《振動噪音科普專欄》甚麼是「基座激振」的「單自由度系統」?


結構振動的「單自由度系統(single degree-of-freedom, SDOF, system)是振動課程的基礎入門單元之一,因為可以從「SDOF系統」,學習許多振動的現象。先前單元:【甚麼是「外力激振」的「單自由度系統」?】,除了「外力激振(force excitation)形式外,還有「基座激振(base excitation)形式,本單元要介紹的是「基座激振」的「單自由度系統」。

首先,如圖示「基座激振之質塊彈簧系統」實體結構,以一個質塊」安置在「彈簧」的上方,而「彈簧」的另一端是「基座質點」。如果,對「基座質點」施予「位移」輸入,透過「彈簧」的傳遞,「質塊」就會上下來回振盪,可以觀察「質塊」的「位移」運動狀態。

對此「基座激振之質塊彈簧系統」,進行「數學模型化(mathematical modeling),可以得到如圖示對應的「數學模型(mathematical model),說明如下:

1.          質塊(mass):假設質塊為「剛體(rigid body),以一個質點「質量m,代表質塊,SI制單位:kg
2.          阻尼元件(damper):為了模擬彈簧的「阻尼效應」,常採用的「阻尼模型(damping model)是「黏滯阻尼模型(viscous damping model),以「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)c,代表此彈簧的「阻尼效應(damping effect)SI制單位:N / m/s = N.s/m,是彈簧變形每單位速度的受力,也就是「彈簧阻尼力fd=c*vv是質塊的速度。
3.          彈簧(spring):彈簧以其「彈簧常數(spring constant)k,代表此彈簧的剛性(stiffness)SI制單位:N/m,是彈簧每單位長度變形的受力。
4.          位移輸入(displacement input):以y(t)函數代表「基座質點」的「位移」輸入。
5.          位移輸出(displacement output):以x(t)函數代表「質塊」的「位移」輸出。

所以,可以得到系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。

得到了「數學模型」可以推導其「運動方程式(equation of motion, EOM)ma+cv+kx=c*yd(t)+k*y(t)。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以xva,代表「質塊」的位移速度加速度y(t)yd(t)分別代表「基座質點」的「位移」輸入及其「速度」】。

由「基座激振mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」,得到其「運動方程式」,因為是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0

接下來以ISO系統方塊圖」的理念作說明【甚麼是ISOSPR】。ISO:雖然是簡單的系統方塊圖,但是隱含了許多物理意義,針對此基座激振」的「單自由度系統指的是:

1.          Input輸入:也就是施加於此「基座質點」的「位移」輸入y(t),以及「質塊」本身的兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0
2.          System系統:也就是「系統參數mck。另外一個角度看系統,也就是「模態參數(modal parameters),包括:fn,「自然頻率(natural frequency)ξ阻尼比(damping ratio)
3.          Output輸出:此系統的「輸出」就是「質塊」的位移速度加速度,分別以xva代表。

至此,我們瞭解了系統參數、輸入、及輸出,接下來觀察右邊圖示,是次阻尼(under-damped)狀態下,0<ξ<1,此「基座激振之質塊彈簧系統」的「基座質點」及「質塊」的位移軌跡圖。「基座質點」及「質塊彈簧連接,在基座質點有連續三個鋸齒波的位移輸入,進而帶動了上方質塊位移振動現象。

首先,觀察「基座質點位移輸入y(t),如圖示有連續三個鋸齒波,鋸齒波是個週期性」信號,基礎頻率𝒇=1/T鋸齒波的最大振幅為𝒀

再觀察質塊」的「位移振動時間域波形,隨著基座質點的鋸齒波之位移增加,質塊」的位移有整體偏位、沿著鋸齒波的波形,有上下來回振動的現象,而其上下振動的振幅,則有逐漸衰減的現象。到了第三個鋸齒波結束之後,因為,沒有「基座質點的位移輸入,質塊」的位移就逐漸衰減到零。這是因為系統次阻尼(under-damped)狀態下,0<ξ<1的緣故。

針對「質塊」的「位移振動時間域波形,重要特徵討論如下:

1.      系統的「自然頻率:如圖示,Tn=1/fn,其中,fn = 1/(2π)*(k/m)^0.5,就是系統的「自然頻率」,由「系統參數mk,就決定了「自然頻率fn。須注意系統的「自然頻率」和「基座質點位移輸入的鋸齒波「激振頻率」是不相同的。
2.      系統的「阻尼比:以ξ代表,定義是:ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc 是「臨界黏滯阻尼係數Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,其中,ωn=(k/m)^0.5,是系統的無阻尼狀態的「自然頻率」。由於0<ξ<1次阻尼(under-damped)狀態,所以位移振幅有衰減的現象。
3.      系統的「衰減率:位移振動衰減的現象,係與exp(–ξ ωn t)相關,因為指數函數為負值,所以,質塊的運動會隨時間增長,而逐漸衰減到零。其中,ξ ωn可以定義為「衰減率」,代表質塊來回振盪衰減的速率。「阻尼比ξ越大,「衰減率」越大;「無阻尼自然頻率ωn越大,「衰減率」也越大。當「衰減率ξωn越大,則質塊來回振盪的衰減速率就越快。【甚麼是「對數衰減」?

好的,這個單元我們主要介紹的是:「基座激振」的「單自由度系統」。回顧一下本單元的重點:

1.      實體結構:也就是左上方圖示的基座激振之質塊彈簧系統」。「質塊」和「基座質點」以一個「彈簧」連接,「基座質點」施予「位移」輸入,「質塊」就會上下來回振盪有「位移」輸出。
2.      數學模型化:對「實體結構」進行「數學模型化」,可以得到「數學模型」。
3.      數學模型:如圖示有「系統參數」就是:mck,「輸入」是y(t),「輸出」是x(t)
4.      系統參數:就是:mck,分別是質塊「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。
5.      運動方程式ma+cv+kx= c*yd(t)+k*y(t)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移X0及「初始速度V0
6.      ISO系統方塊圖:由Input輸入System系統Output輸出,可解讀此系統的ISO內涵與關係。
7.      模態參數可以由「系統參數mck,分別求得,包括:fn,「自然頻率(natural frequency)ξ阻尼比(damping ratio),也是系統參數,稱之為「模態參數」。
8.      系統輸入響應:觀察了具有3個鋸齒坡的「基座質點」之「位移輸入」特徵,如「週期性鋸齒波的基礎頻率」,也是其「激振頻率」。
9.      系統輸出響應:觀察了「基座激振之質塊彈簧系統」典型的「質塊」位移軌跡圖之特徵。可由fn自然頻率」、ξ阻尼比」、及ξ ωn衰減率」解讀其響應特性。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2020.02.14

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