《振動噪音科普專欄》甚麼是同點的頻率響應函數(point FRF)?

這個單元要來探討的主題是:甚麼是同點頻率響應函數(frequency response function, FRF)同點頻率響應函數」可以簡稱:Point FRF

 

參閱圖示左上方,節錄自先前單元,#364:【如何求得結構的頻率響應函數?】。重點摘錄如下:

 

1.      如何求得:可以概分為分析」與「實驗」,兩種方法。

2.      結構:任意的結構,當然都可以分別由分析」與「實驗」,求得FRF頻率響應函數

3.      頻率響應函數(frequency response function, FRF)基本定義:𝐅𝐑𝐅=𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭/𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭輸出𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭輸入。當然需要明確的定義出𝐎𝐮𝐭𝐩𝐮𝐭 輸出以及𝐈𝐧𝐩𝐮𝐭 輸入參數。讀者可參考先前單元,#363:【頻率響應函數有哪些種類(Types of FRFs)】。

 

左上方圖示摘錄的是頻率域(frequency domain)系統方塊圖–實驗分析,說明如下:

 

1.      𝒇𝒋 (𝒕)表示輸入的作用力:可以使用具有力感測器(force transducer)的衝擊槌(impact hammer),量測得到𝒇𝒋 (𝒕)敲擊外力時間波形。再透過FFTPSD的信號分析,即可得到如圖示的𝑮𝒋𝒋 (𝒇) 外力自身功率頻譜(auto PSD)

2.      𝒂𝒊 (𝒕)表示輸出的加速度響應:可以透過加速度規(accelerometer),黏貼在結構表面,量測到任意點的𝒂𝒊 (𝒕)加速度時間波形。再透過FFTPSD的信號分析,即可得到如圖示的𝑮𝒊𝒊(𝒇) 加速度自身功率頻譜(auto PSD)

3.      𝑯𝒊𝒋 (𝒇) = 𝑮𝒋𝒊 (𝒇)/𝑮𝒋𝒋(𝒇) = FRF頻率響應函數:要注意,在實驗量測中,由於經過數位化處理(digitization),不能如理論分析,直接由傅立葉頻譜取得,必須由PSD功率頻譜,才能取得正確的FRF頻率響應函數。其中,𝑮𝒋𝒊 (𝒇)是輸入與輸出的交叉功率頻譜(cross PSD)。其中的𝑯𝒊𝒋 (𝒇) =FRF頻率響應函數,最常看到的圖示是𝑯𝒊𝒋 (𝒇)的振幅圖|𝑯𝒊𝒋 (𝒇)|

 

在進行EMA實驗模態分析(experimental modal analysis, EMA),參閱如左下方圖示,為一個矩形鋼板結構的量測點規畫,共有15個量測點。採用「定規移槌(fixed sensor, roving actuator)的實驗方式:加速度規(accelerometer)固定在1號點位置,移動衝擊槌(impact hammer),依序敲擊在15個量測點,所以會取得15𝑯𝒊𝒋 (𝒇) =FRF頻率響應函數」,𝒊=1𝒋=1~15

 

甚麼是Point FRF同點頻率響應函數」呢?也就是 𝒋=1 敲擊點位置,和 𝒊=1 量測響應點位置,兩者在相同位置,也就是𝒊= 𝒋=1,所取得的FRF頻率響應函數」,就是同點Point FRF

 

再往下討論之前,再注意一下圖示上的變數符號,為避免混淆,外力」功率頻譜,以𝑮𝒇𝒋𝒇𝒋(𝒇)表示。而加速度」功率頻譜,以𝑮𝒂𝒋𝒂𝒋(𝒇)表示。因為,𝒊= 𝒋。所以,同點Point FRF可以表示為:𝑯𝒋𝒋 (𝒇)=𝑮𝒇𝒋𝒂𝒋 (𝒇)/𝑮𝒇𝒋𝒇𝒋 (𝒇)

 

其次,觀察右邊同點Point FRF3個圖示,依序分別是:

 

1.      同點Point FRF,「振幅(amplitude),垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現:也就是取𝑯𝒋𝒋 (𝒇)=𝑮𝒇𝒋𝒂𝒋 (𝒇)/𝑮𝒇𝒋𝒇𝒋 (𝒇)的「振幅(Magnitude, Mag) |𝑯𝒋𝒋 (𝒇)|

2.      COH關聯性函數(coherence):典型的數值,介於0~1之間,COH = 𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇) =0,代表𝒇𝒋 (𝒕)𝒂𝒊 (𝒕)兩個信號之間完全不相關。COH = 𝜸𝒊𝒋^𝟐 (𝒇) =1,則代表兩個信號之間完全相關。COH數值越接近1,代表𝒇𝒋 (𝒕)𝒂𝒊 (𝒕)兩個信號之間,關聯性越大。

3.      同點Point FRF,「振幅(amplitude),垂直軸是以線性座標(linear scale)呈現:同樣是呈現|𝑯𝒋𝒋 (𝒇)|振幅」圖,但是,在此圖垂直軸採用linear,不同於前述的logarithmic

