這個單元要來探討的主題是：結構受到衝擊(impact)產生的振動波形(vibration signal)，如何取得正確的「頻譜」(spectrum)？
首先，要取得正確的「頻譜」(spectrum)，必須對「時間波形」(time waveform)的信號，進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)，取得信號的「頻譜」(spectrum)。
首先，回顧一下，如何進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。參閱圖片左上方，FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，重點說明如下：
1. Input輸入：就是一個信號的「時間波形」(time waveform)。
2. System系統：在此FFT，就是系統。就是要進行FFT「快速傅立葉轉換」(fast Fourier transform)。
3. Output輸出：當然就是「時間波形」信號的「頻譜」(spectrum)。
4. Control控制：進行FFT的控制變數，有三大項，包括：(1) FFT 參數(parameters)，(2) 窗函數形式(Window Type)，(3) 平均處理(Averaging)。
針對第一個重要選項，是FFT 參數(parameters)，主要有兩個變數需要設定，定義如下：
1. Fmax = 1000 Hz：最高有效頻率(maximum effective frequency)，單位：Hz。
2. LOR = 1000 條：頻率解析條數(lines of resolution, LOR)，單位：條(lines)。
在此設定，R = Fmax / LOR = 1.0 Hz：頻譜的頻率解析度(Resolution)。
同時，第二個重要選項，是窗函數形式(Window Type)。本單元選用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」。同時，也會比較選用”Exponential”=「指數窗函數」的差異探討。
第三個重要選項，是平均處理(Averaging)，令平均次數(Number of Averaged)：Navg = 1次。Overlap = 0%。
摘錄前一個單元：結構受到衝擊(impact)產生的振動波形(vibration signal)，其「頻譜」(spectrum)會有甚麼特徵？參閱圖片右上方的3個系列圖示，選用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」，簡要回顧說明如下：
1. 衰減率(decay rate)：𝝈=𝟎，無阻尼(undamped)結構。
2. 衰減率(decay rate)：𝝈= 𝟏，微小阻尼(little damped)結構。
3. 衰減率(decay rate)：𝝈= 𝟓，較大阻尼(heavily damped)結構。
每個案例，第1個圖示為「時間波形」、第2個圖示為線性頻譜(Linear spectrum)、第3個圖示為對數頻譜(Logarithmic spectrum)，第4個圖示為實際進行FFT的「時間波形」。
由第2個圖示為線性頻譜(Linear spectrum)來觀察，3個「時間波形」(time waveform)的信號，其線性頻譜，似乎都有明確的得到對應的5個「峰值」(peak)，代表這個結構有5個振動模態(vibration modes)，「峰值」對應的頻率，就是結構的Natural frequencies 自然頻率 = 𝒇𝒓。
如第3個圖示為對數頻譜(Logarithmic spectrum)，同樣的頻譜，y軸取對數座標(Logarithmic coordinate)。當𝝈=𝟎，可以看出對數頻譜有明顯的、嚴重的「柵欄效應」(fence effect)。而𝝈= 𝟏，其對數頻譜有輕微的「柵欄效應」(fence effect)。在𝝈= 𝟓，對數頻譜完全沒有「柵欄效應」(fence effect)。
為什麼頻譜會出現「柵欄效應」(fence effect)這種現象(Situation)呢？在此，以【SCR】心法，來解析「柵欄效應」的現象、原因、對策：
1. S = Situation 現象；對數頻譜會出現「柵欄效應」(fence effect)。
2. C = Cause 原因：因為，時間波形，頭尾的信號，不一致。如𝝈=𝟎和𝝈= 𝟏，初始時間，x(t) = 0，在終止量測時間，t = 1.0 秒，其x(t)信號，不為0。這就是：時間波形，頭尾的信號，不一致。因而，導致了「柵欄效應」(fence effect)。當𝝈= 𝟓，在終止量測時間，t = 1.0 秒，其x(t)信號，已經趨近於0，所以，時間波形，頭尾的信號，有一致。就不會出現「洩漏」(leakage)，所以，對數頻譜完全沒有「柵欄效應」(fence effect)。
