《振動噪音科普專欄》不同窗函數對具有庫倫阻尼響應之頻譜分析，有甚麼影響？(2)

這個單元要來探討的主題是：不同窗函數對具有「庫倫阻尼」(Coulomb Damping)響應之頻譜分析，有甚麼影響(2)？這是「庫倫阻尼」系列的第7篇，也是接續前一個單元，不同窗函數影響探討的第二部分。

 

首先，參閱圖1，簡要回顧前一個單元：#286，【不同窗函數對具有庫倫阻尼響應之頻譜分析，有甚麼影響？(1)】，概述如下：

 

1.      在這個「庫倫阻尼」系列，一直在探討的是「庫倫阻尼」SDOF系統，參閱圖示左上方，系統參數包括：𝒎=質量 (kg)，𝒄=黏滯阻尼係數 (N / m/s)，𝒌=彈簧常數 (N/m)，𝝁=摩擦係數。

2.      探討了實際的數值分析案例作說明，設定：𝒎=1 (kg)，𝒄=0 (N-s/m)，𝒌=39.48 (N/m)，則自然頻率 𝒇𝒏= 1 (Hz)。令𝒇(𝒕)=0，𝒙𝟎 = 1 (m)，𝒗𝟎=𝟎 (m/s)，而 𝝁=𝟎.2，所以是單獨的「庫倫阻尼」效應的自由振動狀態。

3.      進行了「暫態響應分析」，就可以得到系統的時間域響應，如位移𝒙(𝒕)的時間波形。

4.      應用FFT「快速傅立業轉換」(fast Fourier transform)，進行「頻譜分析」(spectral analysis)，可以得到對應的「頻譜」(spectrum)。

5.      位移𝒙(𝒕)時間波形，對之進行FFT「頻譜分析」，可以得對應的位移頻譜𝑿(𝒇)，取其絕對值|𝑿(𝒇)|如圖示。

6.      探討使用4種「窗函數」，包括：Box window、Hanning window、Flat top window、Exponential window，對位移𝒙(𝒕)時間波形作加權處理(weighting)，以取得對應的位移頻譜𝑿(𝒇)。

7.      探討使用不同「取樣時間」T = 6 或 10 sec，比較位移頻譜𝑿(𝒇)的差異。

8.      位移頻譜𝑿(𝒇)之絕對值|𝑿(𝒇)|顯示方式，可以採用「線性座標」(linear scale)，也可採用「對數座標」(logarithmic scale)。

 

圖1的數值分析案例，系統的「自然頻率」𝒇𝒏= 1 (Hz)，主要在便於說明，本單元將採用不同的系統參數，參閱圖2，設定：𝒎=1 (kg)，𝒄=0 (N-s/m)，𝒌=98,696 (N/m)，則自然頻率 𝒇𝒏= 50 (Hz)，會是比較貼近於實際結構的狀態。

 

同時，令𝒇(𝒕)=0，𝒙𝟎 = 1 (m)，𝒗𝟎=𝟎 (m/s)，而 𝝁=𝟎.2，所以是單獨的「庫倫阻尼」效應的自由振動狀態。進行了「暫態響應分析」，就可以得到系統的時間域響應。

 

參閱圖2，觀察左側第一欄的位移𝒙(𝒕)時間波形，令「取樣時間」T = 5 sec，在t = 1 sec時，已經衰減到幾乎是零，由放大的時間波形，可以明顯看出𝒇= 50 (Hz)的震盪波動、而且有衰減的現象。

 

對位移𝒙(𝒕)時間波形，進行FFT「頻譜分析」，分析設定：「取樣頻率」fs = 10,000 Hz，「取樣時間」T = 5 sec。並選用3種「窗函數」，包括：Box window、Hanning window、Exponential window，對位移𝒙(𝒕)時間波形作加權處理(weighting)，以取得對應的位移頻譜𝑿(𝒇)。

 

參閱圖2，觀察左側第二欄的位移頻譜𝑿(𝒇)，分別採用3種「窗函數」，圖示的位移頻譜|𝑿(𝒇)|係採用「對數座標」(logarithmic scale)，標示為Log plot，可以觀察到Box window 和Exponential window都呈現出典型的SDOF頻譜特徵。而Hanning window則呈現出1、3、5、…奇數倍的「簡諧倍頻」(harmonics)。不過，由Linear plot，Hanning window 仍然可發現是單一頻率主導的響應特徵。

 

其次，再來觀察「摩擦力」(frictional force) 𝑭𝒔(𝒕)的時間波形以及其對應的頻譜。參閱圖2，觀察右側上方是「摩擦力」𝑭𝒔(𝒕)的時間波形，放大來看，可以看出是如預期的週期性、連續的方波，一個正負週期，對應的是自然頻率 𝒇𝒏= 50 (Hz)。

 

對「摩擦力」𝑭𝒔(𝒕)的時間波形，進行FFT「頻譜分析」，分析設定：「取樣頻率」fs = 10,000 Hz，「取樣時間」T = 5 sec。並選用3種「窗函數」，包括：Box window、Hanning window、Exponential window，對「摩擦力」𝑭𝒔(𝒕)時間波形作加權處理(weighting)，以取得對應的摩擦力頻譜|𝑭𝒔 (𝒇)|。

 

參閱圖2，第三欄和第四欄分別為摩擦力頻譜|𝑭𝒔 (𝒇)|，以Log plot和Linear plot顯示，討論如下：

 

1.      Box window：不管是Log plot或Linear plot顯示，都可觀察到以基礎頻率𝒇= 50 (Hz)的1、3、5、…奇數倍的「簡諧倍頻」(harmonics)。因為，𝑭𝒔(𝒕)是週期性、連續性的方波，數學上定義是「奇函數」(odd function)，所以，其頻譜特徵，會有1、3、5、…的奇數倍的「簡諧倍頻」(harmonics)，也可簡稱「諧頻」。數學上，也可以由「傅立業級數」(Fourier series)的物理意義來解釋。Box window的缺點是，在Log plot顯示，有明顯的雜訊(noise)效應，在實務的診斷分析，會造成一些困擾。

2.      Hanning window：也有得到類似於Box window的結果，不過，在Log plot顯示，可以明顯看出沒有雜訊(noise)效應，具有最好的頻率解析效果。

3.      Exponential window：也有得到類似於Box window的結果，不過，在Log plot顯示，仍有小量的雜訊(noise)效應。

 

從以上的位移頻譜|𝑿(𝒇)|和摩擦力頻譜|𝑭𝒔 (𝒇)|，選用不同window的比較，可以推論：

 

1.      位移頻譜|𝑿(𝒇)|：採用Box window，最能夠反應出實際的時間波形特徵。Hanning window雖然在Log plot顯示，會出現奇數的「簡諧倍頻」(harmonics)，不過其量值很小，也可視為是不錯的選擇。

2.      摩擦力頻譜|𝑭𝒔 (𝒇)|：3種window都可以合理的顯示出「簡諧倍頻」現象，不過，採用Hanning window能夠有效的消除雜訊(noise)效應，會是最好的選擇。

 

以上個人看法，請多指教！

 

王栢村

2022.09.03

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圖1、不同窗函數對具有庫倫阻尼響應之頻譜分析，有甚麼影響？(2) - 𝒇𝒏= 1 (Hz)

圖2、不同窗函數對具有庫倫阻尼響應之頻譜分析，有甚麼影響？(2) - 𝒇𝒏= 50 (Hz)