這個單元要來探討的主題是：進行結構的振動分析(vibration analysis)，如何設定「常數阻尼比」(Constant damping ratio) 和「模態阻尼比」(Modal damping ratio)？以及探討這兩種「阻尼」(damping)效應的差異。
這個單元主要參考以下的研討會論文：王栢村，王廷維，2013，「簡諧響應分析之阻尼模擬」，中華民國振動與噪音工程學會第21屆學術研討會，台北，論文編號：D0012。
參閱圖片左上方表格，針對不同的「阻尼模型」(damping model)，在CAE軟體的應用設定，有多種選項與應用方式，包括：
1. Model (A) = Undamped = 無阻尼。
2. Model (B) = Proportional viscous damping = 比例黏滯阻尼。
3. Model (C) = Constant damping ratio = 常數阻尼比。
4. Model (D) = Modal damping ratio = 模態阻尼比。
5. Model (E) = Element proportional viscous damping = 元素之比例黏滯阻尼。
6. Model (F) = Element constant damping ratio = 元素之常數阻尼比。
7. Model (G) = Damping element = 阻尼元素。
這個單元著重在：Model (C) = Constant
damping ratio = 常數阻尼比、Model (D) = Modal damping ratio = 模態阻尼比、Model (F) = Element
constant damping ratio = 元素之常數阻尼比。這三種「阻尼」(damping)效應的原理、背景知識、以及實務的應用方法。
首先，參閱圖片左下方，是對一個懸臂樑，進行「實驗模態分析」(Experimental Modal Analysis, EMA)的實驗架構圖。採用了Hammer衝擊槌，敲擊結構，使用的感測器(sensor)是Accelerometer加速規，量測結構的加速度響應。樑結構上的佈點規劃，有30個點，搭配一部「頻譜分析儀」(FFT Analyzer)，量測取得實驗數據。
進行EMA「實驗模態分析」，主要步驟就是先量測結構的「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)。FRF「頻率響應函數」的定義：𝑯𝒊𝒋(𝒇)= 𝑨𝒊(𝒇) / 𝑭𝒋(𝒇)，其物理意義是：第𝒊點加速度頻譜𝑨𝒊(𝒇)，除以第𝒋點的外力頻譜𝑭𝒋(𝒇)。
其次，透過「曲線嵌合」(curve-fitting)，即可取得結構的三個「模態參數」(Modal parameters)
，包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓(𝒙)、𝝃𝒓。其中，𝝎𝒓 =𝟐𝝅𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)、𝝓𝒓(𝒙)「模態振型」(mode shape)、𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。
如果，要進行CAE軟體應用分析，也就是常採用的「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)軟體，進行仿真模擬分析(simulation)。就需要透過「簡諧響應分析」(Harmonic response analysis)求得理論的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」，希望能夠模擬得到與實驗相符的FRF，達到仿真分析的目標。
參閱圖片右下方，顯示了建構的「有限元素模型」(Finite Element Model)。要分析取得(𝒊,𝒋)=(𝟑𝟎,𝟑𝟎)的FRF「頻率響應函數」，也就是對應於敲擊在自由端，量測也在自由端位置的FRF = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)。兩個FRF「頻率響應函數」圖示，說明如下：
1. Model (C) 與Model (F)的分析與實驗FRF曲線圖示：黑色線條是EMA實驗曲線，紅色與藍色線條分別是FEA分析，採用Model (C) 與Model (F)的FRF曲線，兩者完全重合，因為此懸臂樑是單一材料的結構。同時，可以觀察到分析的FRF曲線趨勢與量值，與實驗的FRF比較，都相當準確，有達到仿真的效果。
