《振動噪音科普專欄》頻率響應函數有哪些種類(Types of FRFs)?

 

這個單元要來探討的主題是:頻率響應函數(frequency response function, FRF)有哪些種類(Types of FRFs)

 

甚麼是頻率響應函數(frequency response function, FRF),就是常說的FRF。為什麼要探討FRF這個主題呢?因為頻率響應函數是個通稱,其實有很多種形式,這個單元就綜合性的介紹,有哪些種類的FRF頻率響應函數

 

FRF頻率響應函數」的基本定義:𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭輸出𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭輸入。除了說明 𝐅𝐑𝐅 的表示式外,也會定義說明其英文、中文名稱、SI制單位、以及關係式。

 

首先來看第一個群組,最常見的𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入,就是(force),以變數𝑭𝒋表示,其中,𝒋 代表了的位置與方向。

 

而典型的𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出,會有位移(displacement)速度(velocity)加速度(acceleration),分別以變數𝑿𝒊𝑽𝒊𝑨𝒊 表示,其中,𝒊 代表了其位置與方向。

 

如前述的FRF頻率響應函數」的基本定義,參閱圖示,第一個群組的FRF頻率響應函數」,分別說明如下:

 

1.      Receptance位移率」:變數符號定義:𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑿𝒊/𝑭𝒋,因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出𝑿𝒊 位移𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入𝑭𝒋 ,所以SI制單位:𝐦/𝐍

2.      Mobility移動率」:變數符號定義:𝒀𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑽𝒊/𝑭𝒋,因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出𝑽𝒊 速度𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入𝑭𝒋 ,所以SI制單位:(𝐦𝐬)/𝐍

3.      Accelerance加速率」:變數符號定義:𝑨𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊/𝑭𝒋,因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出𝑨𝒊 加速度𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入𝑭𝒋 ,所以SI制單位:(𝐦𝐬^𝟐)/𝐍,或是 𝐠/𝐍,其中,1 𝐠 =9.807 𝐦𝐬^𝟐

 

FRF頻率響應函數」的頻率,表示方式,有兩種,一則以 𝝎 表示,單位為rad/sec,一則以𝒇 表示,單位為Hz。兩者之間的關係:𝝎=𝟐𝝅𝒇,因為,旋轉一圈的弳度是𝟐𝝅

 

第一個群組的三種FRF頻率響應函數」:𝑯𝒊𝒋 (𝒇)位移率」、𝒀𝒊𝒋 (𝒇)移動率」、𝑨𝒊𝒋 (𝒇)加速率」,有明確的轉換關係,倆倆之間相差了 (𝒊𝝎) 的倍數,各個FRF之間的關係式,彙整如下:

 

1.      𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝒀𝒊𝒋 (𝒇)/(𝒊𝝎) = 𝑨𝒊𝒋 (𝒇)/(𝒊𝝎)^𝟐

2.      𝒀𝒊𝒋 (𝒇) = (𝒊𝝎)𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊𝒋 (𝒇)/(𝒊𝝎)

3.      𝑨𝒊𝒋 (𝒇) = (𝒊𝝎)^𝟐 𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = (𝒊𝝎) 𝒀𝒊𝒋 (𝒇)

 

會有以上的關係式,是因為:𝑽𝒊 = (𝒊𝝎) 𝑿𝒊𝑨𝒊 = (𝒊𝝎) 𝑽𝒊,所以,𝑨𝒊 = (𝒊𝝎)^𝟐 𝑿𝒊,其他的倒數關係,可餘此類推。

 

其次來看第二個群組,最常見的𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入(force),在這個群組,(force)反而是𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出。而𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入分別是:𝑿𝒊 位移𝑽𝒊 速度𝑨𝒊 加速度,參閱圖示,第二個群組的FRF頻率響應函數」,分別說明如下:

 

1.      Dynamic Stiffness動剛性」或「動態勁度」:變數符號定義:𝑲𝒋𝒊 (𝒇) = 𝑭𝒋/ 𝑿𝒊,因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出𝑭𝒋 𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入𝑿𝒊 位移,所以SI制單位:𝐍/𝐦

2.      Mechanical Impedance機械阻抗」:變數符號定義:𝑰𝒋𝒊 (𝒇) = 𝑭𝒋/ 𝑽𝒊,因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出𝑭𝒋 𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入𝑽𝒊 速度,所以SI制單位: 𝐍/(𝐦⁄𝐬)

3.      Dynamic Mass動態質量」:變數符號定義:𝑴𝒋𝒊 (𝒇) = 𝑭𝒋/ 𝑨𝒊,因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出𝑭𝒋 𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入𝑨𝒊 加速度,所以SI制單位:𝐍/(𝐦𝐬^𝟐 ) = 𝐊𝐠

 

可以發現第二個群組的三個FRF頻率響應函數」,和第一個群組三個FRF,是互為倒數關係,可以寫出其關係式如下:𝑲𝒋𝒊 (𝒇) = 1/ 𝑯𝒊𝒋 (𝒇)𝑰𝒋𝒊 (𝒇) = 1/ 𝒀𝒊𝒋 (𝒇)𝑴𝒋𝒊 (𝒇) = 1/ 𝑨𝒊𝒋 (𝒇)

