這個單元是「響鈴板」系列的第6篇，要來看的主題是：「響鈴板」打擊聲音和「振動模態」有甚麼關聯性？
由單元主題，來解剖其關鍵詞，包括：「響鈴板」、打擊聲音、「振動模態」、關聯性？
首先，由破題來看，甚麼是「響鈴板」(bell plate)？可以參考圖示上方右三的照片，來自2003年的論文：Lavan, D., Hogg, S. and Wolfe, J., “Why
do bell plate ring?,” Acoustics Australia, 31, No. 2–1, (2003)。「響鈴板」有握柄，當搖晃握柄，會帶動打擊槌敲擊在「響鈴板」上，進而發出「響鈴板」的敲擊聲音。
同時，參閱圖示上方右二及右一的照片，分別是已經完成設計製作的「響鈴板」之「有限元素分析模型」，以及「C6響鈴板」的實體結構照片。
前一個單元：#246，【如何解讀響鈴板打擊聲音的特徵？】，已經探討了「C6響鈴板」的打擊聲音特徵。C6音階就是Do，C6音階的標準頻率 C6 = 1046.5 Hz。
針對「C6響鈴板」打擊聲音信號，進行「頻譜分析」(spectral analysis)，可以得到聲音頻譜」，可看到有3個「峰值頻率」，分別是1049 Hz、2060 Hz及3721
Hz，也就是「C6響鈴板」主要的「發聲頻率」。同時可以區別出「基音頻率」(fundamental frequency)和「泛音頻率」(overtone frequencies)：
1. 「基音頻率」(fundamental frequency)：在「聲音頻譜圖」中的第一個「峰值頻率」就是「基音頻率」，由圖中可知，f2=1049 Hz，其中，f2是指第二個「自然頻率」，此頻率與「音階標準頻率」C6=1046.5 Hz，很相近，所以此「基音頻率」對應的就是Do音階的「音階頻率」(pitch frequency)，因此可知，這個打擊樂器的「音準」(pitch)是正確的。
2. 「泛音頻率」(overtone frequencies)：除了第一個「峰值頻率」稱為「基音頻率」之外，其他的「峰值頻率」都稱為「泛音頻率」，就是這個「C6響鈴板」的「音色」(tone color, tonality)。在此，有f4=2060 Hz及f7=3721 Hz，分別是第2個及第3個「峰值頻率」。
這個單元要討論的是：「響鈴板」打擊聲音和「振動模態」有甚麼關聯性？那麼又需要知道甚麼是「振動模態」？先前單元：#245，【如何解讀響鈴板的振動模態？】，已經探討了「C6響鈴板」的「振動模態」。
「振動模態」包括3個重要的「模態參數」(modal parameters)：
1.
「自然頻率」(natural frequency)
2.
「模態振型」(mode shape)
3.
「模態阻尼比」(modal damping ratio)
可以透過FEA分析或EMA實驗方式，取得結構的「振動模態」或「模態參數」，也就是：FEA「有限元素分析」(finite element analysis)或EMA「實驗模態分析」(experimental modal analysis)。
FEA的「理論模態分析」(theoretical modal analysis, TMA)，採用的是「實數模態分析」(real mode analysis)，所以，只可以得到「響鈴板」的「自然頻率」和「模態振型」。
而，EMA除了可以得到「響鈴板」的「自然頻率」和「模態振型」，更重要的是，可以得到每個「振動模態」的「模態阻尼比」。「模態阻尼比」會和材料相關，在此「響鈴板」是以304不鏽鋼製作而成，其「阻尼比」是比較小的，也就是「阻尼效應」小，這會使得打擊聲音的「衰減率」小，聲音的持續度就越久。
這個單元要討論的是：「響鈴板」打擊聲音和「振動模態」有甚麼關聯性？
由主要的「發聲頻率」，分別是1049 Hz、2060 Hz及3721 Hz，和「C6響鈴板」的「自然頻率」相比較，分別是：f2、f4及f7，也就是對應EMA的E2、E4及E7，三個「振動模態」。
為什麼只有E2、E4及E7，這三個「振動模態」會發出聲音呢？就要瞭解「響鈴板」敲擊的位置，如圖示，「敲擊點」是在左右兩側對稱的中心線上，而上下位置大約在1/4處。同時，也需要瞭解「響鈴板」的「振動模態」之「模態振型」特徵。
「響鈴板」打擊聲音和「振動模態」的關聯性說明如下：
1.
當「敲擊點」位置，剛好是在「模態振型」的「節線」上，也就是「節點」，就不會激發出該「振動模態」的「自然頻率」。
2.
當「敲擊點」是在「模態振型」的非「節點」位置，就會激發出該「振動模態」的「自然頻率」，就是所聽到的「發聲頻率」。
3.
如左側圖示，可以觀察到三個「發聲頻率」對應的「振動模態」分別是：E2、E4及E7，其「模態振型」物理意義：(x,y)= (3,1)，(x,y)=
(1,4)，(x,y)= (3,4)，「敲擊點」都不是在「模態振型」的「節點」位置，所以，敲擊時只會激發出這幾個「振動模態」所對應的「自然頻率」。
總結一下這個單元的討論，綜合如下：
1.
「C6響鈴板」打擊聲音：主要的「發聲頻率」，分別是1049 Hz、2060 Hz及3721
Hz，可以區別出「基音頻率」(fundamental frequency)和「泛音頻率」(overtone frequencies)。
2.
「發聲頻率」會對應於「C6響鈴板」的「自然頻率」：但是，不是所有的「自然頻率」都會被激發出來，取決於實際的「敲擊點」位置。
3.
「敲擊點」位置：不是在「模態振型」的「節點」位置時，此「振動模態」所對應的「自然頻率」才會被激發出來，就是「發聲頻率」。
4.
「模態阻尼比」：會和材料相關，「阻尼比」越小，也就是「阻尼效應」越小，這會使得打擊聲音的「衰減率」小，聲音的持續度就越久。
從以上的討論可知，「響鈴板」的打擊聲音和其「振動模態」，也就是「自然頻率」、「模態振型」以及「模態阻尼比」，有很大的關聯性，而且有具體的對應關係。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2021.12.07
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