3. R = Resolution 對策：針對𝝈=𝟎和𝝈= 𝟏，必須更換”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」，採用”Exponential”=「指數窗函數」。
這個單元，就來介紹採用”Exponential”=「指數窗函數」，取代”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」，進行FFT的差異比較。
首先，甚麼是”Exponential”=「指數窗函數」？參閱圖片右下方，列舉了每個案例的3個圖示，分別說明如下：
1. 原始數據(raw data)=𝒙(𝒕)：也就是量測或分析取得的位移響應「時間波形」(time waveform)。在設定：Fmax = 1000 Hz、LOR = 1000 條，則：R = Fmax / LOR = 1.0 Hz，T = 1/
R = 1.0 s，所以總量測時間T = 1.0 s，頻率解析度R = 1.0 Hz。
2. 指數窗函數數據(Exponential window data)= 𝒘(𝒕)：參閱圖示，在t = 0，𝒘(𝒕) = 1，持續衰減，到t = 1.0，𝒘(𝒕) = 0.01 ~ 0。
3. 窗函數加權後數據(weighted data)= 𝒙_𝒘 (𝒕)=𝒙(𝒕)⋅𝒘(𝒕)：將𝒙(𝒕)和𝒘(𝒕)數據，兩兩對乘，及可得到窗函數加權後數據 𝒙_𝒘 (𝒕)，「時間波形」到t = 1.0，都呈現接近於0。可以改善，使得時間波形，頭尾的信號，有一致。如此，可以消除「洩漏」(leakage)，所以，對數頻譜完全沒有「柵欄效應」(fence effect)。
觀察圖片右邊中間圖示，一個是原始數據(raw data)=𝒙(𝒕)和窗函數加權後數據(weighted data)= 𝒙_𝒘 (𝒕)，兩者的「時間波形」重疊圖顯示。𝒙_𝒘 (𝒕)有加大衰減率的效應，使得「時間波形」到t = 1.0，都呈現接近於0。
另一個圖示，是採用”Box”窗函數，和”Exponential”窗函數，所得到的對數頻譜(Logarithmic spectrum)比較，討論如下：
1. 針對𝝈=𝟎，𝝈= 𝟏，採用”Exponential”窗函數，如圖示的紅色線條，明顯的、完全移除了「柵欄效應」(fence effect)現象。又，因為”Exponential”窗函數，加大了衰減效應，會使得頻譜「峰值」(peak)的振幅值，變小。對解析自然頻率 𝒇𝒓，沒有影響。但是，後處理分析取得的模態阻尼比 𝝃𝒓，會有增大的效應。
2. 針對𝝈= 𝟓，兩種窗函數所得到的頻譜相近，採用”Exponential”窗函數，會降低的頻譜振幅值。其實，在𝝈= 𝟓，是沒有必要採用”Exponential”窗函數，因為採用”Box”窗函數，已經可以得到正確、有效的頻譜。
綜合一下這個單元的討論：結構受到衝擊(impact)產生的振動波形(vibration signal)，如何取得正確的「頻譜」(spectrum)？總結如下：
1. 複習討論了：FFT之【ISOC】分析的系統方塊圖(system block diagram)，包括：Input輸入、System系統、Output輸出、Control控制。以瞭解如何取得「頻譜」(spectrum)。
2. 採用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」，對𝝈=𝟎和𝝈= 𝟏，其頻譜有明顯的「柵欄效應」(fence effect)，所以是NG (No Good, No Go)。當𝝈= 𝟓，頻譜完全沒有「柵欄效應」(fence effect)，所以是OK的。也以【SCR】心法，來解析「柵欄效應」的S = Situation 現象、C = Cause 原因、R = Resolution 對策。需要採用”Exponential”=「指數窗函數」。
3. 介紹了”Exponential”=「指數窗函數」的特性，以及(1) 原始數據(raw data)=𝒙(𝒕)，(2) 指數窗函數數據(Exponential window data)= 𝒘(𝒕)，(3) 窗函數加權後數據(weighted data)= 𝒙_𝒘 (𝒕)=𝒙(𝒕)⋅𝒘(𝒕)。三者之間的關係與特徵。
4. 比較了採用”Box”=「方形/均勻/矩形窗函數」以及”Exponential”=「指數窗函數」，進行FFT得到的頻譜之差異比較。如𝝈= 𝟓，當「時間波形」信號在終止時間，已經趨近於0，採用”Box” 窗函數即可。反之，如𝝈=𝟎和𝝈= 𝟏，如果「時間波形」信號在終止時間，沒有趨近於0，就必須採用”Exponential”「指數窗函數」，才可得到正確、有效的頻譜。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2026.02.05