2. Model (D)的分析與實驗FRF曲線圖示：可以觀察到分析的FRF的曲線趨勢與量值，也大致對應於實驗的FRF，有接近仿真的效果。但是，在第四、第五個模態，其峰值響應，對應不太好。
由以上說明，可以知道應用CAE/FEA軟體，透過「簡諧響應分析」(Harmonic response analysis)，可以選用不同的「阻尼模型」(damping model)，以求得理論的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」。以下就來說明各個「阻尼模型」的原理、背景知識、以及實務的應用方法。
第一，Model (D) = Modal
damping ratio = 模態阻尼比。就是結構的「振動模態」(vibration modes)的三個「模態參數」(Modal parameters)之一的
𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。可以由EMA「實驗模態分析」取得實際結構的「模態阻尼比」：𝝃 ̂𝒓，𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏。
參閱圖片左下方表格，懸臂樑之實驗與理論模態參數，在本案例，𝒏 =5，有5個「振動模態」，所以，有5個𝝃𝒓「模態阻尼比」。在CAE軟體應用上，以ANSYS軟體為例，可透過MDAMP指令，設定：每一個模態的𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。必需，對每一個模態，做一對一的設定，適合於模態數量少、而且模態明確的結構。
第二，Model (C) = Constant
damping ratio = 常數阻尼比。不同於Model (D)，每個「振動模態」有不同的𝝃𝒓「模態阻尼比」。在此「常數阻尼比」的「阻尼模型」，假設每個 𝝃𝒓「模態阻尼比」都是相同的：𝝃1=𝝃2=…=𝝃𝒏=𝝃。
由於，每個模態的𝝃𝒓「模態阻尼比」都相同，由「雷利阻尼」(Rayleigh damping)的假設：[𝑪]
= 𝜶[𝑴] + 𝜷[𝑲]，可以推導出：𝝃𝒓 = 𝜶/(𝟐𝝎𝒓) + (𝜷𝝎𝒓)/𝟐。由此關係式，忽略𝜶[𝑴]，可以推衍出系統的阻尼矩陣：[𝑪] = 𝜷𝒄 [𝑲]
= 𝟐𝝃/𝝎 [𝑲]。
在CAE軟體應用上，以ANSYS軟體為例，可透過DMPRA指令，設定：𝝃「常數阻尼比」(Constant damping ratio)。軟體的分析會轉換得到阻尼矩陣：[𝑪] = 𝜷𝒄 [𝑲]
= 𝟐𝝃/𝝎 [𝑲]。
要如何取得
𝝃「常數阻尼比」呢？合理的做法：取得所有「振動模態」的𝝃𝒓「模態阻尼比」之平均值。參閱圖片表格，本案例：𝝃 = 0.830。
第三，Model (F) = Element
constant damping ratio = 元素之常數阻尼比。此「阻尼模型」，本質上，和Model (C) = Constant
damping ratio = 常數阻尼比，是相同的。
Model (F) = Element constant damping ratio = 元素之常數阻尼比，係針對材料模型(material model)的參數，設定其「阻尼」(damping)效應，所以，阻尼矩陣的定義：[𝑪]=∑
(𝒋=𝟏)~(𝑵𝒎) (𝟐 𝝃𝒋 /𝝎) [𝑲𝒋 ]。可以對結構中，不同材料的零組件，各別設定其元素的「常數阻尼比」。
在CAE軟體應用上，以ANSYS軟體為例，可透過MP, DMPR指令，設定：材料模型的
𝝃「常數阻尼比」(Constant damping ratio)。軟體的分析會轉換得到阻尼矩陣：[𝑪]=∑
(𝒋=𝟏)~(𝑵𝒎) (𝟐 𝝃𝒋 /𝝎) [𝑲𝒋 ]。
本單元探討的三個「阻尼模型」(damping model)，三者之間的共同點，都是在設定𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。主要的差異，以及如何取得𝝃𝒓「模態阻尼比」設定值，說明如下：
1. Model (D) = Modal damping ratio = 模態阻尼比。就是結構的𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。必須由EMA「實驗模態分析」取得：𝝃 ̂𝒓，𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏。必需，對每一個模態，做一對一的設定，適合於模態數量少、而且模態明確的結構。
2. Model (C) = Constant damping ratio = 常數阻尼比。假設每個
