參閱圖示左上方，是一個原始系統：「懸臂柱」自由端具有質塊的系統。此質塊為集中質量𝒎，會使得直立的柱結構上下擺動，其DOF自由度是𝒙(𝒕)。
如果，要分析此系統的振動情形，牽涉到複雜的、進階的連續系統(continuous system)分析，在此介紹「等效系統分析」的理念，如圖示中間上方，將以SDOF單自由度的「等效系統」(Equivalent System)來分析，其System 系統參數是：𝒎𝒆𝒒 「等效質量」(Equivalent mass)和 𝒌𝒆𝒒「等效彈簧常數」(Equivalent spring constant)。
要往下討論之前，先回顧先前單元主題：甚麼是「等效系統」(Equivalent System)？以及為什麼要進行「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)？主要意義與目的，參閱圖片的下方系列圖示，說明如下：
1. 當取得了SDOF單自由度系統的「等效系統」(Equivalent System)：可取得System 系統參數：就是𝒎𝒆𝒒、𝒄𝒆𝒒、𝒌𝒆𝒒，分別是「等效質量」、「等效黏滯阻尼係數」、「等效彈簧常數」。
2. 推導得到系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM)：除了System 系統參數以及Output 輸出參數，位移𝒙(𝒕)/速度𝒙 ̇(𝒕)/加速度𝒙 ̈(𝒕)，還包括：Input 輸入參數：外力 𝒇(𝒕)，和兩個初始條件(IC)，𝒙𝟎和𝒗𝟎。
3. 進而可以進行「模態分析」(modal analysis)：可以得到「模態參數」(modal parameter)：「自然頻率」(natural frequency) 𝒇𝒏 以及「阻尼比」(damping ratio) 𝝃。
4. 評估「共振」(resonance)：即可據以評估結構系統是否有「共振」，也就是在比較探討外力 𝒇𝒆「激振頻率」(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏「自然頻率」。如果，𝒇𝒆
≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。
瞭解了進行「等效系統分析」的意義與目的，再回到原始系統：「懸臂柱」自由端具有質塊的系統，主要是不必進行複雜的、進階的連續系統(continuous system)分析，就可以快速分析判斷結構是否會有「共振」？
原始系統：「懸臂柱」自由端具有質塊的系統。其系統參數包括：𝑳：柱的長度 (m)，𝑨 ：柱的截面積 (𝐦^𝟐)，𝑬：柱的楊氏係數 (GPa)。參閱圖示左下方，如果是矩形截面積：𝑨 =𝒃𝒉。如果是圓形截面積：𝑨 =(𝝅𝒅^𝟐)/𝟒。
其次，要進行「等效系統分析」，對原始系統做了假設(assumptions)，說明如下：
1. 質塊的質量𝒎，遠大於柱質量，所以，柱質量，可忽略，其密度 𝝆= 0。
2. 柱會變形，是撓性體(flexible body)，也就是彈性體(elastic body)，需要定義柱的𝑬：楊氏係數。
接下來，參閱圖示左邊中間的懸臂柱自由端受外力變形示意圖，這是材料力學教科書可以找到的變形量分析，推導取得 𝒌𝒆𝒒「等效彈簧常數」步驟如下：
1. 分析懸臂柱自由端的變形量：𝜹=(𝑭𝑳)/ (𝑨𝑬)。
2. 由彈簧常數的定義：𝒌𝒆𝒒=𝑭/𝜹，也就是外力𝑭除以變形量𝜹。
3. 由步驟1.的變形量，做移項處理，可得：𝒌𝒆𝒒=𝑭/𝜹 =𝑨𝑬/𝑳。
其次，即可帶入
𝒇𝒏 方程式，如果，已知：𝒎𝒆𝒒、𝒌𝒆𝒒，即可求得系統的 𝒇𝒏「自然頻率」。在此系統，𝒎𝒆𝒒 = 𝒎，所以，可明確求得系統的 𝒇𝒏。
最後，由於取得了系統的
𝒇𝒏「自然頻率」，可以和 𝒇𝒆「激振頻率」比較探討。如果，𝒇𝒆
≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。
綜合這個單元的討論，進行的是「等效系統分析」(Equivalent System Analysis)，探討如何求得「懸臂柱」(cantilever column)的「等效彈簧常數」(Equivalent spring constant) 𝒌𝒆𝒒。統整的分析流程步驟理念如下：
1. 探討原始系統：「懸臂柱」自由端具有質塊的系統。
2. 進行「等效系統分析」：定義「等效系統」的單自由度「等效彈簧質塊系統」，其System 系統參數是：𝒎𝒆𝒒 「等效質量」和 𝒌𝒆𝒒「等效彈簧常數」。
3. 分析得到「等效彈簧常數」𝒌𝒆𝒒 以及 𝒎𝒆𝒒 「等效質量」。
4. 進而，可以推算系統的
𝒇𝒏「自然頻率」。
5. 評估「共振」(resonance)：系統的 𝒇𝒏「自然頻率」再和 𝒇𝒆「激振頻率」比較，可以評估「共振」(resonance)。如果，𝒇𝒆 ≅ 𝒇𝒏，就會「共振」，反之，就沒有「共振」。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2023.07.01
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