 

在此注意一下,共有6FRF頻率響應函數」,其變數符號的選用,各有其物理意義,分別是:𝑯𝒊𝒋 (𝒇)𝒀𝒊𝒋 (𝒇)𝑨𝒊𝒋 (𝒇)𝑲𝒋𝒊 (𝒇)𝑰𝒋𝒊 (𝒇)𝑴𝒋𝒊 (𝒇)

 

接下來,再看第三個群組,其𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出 𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入,都是相同的物理量。𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出,分別是,𝑿𝒊 位移𝑽𝒊 速度𝑨𝒊 加速度。而𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入分別是,𝑿𝒋 位移𝑽𝒋 速度𝑨𝒋 加速度。在此須注意,𝒊 代表了𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出的方向與位置,而𝒋 代表了𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入的方向與位置。

 

第三個群組的FRF頻率響應函數」,參閱圖示,分別說明如下:

 

1.      Displacement Transmissibility位移傳輸比」:變數符號定義:𝑻_𝑿,𝒊𝒋(𝒇) = 𝑿𝒊 / 𝑿𝒋,因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出𝑿𝒊 位移𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入𝑿𝒋 位移,所以SI制單位:𝐦/𝐦

2.      Velocity Transmissibility速度傳輸比」:變數符號定義:𝑻_𝑽,𝒊𝒋(𝒇) = 𝑽𝒊 / 𝑽𝒋,因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出𝑽𝒊 速度𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入𝑽𝒋 速度,所以SI制單位:(𝐦𝐬 )/ (𝐦𝐬 )

3.      Acceleration Transmissibility加速度傳輸比」:變數符號定義:𝑻_𝑨,𝒊𝒋(𝒇) = 𝑨𝒊 / 𝑨𝒋,因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出𝑨𝒊 加速度𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入𝑨𝒋 加速度,所以SI制單位:(𝐦𝐬^𝟐 )/ (𝐦𝐬^𝟐 ),或是 𝐠/𝐠

 

三種類型的Transmissibility傳輸比」,如果是相同的 𝒊 𝒋 的方向與位置,則三者的關係是完全想同:𝑻_𝑿,𝒊𝒋(𝒇) = 𝑻_𝑽,𝒊𝒋(𝒇) = 𝑻_𝑨,𝒊𝒋(𝒇)Transmissibility傳輸比」常用來作為隔振設計的評估指標。

 

最後一個FRF頻率響應函數」,同樣是Transmissibility傳輸比」的概念,𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出 𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入,都是相同的物理量,分別是𝑭𝒊 ,以及𝑭𝒋 ,可以得到第4Transmissibility傳輸比

 

4.      Force Transmissibility力傳輸比」:變數符號定義:𝑻_𝑭,𝒊𝒋(𝒇) = 𝑭𝒊 / 𝑭𝒋,因為𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出𝑿𝒊 位移𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入𝑿𝒋 位移,所以SI制單位:𝐍 / 𝐍

 

綜合一下這個單元的討論,「頻率響應函數(frequency response function, FRF) 有哪些種類(Types of FRFs)?總結如下:

 

1.      FRF頻率響應函數」的基本定義:𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭輸出𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭輸入

2.      第一個群組,𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入都是𝑭𝒋 𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出分別是:𝑿𝒊 位移𝑽𝒊 速度𝑨𝒊 加速度,其FRF分別是:(1) 𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑿𝒊/𝑭𝒋Receptance位移率」。(2) 𝒀𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑽𝒊/𝑭𝒋Mobility移動率」。(3) 𝑨𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊/𝑭𝒋Accelerance加速率」。

3.      第二個群組,𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出都是𝑭𝒋 𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入分別是:𝑿𝒊 位移𝑽𝒊 速度𝑨𝒊 加速度,其FRF分別是:(1) 𝑲𝒋𝒊 (𝒇) = 𝑭𝒋/ 𝑿𝒊Dynamic Stiffness動剛性」或「動態勁度」。(2) 𝑰𝒋𝒊 (𝒇) = 𝑭𝒋/ 𝑽𝒊Mechanical Impedance機械阻抗」。(3) 𝑴𝒋𝒊 (𝒇) = 𝑭𝒋/ 𝑨𝒊Dynamic Mass動態質量」。

4.      第三個群組,𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出 𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入,都是相同的物理量,包括:位移速度加速度。此類型的FRF稱為,Transmissibility傳輸比」,常見有4種類型:(1) 𝑻_𝑿,𝒊𝒋(𝒇) = 𝑿𝒊 / 𝑿𝒋Displacement Transmissibility位移傳輸比」。(2) 𝑻_𝑽,𝒊𝒋(𝒇) = 𝑽𝒊 / 𝑽𝒋Velocity Transmissibility速度傳輸比」。(3) 𝑻_𝑨,𝒊𝒋(𝒇) = 𝑨𝒊 / 𝑨𝒋Acceleration Transmissibility加速度傳輸比」。(4) 𝑻_𝑭,𝒊𝒋(𝒇) = 𝑭𝒊 / 𝑭𝒋Force Transmissibility力傳輸比」。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2024.03.23

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