𝝃𝒓「模態阻尼比」都是相同的：𝝃1=𝝃2=…=𝝃𝒏=𝝃。由EMA「實驗模態分析」取得：𝝃 ̂𝒓，𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏。對所有的𝝃𝒓「模態阻尼比」，取平均值：𝝃 ̂ ̅
= (∑ (𝒓=𝟏)~𝒏 𝝃 ̂𝒓
) / 𝒏。需注意：Model (C)是對整體的結構系統。如果，分析的結構系統是組合結構，有不同材料的零組件時，仍是考慮整體結構的阻尼狀態。也就是對整體結構進行EMA「實驗模態分析」所得到的
𝝃 ̂𝒓。
3. Model (F) = Element constant damping ratio = 元素之常數阻尼比。和Model (C)相同理念，也是假設每個
𝝃𝒓「模態阻尼比」都是相同的：𝝃1=𝝃2=…=𝝃𝒏=𝝃。不同於Model (C)，針對組合結構，有不同材料的零組件時，Model (F)
可以分別設定各個零組件的「阻尼」(damping)效應。對於每個零組件，都需要各別量測其「阻尼」(damping)，才可取得其設定值。
在本單元的懸臂樑結構案例，因為是單一材料的結構，沒有組合零組件，所以，如圖示Model (C) 與Model (F)的分析與實驗FRF曲線，兩個模型的FRF曲線，是完全相同的結果。
參閱圖片左下方圖示，實驗的𝝃 ̂𝒓「模態阻尼比」與分析的、不同「阻尼模型」的𝝃𝒓「模態阻尼比」比較表，討論如下：
1. Model (C) 與Model (F)都是「常數阻尼比」(Constant damping ratio)。不同的是，Model (C)是整體結構系統的平均 𝝃 ̂𝒓「模態阻尼比」。而，Model (F)是要對組合結構的每個零組件，取得零組件結構的平均
𝝃 ̂𝒓「模態阻尼比」。
2. Model (D) 就是整體結構，每個「振動模態」(vibration modes)的
𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。
瞭解了Model (D)、Model (C) 與Model (F) 的原理與背景知識，在取得對應的設定參數值，也就是𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)，就可進行「簡諧響應分析」(Harmonic response analysis)，求得理論的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」。如圖片右下方的FRF曲線圖示。
最後，綜合建議，較佳的「阻尼模型」(damping model)，建議選項是：Model (C) = Constant
damping ratio = 常數阻尼比，設別是適用在，有對整體結構進行EMA「實驗模態分析」取得實際結構的「模態阻尼比」：𝝃 ̂𝒓，𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏。
綜合一下這個單元的討論，總結如下：
1. 針對三種「阻尼模型」(damping model)，都是在設定𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。
2. 要如何設定𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)：(1)
Model (D) =
Modal damping ratio = 模態阻尼比。對結構系統，由EMA「實驗模態分析」取得：𝝃 ̂𝒓，𝒓=𝟏,𝟐,…,𝒏。必需，對每一個模態，做一對一的設定。(2) Model (C) = Constant damping ratio = 常數阻尼比。對結構系統，所有的𝝃𝒓「模態阻尼比」，取平均值，就是設定的「常數阻尼比」(Constant damping ratio)。(3) Model (F) =
Element constant damping ratio = 元素之常數阻尼比。一樣是取所有𝝃𝒓「模態阻尼比」的平均值
𝝃。但是，針對組合結構，有不同材料的零組件時，Model (F) 要分別設定各個零組件的「阻尼」(damping)效應。對於每個零組件，都需要各別量測其𝝃𝒓「模態阻尼比」，才可取得每個零組件的𝝃「常數阻尼比」設定值。
3. 取得𝝃𝒓「模態阻尼比」或是𝝃「常數阻尼比」設定值，即可進行「簡諧響應分析」(Harmonic response analysis)，求得理論的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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