《振動噪音科普專欄》EMA系列:如何進行實驗模態分析?

 

這個單元的主題,來探討:如何進行「實驗模態分析(experimental modal analysis, EMA)?「實驗模態分析EMA也可以稱為「模態試驗/測試(modal testing)

 

在先前單元已有相關主題的探討,讀者可參閱:#23:【甚麼是【實驗模態分析】?What is 'Experimental Modal Analysis' (EMA)】、#24:【何量測得到結構的頻率響應函數?】。

 

簡單的說:實驗模態分析」是一種實驗方法,主要在求得結構的「模態參數」,包括:「自然頻率」、「模態振型」及「模態阻尼比」。

 

本單元再以實際案例,以不同的方式,再次討論:如何進行「實驗模態分析EMA

 

如果,我們要對如圖示的懸臂樑結構,進行「實驗模態分析」,主要可以分成以下三個步驟如下:

 

1.      實驗量測(experimental measurement)

2.      信號處理(signal processing)

3.      曲線嵌合(curve fitting)/模態參數擷取(extraction of modal parameters)

 

在第一個步驟「1.實驗量測」階段,需要選擇進行「實驗模態分析EMA的輸入及輸出方式,說明如下:

 

1.      輸入方式:也就是「激振源 (excitation source)的選用,在此採用「衝擊鎚(impact hammer),用以激振此懸臂樑,可以度量出「衝擊力f(t)。如左上方圖示,可以觀察到典型的「衝擊力f(t)時間波形。

2.      輸出方式:也就是擷取結構響應的感測器(sensor),在此案例以「加速度規(accelerometer),量測懸臂樑受衝擊力後的結構「加速度a(t)響應。如左上方圖示,也可以觀察到典型的「加速度a(t)時間波形,呈現出具有衰減的隨機振動信號。

 

如果,能夠取得「衝擊力f(t)以及「加速度a(t),就完成了「1.實驗量測」。在此要注意,當要對一個結構進行「實驗模態分析EMA,參閱本單元圖示「模態域」的「系統方塊圖(system block diagram),主要目的在求得結構的「振動模態(vibration modes),包括3個重要的「模態參數(modal parameters)如下:

 

(1)       自然頻率(natural frequency) 𝑓𝑟

(2)       模態振型(mode shape) 𝜙𝑟

(3)       模態阻尼比(modal damping ratio) 𝜉𝑟

 

其中,𝑟代表第𝑟個模態。相關主題可參閱:#98:【如何由實驗取得結構的模態參數?】。

 

完成了第一個步驟「1.實驗量測」,分別量測得到「衝擊力f(t)以及「加速度a(t),接著要進行「2.信號處理」,主要目標在取得結構系統的「頻率響應函數(frequency response function, FRF) Hij(f),參閱本單元圖示「頻率域」的「系統方塊圖(system block diagram)說明如下:

 

1.      輸入信號:當然就是「衝擊力f(t),進行「FFT頻譜分析」,可以取得「外力」的「傅立業頻譜F(f),以及對應的「功率頻譜Gff(f)。由Gff(f)圖示,可看出此懸臂樑的EMA案例,在4 kHz以前,Gff(f)呈現接近於「白噪音」,也就是可以有效激發4 kHz以前的結構「振動模態」。

2.      輸出信號:就是「加速度a(t),進行「FFT頻譜分析」,可以取得「加速度」的「傅立業頻譜A(f),以及對應的「功率頻譜Gaa(f)。圖示為0~1000 Hz的「加速度頻譜

3.      系統資訊:在此的「系統資訊」,就是結構系統的「頻率響應函數FRF,以Hij(f)表示,其中,i代表「加速度a(t)的位置及方向,而j是「衝擊力f(t)的位置及方向。取得FRF的典型方式,是採用H1(f)= Gfa(f)/ Gff(f),爾後,再另闢單元討論H1(f) 的解析理念。

 

完成了第二個步驟「2.信號處理」,主要在取得了結構系統的「頻率響應函數Hij(f)。在此要注意,如果進行EMA,是固定「衝擊鎚」,而移動「加速度規」,將會取得一系列的Hij(f),例如:j=1i=1,2,…,Na,其中,Na是「加速度規」的量測點數,以下的案例,令Na=30

 

當取得了一系列的Hij(f),第三個步驟就是「3.曲線嵌合」,也可稱為「3.模態參數擷取」的步驟。也就是將前步驟所取得的一系列的Hij(f),透過「3.曲線嵌合」,將可求得系統的「模態參數」。

