這個單元要來探討的主題是：如何求得「阻尼比」(damping ratio)？ – 時間域法(time domain method)。
要求得「阻尼比」，首先提問：(1) 甚麼是(What is?)「阻尼」(damping)？讀者可參考先前單元：#116，【什麼是「阻尼」(damping)？】，摘錄該單元圖片，如圖示右上方。重點摘錄如下：
1. 「阻尼」(damping)是一種消耗能量的機制。一般材料本身都有「阻尼效應」。從「微觀」角度來說，可以想像一個材料構件，因為結構體的變形，使得材料分子之間有摩擦，而產生磨擦的能量損失，即為「阻尼效應」。
2. 圖示的「質塊-彈簧系統」，可以建構對應此系統的「數學模型」，如圖示的「m、c、k」，「質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」。其中，阻尼元件(damper)：為了模擬彈簧的「阻尼效應」，常採用的「阻尼模型」(damping model)是「黏滯阻尼模型」(viscous damping model)，以「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)，𝑐，代表此彈簧的「阻尼效應」，SI制單位：N / m/s = N.s/m。
3. 圖示「無阻尼」、「阻尼小」、及「阻尼大」的質塊位移x(t)時間域波形，可以看出質塊來回振盪之位移振幅的不同衰減效應。當「阻尼效應」大，也就是𝑐 值較大時，質塊來回振盪的振幅衰減效應，就相對比較快。
另外，回顧一下「阻尼比」的定義：𝜉=𝑐/
𝒄_𝒄。𝜉 就是「阻尼比」，是「黏滯阻尼係數」𝑐除以「臨界黏滯阻尼係數」𝒄_𝒄。而，𝒄_𝒄=𝟐√(𝒎𝒌)。完整的說法，應該是「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)，不過，常簡稱「阻尼比」(damping ratio)。
其次的自我提問：(2) 為什麼需要(Why to do?)，求得 𝜉「阻尼比」(damping ratio)呢？能取得𝜉，可以知道振動的特性，以及阻尼效應的大小量值。不同「阻尼比」的特性，彙整如下：
1. 𝝃 < 0：negative
damping 負阻尼
2. 𝝃 =
0：without damping 無阻尼
3. 0 < 𝝃 <
1：under damped 次阻尼
4. 𝝃 =
1：critically damped 臨界阻尼
5. 𝝃 >
1：over damped 過阻尼
本單元要介紹的，由時間域法(time domain method)，求得「阻尼比」(damping ratio)，就是考慮工程實務上，最常見的0 < 𝝃 < 1：under
damped 次阻尼。
可參考先前單元：#122，【甚麼是「對數衰減」？】，摘錄該單元圖片，如圖示右上方。在「次阻尼」狀態，0 < 𝝃 <
1，質塊有來回振盪的位移衰減信號的特徵，可以定義「對數衰減」(Logarithmic decrement)δ及其與「阻尼比」ξ的關係，說明如下：
1. 「對數衰減」δ：參閱圖示的方程式，摘錄如下，δ=1/(n-1)*ln(x1/xn)，當n=2、n=3，可寫出不同的「對數衰減」δ表示式，可參閱圖示。
2. 「阻尼比」ξ：和「對數衰減」δ，有如圖示的關係式，ξ=δ/sqrt((2π)^2+δ^2)。
3. 如果，「阻尼比」ξ很小，「阻尼比」ξ和「對數衰減」δ的關係式，可以化簡為：𝝃 ≈ 𝜹/𝟐𝝅。
接著，再提問：(3) 要達到甚麼目標？(What goals?) 當然就是要取得結構系統的「阻尼比」(damping ratio)，在這個單元，要介紹的是時間域法(time domain method)。針對工程實務上，最常見的0 < 𝝃 <
1：under damped 次阻尼。
最後，再提問：(4) 要如何做呢？(How to do?) 重點步驟流程，說明如下：
1. 量測系統的自由振動響應：參閱圖片右下方圖示，一個具衰減效應之單頻率時間波形，可能來自如圖示的單自由度振動系統。也可以是任意的具有衰減效應之單頻率時間波形，都可以引用本單元的方法，來求得「阻尼比」(damping ratio)。
2. 取得𝒙𝟏 以及
𝒙𝒏：觀察具衰減效應之單頻率時間波形，可以求得每一個波峰的峰值。
3. 由𝒙𝟏 以及
𝒙𝒏，求得「對數衰減」(Logarithmic decrement)δ：𝜹=𝟏/(𝒏−𝟏)*𝐥𝐧 (𝒙𝟏/𝒙𝒏 )。
4. 求得「阻尼比」(damping ratio)：由「阻尼比」ξ和「對數衰減」δ的關係式：ξ=δ/sqrt((2π)^2+δ^2)。如果，阻尼很小時：𝝃
≈ 𝜹/𝟐𝝅。
讀者，可參閱圖片右下方的表格，顯示了不同𝒙𝒏的「阻尼比」(damping ratio)計算結果。其中，𝒙𝟏=0.5，不同𝒙𝒏的數值，如𝒏=2，𝒙𝒏=𝒙2=0.455，𝜹=0.040959，精準的計算，𝝃
=0.006519。簡要的估算，𝝃
≈ 𝜹/𝟐𝝅
=0.006519。
表格顯示了不同𝒏的計算結果，技巧上，由於實務的量測，可能有不一定精準的情形，所以，可以以不同𝒏的計算結果，取平均的方式，來取得此系統的「阻尼比」(damping ratio)，本案例，𝝃
=0.006541。
綜合一下這個單元的討論，以【4W心法】來思考，如何求得「阻尼比」(damping ratio)？包括：
(1)
甚麼是(What is?)
(2)
為什麼需要(Why to do?)
(3)
甚麼目標？(What goals?)
(4)
要如何做呢？(How to do?)
當然，也回顧說明介紹了前單元：#116，【什麼是「阻尼」(damping)？】，以及#122，【甚麼是「對數衰減」？】，相關背景知識。
針對工程實務上，最常見的0 < 𝝃 < 1：under
damped 次阻尼。如何由時間域法(time domain method)，取得結構系統的「阻尼比」(damping ratio)，重點步驟流程，說明如下：
1. 量測系統的自由振動響應：取得一個具衰減效應之單頻率時間波形。
2. 取得𝒙𝟏 以及 𝒙𝒏：觀察具衰減效應之單頻率時間波形，可以求得每一個波峰的峰值。
3. 由𝒙𝟏 以及 𝒙𝒏，求得「對數衰減」(Logarithmic decrement)δ：𝜹=𝟏/(𝒏−𝟏)*𝐥𝐧 (𝒙𝟏/𝒙𝒏 )。
4. 求得「阻尼比」(damping ratio)：由「阻尼比」ξ和「對數衰減」δ的關係式：ξ=δ/sqrt((2π)^2+δ^2)。如果，阻尼很小時：𝝃
≈ 𝜹/𝟐𝝅。技巧上，以取平均的方式，來取得此系統的「阻尼比」(damping ratio)。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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