《振動噪音科普專欄》如何求得結構的頻率響應函數?

這個單元要來探討的主題是:如何求得結構的頻率響應函數(frequency response function, FRF)

 

針對主題,就從關鍵詞分析(keyword analysis)來破題:

 

l   如何求得:可以概分為分析」與「實驗」,兩種方法。

l   結構:任意的結構,當然都可以分別由分析」與「實驗」,求得FRF頻率響應函數

l   頻率響應函數(frequency response function, FRF)基本定義:𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭輸出𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭輸入。當然需要明確的定義出𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出以及𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入參數。讀者可參考先前單元,#362:【頻率響應函數有哪些種類(Types of FRFs)】。

 

其次以【3W】心法,來分析這個主題:

 

1.      Why to do? 為什麼要求得FRF頻率響應函數

2.      What goals? 求得FRF頻率響應函數」有甚麼目的?要達到甚麼目標?有甚麼用途?

3.      How to do? 如何求得FRF頻率響應函數」?

 

要解答【3W】心法的提問,首先,參閱圖示右上方的音叉結構照片,當以敲擊槌來敲擊音叉,音叉本身會振動,進而發出聲音。

 

如果只討論振動,如圖示SPR系統方塊圖,Source激振源是敲擊外力,以𝒇𝒋 (𝒕)表示𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入參數Structural Path結構路徑是音叉結構System系統,而Response響應,常會以加速度規量測,所以得到結構的振動響應是加速度,以𝒂𝒊 (𝒕)表示𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出參數。

 

再分別觀察圖示的三個系統方塊圖,分別是:

 

1.      物理域(physical domain)系統方塊圖:以𝒇𝒋 (𝒕)表示𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入的作用力,以𝒂𝒊 (𝒕)表示𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出的加速度響應,而System系統則以[𝑴],[𝑪],[𝑲]表示,分別是質量、阻尼、勁度矩陣。

2.      頻率域(frequency domain)系統方塊圖–理論分析:以𝑭𝒋 (𝒇)表示𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入作用力的傅立葉頻譜,以𝑨𝒊 (𝒇)表示𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出加速度響應的傅立葉頻譜,而System系統則以𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇)/ 𝑭𝒋 (𝒇)表示,其中,𝑯𝒊𝒋 (𝒇)就是FRF頻率響應函數。注意:這是由理論分析的方式,所求得的FRF

3.      頻率域(frequency domain)系統方塊圖–實驗分析:以𝑮𝒋𝒋 (𝒇)表示𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入作用力的自身功率頻譜,以𝑮𝒊𝒊 (𝒇)表示𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出加速度響應的自身功率頻譜,而System系統則以𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑮𝒋𝒊 (𝒇)/𝑮𝒋𝒋(𝒇)表示,其中,𝑯𝒊𝒋 (𝒇) 也是FRF頻率響應函數。注意:這是由實驗分析的方式,所求得的FRF

 

如果針對此音叉結構,要採用理論分析方法,可以透過有限元素分析(finite element analysis, FEA),建構如圖示右上方的音叉結構分析模型,進行後續的理論數值分析。

 

由於是以敲擊棒來敲擊音叉,參閱物理域系統方塊圖,可以合理假設:𝒇𝒋 (𝒕)敲擊外力是一個理想的衝擊波(ideal impulse),理想上,可能會想要求得受到𝒇𝒋 (𝒕)敲擊力作用後,如方塊圖右側之音叉結構的振動響應 𝒂𝒊 (𝒕)加速度。

 

不過,實務上要進行結構的暫態響應分析(transient response analysis, TRA),又要有足夠的準確性,是有相當難度的。另外,就算求得如圖示的𝒂𝒊 (𝒕)時間域響應,看起來就是個隨機的衰減信號,似乎也沒有太多的敲擊聲音或振動響應的頻率資訊。

 

那麼有甚麼其他方式,可以有效地分析、或實驗量測得到,敲擊聲音或振動響應的頻率特徵呢?