4.      同點Point FRF,「奈氏圖(Nyquist plot),或稱為「極座標圖(polar plot):垂直軸是以線性座標(linear scale)呈現。水平軸是「實數部」、垂直軸是「虛數部」, FRFNyquist plot曲線圖重要特徵:一個「振動模態(vibration modes),會形成一個「圓圈」。

 

從以上同點Point FRF這些圖示,可以看到甚麼特徵呢?就重點說明如下:

 

1.      共振點(Resonance point):在「振幅(amplitude),不論是logarithmiclinear座標,都可以觀察到FRF曲線的峰值(peak)4個,每一個peak所對應的頻率,就是結構的𝒇𝒏自然頻率」,所以,在量測的頻率範圍,有4個「振動模態(vibration modes)。觀察COH關聯性函數」,在「共振點」,其COH數值越接近1,代表𝒇𝒋 (𝒕)𝒂𝒊 (𝒕)兩個信號之間,關聯性越大,主要是因為「共振(resonance)的效應,使得在𝒇𝒏自然頻率」下的激振,有較大的振動響應。

2.      反共振點(Anti-Resonance point):在「振幅(amplitude)logarithmic座標圖示,可以觀察到有尖銳的波谷(sharp valley),物理意義是非常小的數值,甚至趨近於0。其數值,沒有等於零,是因為FFT分析的頻率解析度(resolution of frequency)關係,無法真正取得「反共振點」的實際頻率。另外,觀察COH關聯性函數」,在「反共振點」,其COH數值很小,甚至接近於0,代表𝒇𝒋 (𝒕)𝒂𝒊 (𝒕)兩個信號之間,關聯性非常小。檢視頻率域(frequency domain)系統方塊圖–理論分析的圖示,FRF頻率響應函數」的定義:𝑯𝒋𝒋(𝒇) =𝑨𝒋(𝒇)/𝑭𝒋 (𝒇)。因為,在「反共振點」的𝑯𝒋𝒋 (𝒇) 量值很小,而𝑭𝒋 (𝒇)接近於平的頻譜,因此,可知是𝑨𝒋 (𝒇)量值很小,所以,𝒇𝒋 (𝒕)𝒂𝒊 (𝒕)兩個信號之間,關聯性就非常小。結論:在「反共振點」,其COH數值很小,甚至接近於0,代表𝒇𝒋 (𝒕)𝒂𝒊 (𝒕)兩個信號之間,關聯性非常小,是合理的現象。另外,值得注意的是,在「振幅(amplitude)linear座標圖示,是觀察不到「反共振點」的現象。

 

同點Point FRF的重要特徵:在「振幅(amplitude)logarithmic座標圖示,倆倆的「共振點(Resonance point)之間,必定會有一個「反共振點(Anti-Resonance point)。所以,常會應用同點Point FRF的這個特徵,作為檢查實驗所量測到FRF頻率響應函數」的合理性、可靠性、正確性評估。

 

另外,觀察同點Point FRF,「奈氏圖(Nyquist plot),或稱為「極座標圖(polar plot),其FRF的曲線圖,一個「振動模態(vibration modes),會形成一個「圓圈」。針對同點Point FRF,的Nyquist plot,特別的是:每一個「振動模態(vibration modes),所形成的每一個「圓圈」都會在相同的象限。在此,量測的頻率範圍,有4個「振動模態(vibration modes),所以,會有4個「圓圈」。要區別哪一個「圓圈」是哪一個「振動模態」,就要觀察垂直軸是以線性座標(linear scale)呈現的「振幅(amplitude),每個「振動模態」的峰值「振幅」大小,可以區別出對應的「振動模態」。

 

綜合一下這個單元的討論:甚麼是Point FRF同點頻率響應函數(frequency response function, FRF)也就是 𝒋=1 敲擊點位置,和 𝒊=1 量測響應點位置,兩者在相同位置,也就是𝒊= 𝒋=1,所取得的FRF頻率響應函數」,就是同點Point FRF

 

同點Point FRF,有甚麼重要特徵呢?可以分別由4個圖示,總結如下:

 

1.      同點Point FRF,「振幅(amplitude),垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現:倆倆的「共振點(Resonance point)之間,必定會有一個「反共振點(Anti-Resonance point)

2.      同點Point FRF,對應的COH關聯性函數(coherence):在「共振點」,其COH數值越接近1,代表𝒇𝒋 (𝒕)𝒂𝒊 (𝒕)兩個信號之間,關聯性越大,主要是因為「共振(resonance)的效應。在「反共振點」,其COH數值很小,甚至接近於0,代表𝒇𝒋 (𝒕)𝒂𝒊 (𝒕)兩個信號之間,關聯性非常小,是合理的現象。

3.      同點Point FRF,「振幅(amplitude),垂直軸是以線性座標(linear scale)呈現:是觀察不到「反共振點」的現象。所以,在觀察FRF頻率響應函數」,一般建議:垂直軸是以對數座標(logarithmic scale)呈現。不過,如果想要觀察各個「振動模態(vibration modes)的振動響應大小,就可以採用線性座標(linear scale)呈現。

4.      同點Point FRF,「奈氏圖(Nyquist plot),或稱為「極座標圖(polar plot):每一個「振動模態(vibration modes),所形成的每一個「圓圈」都會在相同的象限。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2024.04.05

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