 

為什麼可以由一系列的Hij(f),求得系統的「模態參數」呢?可以由前述的兩個「系統方塊圖」,來說明:

 

1.      頻率域的「系統方塊圖:其中,系統資訊就是頻率響應函數Hij(f)

2.      模態域的「系統方塊圖:其中,系統資訊就是3個重要的「模態參數」,包括:𝑓𝑟𝜉𝑟𝜙𝑟

 

概念上,頻率響應函數」以及「模態參數」都是系統參數,兩者會有明確的對應關係,在此忽略此理論方程式的探討,不過,理論上可以知道,由「頻率響應函數」,是可以求得系統的「模態參數」,反之亦然。

 

透過3.曲線嵌合」的步驟,可以分別求得3個重要的「模態參數」,包括:

 

(1)       自然頻率(natural frequency) 𝑓𝑟:參閱頻率響應函數Hij(f) 圖示,可觀察Hij(f)振幅值所顯現的峰值(peaks),各個峰值所對應的頻率,就是系統的「自然頻率」。參閱圖示,可觀察在 1500 Hz以下,有6個主要峰值,所以有6個「自然頻率」。圖示顯示,在1500 Hz以下的前5個「自然頻率𝑓1~ 𝑓5

(2)       模態阻尼比(modal damping ratio) 𝜉𝑟:由Hij(f)振幅值所顯現的波峰之尖銳程度,可以推算結構「振動模態」的「模態阻尼比」,如圖示中每一個模態,有對應的「模態阻尼比」在0.217 % ~ 1.09 %之間。

(3)       模態振型(mode shape) 𝜙𝑟:參閱圖示的右下方,可以觀察到對應前5個「振動模態」的「模態振型」,因為Na=30,所以可觀察到有30個分割點的「模態振型」。懸臂樑的固定端,也可視為是一個「節點(nodal point),也就是結構動畫中的「不動點」。越高頻率的「振動模態」,其「模態振型」的「節點」越多,如第5個「振動模態」的「模態振型𝜙5,除了固定點外,就有4個「節點」。

 

在此需有的認知,每一個「振動模態」,其3個「模態參數」是成對的,也就是一對一的對應關係。一個「振動模態」有其各自的自然頻率」、「模態振型」、以及「模態阻尼比」。

 

綜合本單元,有關如何進行「實驗模態分析」,可以歸納有三個步驟如下:

 

1.      實驗量測(experimental measurement):需要準備好「激振源」,如「衝擊鎚」,以及可擷取結構響應的感測器,如「加速度規」。當然,還需要DAQ 資料擷取裝置(Data Acquisition device),也就是典型的「頻譜分析儀(FFT Analyzer),才可以量測到「衝擊力f(t),以及結構的「加速度a(t)響應,也就是時間域的信號。

2.      信號處理(signal processing):透過「FFT頻譜分析」,對時間域信號的f(t)a(t)進行信號處理,最重的是可以得到結構系統的「頻率響應函數FRF,以Hij(f)表示。

3.      曲線嵌合(curve fitting)/模態參數擷取(extraction of modal parameters):在此要注意,需要取得一系列的Hij(f),才可以在「3.曲線嵌合」的步驟,解析求得「振動模態」的「模態振型」。如果,只有一個Hij(f),只能夠推算出「振動模態」的「自然頻率」以及「模態阻尼比」。

 

由於,1.實驗量測」以及「2.信號處理」,通常可由「頻譜分析儀」一併完成,所以,再簡單的說,要如何進行「實驗模態分析」呢?「實驗模態分析」的兩個基本步驟:

 

1.      量測取得結構的「頻率響應函數」。

2.      由「頻率響應函數」透過「曲線嵌合」求得結構的「模態參數」。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2020.12.08

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1 意見:

  1. 老師您好,想請教下,對FRF作曲線嵌合時,通常是用極點留數分式的表達式進行嵌合,而分式表達式可寫成分母矩陣乘上分子矩陣,分子矩陣式待求的振型,用最小二乘法將"分母矩陣的轉置乘上分母矩陣"後,再逆矩陣與實驗傳函數據相乘解出分子矩陣。
    我有疑問的點是,怎麼保證"分母矩陣的轉置乘上分母矩陣",這樣的逆矩陣存在??也就是說怎麼保證"分母矩陣的轉置乘上分母矩陣"的行列式值不為零?

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