼」(damping)的消耗能量機制。在此，就以外力激振的單自由度系統，分別介紹以下三種「阻尼」狀態，讀者可參考先前單元：#149，【甚麼是「外力激振」的「單自由度系統」？】：

 

1.      「無阻尼」(undamped)：如左下方第一個圖示，系統只有質塊𝒎和彈簧的彈簧常數𝒌。而且此質塊與地面是無磨擦的自由滑動狀態。

2.      「黏滯阻尼」(viscous Damping)：如左下方第二個圖示，和系統「無阻尼」相比較，除了質塊𝒎和彈簧的彈簧常數𝒌外，還有黏滯阻尼係數𝒄。就如先前單元：#116的說明。

3.      「庫倫阻尼」(Coulomb Damping)：如左下方第三個圖示，不同於「無阻尼」圖示的質塊與地面是無摩擦的自由滑動狀態，此系統具有「庫倫摩擦」的效應，質塊和地面之間，會有「摩擦係數」𝝁。

 

以上三種系統，可以寫出運動方程式的通式：𝒎𝒂+𝒄𝒗+𝒌𝒙=𝒇(𝒕)+ 𝑭𝒔 (𝒕)，讀者可參閱圖示，有明確的表示式。由於運動方程式是二階的常微分方程式，所以，需要兩個「初始條件」(initial condition, IC)，分別是「初始位移」X0及「初始速度」V0。【備註：比較明確的數學方程式，請讀者參考圖示，在文字說明，受限於方程式編寫，分別以𝒙、𝒗、𝒂，代表位移、速度、加速度。】

 

運動方程式和先前單元：#149比較，多出了「摩擦力」(frictional force) 𝑭𝒔 (𝒕)，當速度為正值 𝒗 >𝟎，𝑭𝒔 (𝒕)= −𝝁𝒎𝒈，當速度為負值 𝒗 <𝟎，𝑭𝒔 (𝒕)= 𝝁𝒎𝒈，而速度為零 𝒗 =𝟎，𝑭𝒔 (𝒕)= 0。

 

綜合一下這個單元的討論：

 

1.      「阻尼」(Damping)：是一種消耗能量的機制。

2.      「庫倫摩擦」(Coulomb Friction)：說明了「靜摩擦係數」𝝁𝒔和「動摩擦係數」𝝁𝒌的概念。在討論「庫倫阻尼」的振動效應，「摩擦係數」，會是「動摩擦係數」，也就是𝝁= 𝝁𝒌。

3.      「庫倫阻尼」(Coulomb Damping)：由摩擦所產生的阻尼效應，也就是會有「阻尼」(damping)的消耗能量機制。

4.      外力激振單自由度系統的三種阻尼狀態，包括：「無阻尼」(undamped)、「黏滯阻尼」(viscous Damping)和「庫倫阻尼」(Coulomb Damping)。

5.      具「庫倫阻尼」的外力激振單自由度系統：此系統除了質塊𝒎和彈簧的彈簧常數𝒌外，具有「庫倫摩擦」的效應，質塊和地面之間，會有「摩擦係數」𝝁。

6.      「摩擦力」(frictional force) 𝑭𝒔 (𝒕)的特徵：當速度為正值 𝒗 >𝟎，𝑭𝒔 (𝒕)= −𝝁𝒎𝒈，當速度為負值 𝒗 <𝟎，𝑭𝒔 (𝒕)= 𝝁𝒎𝒈，而速度為零 𝒗 =𝟎，𝑭𝒔 (𝒕)= 0。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2022.08.26









 

0 意見:

張貼留言