 

回到【3W】心法,說明如下:

 

1.      Why to do? 為什麼要求得FRF頻率響應函數?可以瞭解瞭解系統的𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入之間,在頻率域的關係。

2.      What goals? 求得FRF頻率響應函數」有甚麼目的?要達到甚麼目標?就是要取得𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭。需要明確的定義出𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出以及𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入參數。在音叉結構中,無庸置疑,其𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入參數就是敲擊力,以𝒇𝒋 (𝒕)表示。而有興趣的𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出參數,以振動響應來說,就是音叉上任意點,可以量測到的加速度,以𝒂𝒊 (𝒕)表示。

3.      How to do? 如何求得FRF頻率響應函數」?可以分為兩個方式:(1)分析:就是對結構進行「簡諧響應分析(harmonic response analysis, HRA)(2)實驗:就是對結構進行「實驗模態分析(experimental modal analysis, EMA)

 

如何進行簡諧響應分析」呢?這是典型的4種振動分析類型之一,在FEA的應用分析,可參閱圖示的理論分析之頻率域系統方塊圖,兩側的圖示,說明如下:

 

1.      𝑭𝒋 (𝒇)表示輸入作用力的傅立葉頻譜:圖示的𝑭𝒋 (𝒇),是一個常數分布,假設:𝑭𝒋=1 (N),此常數𝑭𝒋 (𝒇)頻譜,是對應於𝒇𝒋 (𝒕)敲擊外力是一個理想的衝擊波(ideal impulse)。這種常數分布的頻譜,可以稱為白噪音頻譜(white noise spectrum)

2.      𝑨𝒊 (𝒇)表示輸出加速度響應的傅立葉頻譜:設定了常數𝑭𝒋 (𝒇) = 1 (N)頻譜,再執行HRA簡諧響應分析,即可求得𝑨𝒊 (𝒇) 加速度響應的傅立葉頻譜。

3.      𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇)/ 𝑭𝒋 (𝒇) = FRF頻率響應函數:由於𝑭𝒋=1 (N),所以,𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇)

 

對於理論分析,進行HRA簡諧響應分析,不論是𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入、或是𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出,數學意義上,都是傅立葉頻譜(Fourier spectrum),在理論解析,要求得FRF頻率響應函數」,可以直接取輸出輸入的「傅立葉頻譜」相除,即可求得:𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇)/ 𝑭𝒋 (𝒇)

 

如何對結構進行EMA實驗模態分析」呢?參閱圖示的實驗分析之頻率域系統方塊圖,兩側的圖示,說明如下:

 

1.      𝒇𝒋 (𝒕)表示輸入的作用力:可以使用具有力感測器(force transducer)的衝擊槌(impact hammer),量測得到𝒇𝒋 (𝒕)敲擊外力時間波形。再透過FFTPSD的信號分析,即可得到如圖示的𝑮𝒋𝒋 (𝒇) 外力自身功率頻譜(auto PSD)

2.      𝒂𝒊 (𝒕)表示輸出的加速度響應:可以透過加速度規(accelerometer),黏貼在音叉結構表面,量測到任意點的𝒂𝒊 (𝒕)加速度時間波形。再透過FFTPSD的信號分析,即可得到如圖示的𝑮𝒊𝒊 (𝒇) 加速度自身功率頻譜(auto PSD)

3.      𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑮𝒋𝒊 (𝒇)/𝑮𝒋𝒋(𝒇) = FRF頻率響應函數:要注意,在實驗量測中,由於經過數位化處理(digitization),不能如理論分析,直接由傅立葉頻譜取得,必須由PSD功率頻譜,才能取得正確的FRF頻率響應函數。其中,𝑮𝒋𝒊 (𝒇)是輸入與輸出的交叉功率頻譜(cross PSD)

 

綜合一下這個單元的討論,主題是:如何求得結構的頻率響應函數(frequency response function, FRF)?總結如下:

 

1.      進行關鍵詞分析(keyword analysis):解剖了重要關鍵詞,包括:「如何求得」、「結構」、「頻率響應函數」。瞭解𝐅𝐑𝐅基本定義:𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭輸出𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭輸入

2.      進行【3W】心法思考:(1) Why to do? (2) What goals? (3) How to do?

 

(3) How to do? 如何求得FRF頻率響應函數」?可以有兩種方法:

 

1.      理論分析,進行HRA簡諧響應分析𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑨𝒊 (𝒇)/ 𝑭𝒋 (𝒇) = FRF頻率響應函數

2.      實驗量測進行EMA實驗模態分析𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑮𝒋𝒊 (𝒇)/𝑮𝒋𝒋(𝒇) = FRF頻率響應函數」。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2024.03.30

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