《振動噪音科普專欄》結構的幾何形狀尺寸如何影響結構的「自然頻率」?



先前單元:【甚麼因素會影響結構的「自然頻率」?】,主要是探討了甚麼因素會影響結構的自然頻率?最簡要的說法就是結構系統的「GMBI」,掌握結構系統的「GMBI」就可探索結構的「自然頻率」影響差異。甚麼是「GMBI」?【結構系統之振動模擬分析:問題定義的F-GMBI-R】,簡要如下:

1.      Geometry幾何
2.      Material材料
3.      Boundary邊界
4.      Interface 組合接觸介面

參閱圖示,引用重要的3個「系統方塊圖(system block diagram)

1.          ISO/SPR系統方塊圖
2.          模態域系統方塊圖
3.          FàGMBIàR系統方塊圖

所以,可以知道結構系統的「GMBI」是影響結構「自然頻率」的主要因素。這個單元,將著重在「Geometry幾何」的影響,特別是「幾何尺寸」對結構「自然頻率」的影響。

首先參考圖示的懸臂樑結構,以結構系統的「GMBI」來看此懸臂樑結構:

1.      Geometry幾何:懸臂樑的長度、寬度、厚度,就是幾何參數,令L=380mmW=300mmT=2mm。形狀和尺寸明確,就完成了幾何模型的定義。
2.      Material材料:主要的材料參數,包括:「密度(density)、「楊氏係數(Young’s modulus)、「普松比(Poisson ratio)等,分別假設為:ρ=8000kg/m^3E=207GPaν=0.3。在此假設材料可以以「等向性材料模型(isotropic material model)表示,只需要「楊氏係數」、「普松比」兩個材料參數。
3.      Boundary邊界:由於是懸臂樑,所以如圖示懸臂樑左端的端面,是完全固定的邊界。
4.      Interface 組合接觸介面:此懸臂樑結構,是單一零件,所以沒有組合接觸介面Interface的效應。

對此懸臂樑結構,進行「理論模態分析(theoretical modal analysis, TMA),可以求得結構的「自然頻率fr及對應的「模態振型φr。圖示列出此懸臂樑結構的前10個「振動模態」。

針對結構幾何「尺寸」的變異,對結構「自然頻率」的影響,首先探討不同「厚度T之影響,令T=4mm,是原始厚度T=2mm的兩倍,以及T=1mm,是0.5倍。同樣進行TMA理論模態分析」,如表格顯示,討論如下:

1.      厚度T增大,「自然頻率」也增高:由數值分析可知,「厚度」加倍,「自然頻率」也加倍。
2.      厚度T減小,「自然頻率」也降低:由數值分析可知,「厚度」減半,「自然頻率」也減半。

可以推論,針對此懸臂樑結構,「厚度T和結構的「自然頻率」成「正比例」關係。

接著,在厚度T不變,長度L及寬度W,分別以2倍及0.5倍長寬進行TMA理論模態分析」,如表格顯示,討論如下:

1.      長度寬度」增大,「自然頻率」降低:由數值分析可知,加倍長寬,自然頻率降低,而且是1/4倍的關係。
2.      長度寬度」減小,「自然頻率」增高:由數值分析可知,縮小0.5倍長寬,自然頻率增高,而且是4倍的關係。

可以推論,針對此懸臂樑結構,「長度」及「寬度」和結構的「自然頻率」,呈現「平方的反比例」關係。

對於類似的平板結構,可以推論:frT/L^2,也就是:

1.      自然頻率,和平板厚度,成正比
2.      自然頻率,和平板的長度及寬度,平方成反比

從結構的「幾何尺寸」對結構的「自然頻率」的影響,口語化概念上的說法:

1.      結構越「」,自然頻率越「」。反之,結構越「」,自然頻率越「」。
2.      結構越「」,自然頻率越「」。反之,結構越「」,自然頻率越「」。
3.      結構越「」,自然頻率越「」。反之,結構越「」,自然頻率越「」。

這個單元,主要是探討了結構的「幾何尺寸」,如何影響結構的自然頻率?最簡要的說法:結構越「薄、大、長」,自然頻率越「」。反之,結構越「厚、小、短」,自然頻率越「」。

以上個人看法,請多指教!

王栢村
2019.09.10


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2 意見:

  1. 王教授您好,對於您敘述的長寬與頻率的關係有些疑問想請教您。
    影片中您是用2倍的長*2倍的寬=4*(長*寬)去得到該尺寸的頻率為原始的1/4。
    那麼關係式"fr~T/L^2"是否應改為"fr~T/(W*L)"才會通用矩形的懸臂樑呢?
    若W=L的話,fr~T/L^2此關係式還通用,但W≠L的情況下是否最造成誤會?
    還請您解惑,謝謝。
    P.S.因Youtube處也有留過一次,但不知為何送出後重新刷新頁面都無法看到,故於此處再次提出同樣的疑問。

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    1. 有照教授您提供的平板尺寸試著模擬看看了,長寬同時變動時會與教授的理論符合(值不會剛好,但倍數差不多)。
      試著拆開純做長與純做寬的測試後發現,僅有長度會與理論相符,寬的話則無。

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