《振動噪音科普專欄》不同自然頻率的單自由度系統之頻譜,有甚麼特徵?

 

這個單元的主題,「不同自然頻率的單自由度系統之頻譜,有甚麼特徵?」,其中,「單自由度系統」是指「外力激振(force excitation) 的「單自由度系統(single degree-of-freedom, SDOF, system)

 

每個系統都會有自然頻率」,本單元將探討不同「自然頻率」時,此系統響應的「頻譜」會有甚麼特徵?

 

首先,回顧一下這個「單自由度系統」,參考圖示左上方,是此系統數學模型(mathematical model)示意圖。其中,

 

1.          系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。

2.          輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的「初始位移X0及「初始速度V0

3.          輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。

 

若是對此「單自由度系統」,進行「理論模態分析」,可以得到兩個「模態參數」,在此單自由度系統的「模態參數」為:

 

1.          自然頻率」,ωn=2πfn=(k/m)^0.5

2.          阻尼比」,ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,是「臨界黏滯阻尼係數」。

 

所以,由「系統參數」:mck,就可以求得「自然頻率fn以及「阻尼比ξ

 

f(t)=0,也就是沒有外力作用下,稱為「自由振動」,在「次阻尼」狀態:0<ξ<1,其系統位移響應,可寫成:x(t)=Xe^(-σt) cos(2πfn t-φ),各個參數的表示式,可參閱圖示。圖示中間上方,是對應此方程式的單自由度系統」之自由振動位移響應x(t) 示意圖。

 

本單元要針對x(t) 進行FFT頻譜分析」,可以得到「傅立業頻譜𝑿(𝒇)。以下為所設定的輸入參數:f(t)=0X0= 1 mV0=0 m/s

 

在此,令系統的「阻尼比」相同,ξ=0.01。在不同「自然頻率」時,fn= 10 Hz50 Hz200 Hz,分別觀察x(t)𝑿(𝒇)的響應特徵,圖示下方,是三種狀態的圖示,而圖示右上方是此三種狀態的重疊圖示,特徵探討如下:

 

1.      時間域響應x(t)自然頻率小,波動的次數少;同時,對數衰減的效應,也比較小,因為衰減率𝝈=𝝃𝝎𝒏=𝝃(2𝝅𝒇𝒏)。所以,當自然頻率增大,波動的次數增加,衰減率」也增大,「對數衰減的效應,也就增大。

2.      傅立業頻譜𝑿(𝒇):在fn自然頻率」處,會出現一個「峰值(peak)。分別是fn= 10 Hz50 Hz200 Hz

 

另外,由自然頻率」關係式:fn= 1/2π*(k/m)^0.5,可以發現「自然頻率𝒇𝒏,和質塊的「質量m、彈簧的「彈簧常數k相關,特性如下:

 

1.      𝒎 固定, 𝒌 增大,𝒇𝒏增大。

2.      𝒌 固定, 𝒎 增大,𝒇𝒏減小。

 

綜合一下本單元的討論重點:

 

1.      以「外力激振」的「單自由度系統」為例,其系統的自然頻率」,和質塊的「質量m、彈簧的「彈簧常數k相關。

2.      不同自然頻率的單自由度系統之自由振動響應」,在時間域會有「對數衰減」的效應。「自然頻率」越大,其「對數衰減」的效應越大。因為,「衰減率𝝈=𝝃𝝎𝒏,和「自然頻率」成正比。

3.      外力激振」的「單自由度系統」為例,其「自由振動響應」的「傅立業頻譜𝑿(𝒇),會出現一個「峰值(peak),此「峰值」對應的頻率,就是「自然頻率𝒇𝒏。反過來說,在fn自然頻率」處,會出現一個「峰值(peak)

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2020.11.12

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