這個單元要來探討的主題是：進行振動分析(vibration analysis)時，如何設定「阻尼」(damping)效應？
這個單元主要參考以下的研討會論文：王栢村，王廷維，2013，「簡諧響應分析之阻尼模擬」，中華民國振動與噪音工程學會第21屆學術研討會，台北，論文編號：D0012。
參閱圖片右上方，是對一個懸臂樑，進行「實驗模態分析」(Experimental Modal Analysis,
EMA)的實驗架構圖。採用了Hammer衝擊槌，敲擊結構，使用的感測器(sensor)是Accelerometer加速規，量測結構的加速度響應。樑結構上的佈點規劃，有30個點，搭配一部「頻譜分析儀」(FFT Analyzer)，量測取得實驗數據。
進行EMA「實驗模態分析」，主要步驟就是先量測結構的「頻率響應函數」(Frequency Response Function, FRF)。FRF「頻率響應函數」的定義：𝑯𝒊𝒋(𝒇)= 𝑨𝒊(𝒇) / 𝑭𝒋(𝒇)，其物理意義是：第𝒊點加速度頻譜𝑨𝒊(𝒇)，除以第𝒋點的外力頻譜𝑭𝒋(𝒇)。
其次，透過「曲線嵌合」(curve-fitting)，即可取得結構的三個「模態參數」(Modal parameters)
，包括：𝒇𝒓、𝝓𝒓(𝒙)、𝝃𝒓。其中，𝝎𝒓 =𝟐𝝅𝒇𝒓「自然頻率」(natural frequency)、𝝓𝒓(𝒙)「模態振型」(mode shape)、𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。
這個單元著重在進行CAE軟體應用分析，也就是常採用的「有限元素分析」(Finite Element Analysis, FEA)軟體，進行仿真模擬分析(simulation)。就需要透過「簡諧響應分析」(Harmonic response analysis)求得理論的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」，希望能夠模擬得到與實驗相符的FRF，達到仿真分析的目標。
建構的「有限元素模型」(Finite Element Model)如圖示，要分析取得(𝒊,𝒋)=(𝟑𝟎,𝟑𝟎)的FRF「頻率響應函數」，也就是對應於敲擊在自由端，量測也在自由端位置的FRF = 𝑯𝒊𝒋(𝒇)。
參閱圖片左上方，摘錄自前述的研討會論文，呈現不同的「阻尼模型」(damping model)。雖然是以ANSYS軟體應用做說明，不過，主要的理論基礎是相同的，不同的CAE軟體，只是會有不同的設定方式。
參閱圖片左上方表格，針對不同的「阻尼模型」(damping model)，在CAE軟體的應用設定，以及對應於懸臂樑結構，探討理論分析與實驗量測的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」比較，分別說明如下：
1. Model (A) = Undamped = 無阻尼：CAE軟體應用上，免設定。參閱Model (A)的分析與實驗FRF曲線圖示，在FRF的峰值，即共振點(resonance)，以及反共振點(anti-resonance)，FEA分析曲線的量值，會特別的大、或是特別的小，顯現出這種失真的、不正確的現象。所以，沒有設定「阻尼」(damping)效應，沒能達到仿真的效果。
2. Model (B) = Proportional viscous damping = 比例黏滯阻尼：CAE軟體應用上，需要設定：𝜶及𝜷。採用的是[𝑪]
= 𝜶[𝑴] + 𝜷[𝑲]，也就是「雷利阻尼」(Rayleigh damping)的假設，就是「比例黏滯阻尼」(proportional viscous
damping)。參閱Model (B)的分析與實驗FRF曲線圖示，可以觀察到FRF的曲線趨勢與量值，都相當準確，有達到仿真的效果。但是，求取𝜶及𝜷的過程繁瑣，再另闢單元討論。
3. Model (C) = Constant damping ratio = 常數阻尼比：CAE軟體應用上，需要設定「阻尼比」(damping ratio)是常數。理念上，是令結構的每一個模態的阻尼比，𝝃𝒓 都相同。參閱右上方的懸臂樑模態參數表，每個模態都可取得 𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。設定的「常數阻尼比」，可以取圖示5個 𝝃𝒓 的平均值。參閱Model (C)的分析與實驗FRF曲線圖示，可以觀察到FRF的曲線趨勢與量值，都相當準確，有達到仿真的效果。Model (C) 是建議採用的選項！因為，實務應用上比較容易取得 𝝃𝒓 的平均值，而且，FRF分析結果良好。
4. Model (D) = Modal damping ratio = 模態阻尼比：CAE軟體應用上，需要設定：每一個模態的𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)。必需，對每一個模態，做一對一的設定，適合於模態數量少、而且模態明確的結構。參閱Model (D)的分析與實驗FRF曲線圖示，可以觀察到FRF的曲線趨勢與量值，也大致對應，有接近仿真的效果。但是，在第四、第五個模態，其峰值響應，對應不太好。
5. Model (E) = Element proportional viscous damping = 元素之比例黏滯阻尼：這個設定的理念，如同
Model (B)，不過，只有𝜷 的效應。CAE軟體應用上，是以材料模型的參數方式，設定其𝜷數值。同樣地如同Model (B)，求取
𝜷的過程繁瑣，再另闢單元討論。參閱Model (E)的分析與實驗FRF曲線圖示，可以觀察到FRF的曲線趨勢與量值，都相當準確，有達到仿真的效果。
6. Model (F) = Element constant damping ratio = 元素之常數阻尼比：這個設定的理念，如同Model (C)。CAE軟體應用上，是以材料模型的參數方式，設定其「常數阻尼比」數值。參閱Model (F)的分析與實驗FRF曲線圖示，可以觀察到FRF的曲線趨勢與量值，都相當準確，有達到仿真的效果。而且，與Model
(C)的FRF曲線重合，因為，此懸臂樑結構是單一種材料。
7. Model (G) = Damping element = 阻尼元素：一般的CAE軟體應用上，都有如ANSYS的彈簧阻尼元素(COMBIN14)，主要是模擬彈簧及阻尼元件(spring &
damper component)，可以直接設定其 𝑪
阻尼係數(damping
coefficient)。對此懸臂樑結構，並沒有採用此類型元素。所以，本案例沒有對應的分析結果。
其次，以CAE軟體對「阻尼模型」(damping model)的選用與設定，可以概分為：
1. 直接設定𝑪 阻尼係數(damping
coefficient)：如Model (G)，在ANSYS的彈簧阻尼元素(COMBIN14)，主要是模擬彈簧及阻尼元件(spring & damper component)。
2. 針對材料模型(material model)的參數，設定其「阻尼」(damping)效應：如Model (E)、Model (F)。其設定的理念上，可以針對組合結構，有不同材料的零組件時，可以分別設定各個零組件的「阻尼」(damping)效應。對於每個零組件，都需要各別量測其「阻尼」(damping)，才可取得其設定值。
3. 針對整體結構，設定其「阻尼」(damping)效應：如Model (B)、Model (C)、Model (E)。其設定的理念上，是針對整體組合結構的「阻尼」(damping)效應。
從求得理論的FRF= 𝑯𝒊𝒋(𝒇)「頻率響應函數」，準確度與適用的角度來看：
1.
Model (A) = Undamped
= 無阻尼：FRF的模擬分析，沒有「阻尼」(damping)效應，是不準的。而Model (G) = Damping
element = 阻尼元素：對於3D實體結構來說，並不適用。
2.
Model (B) =
Proportional viscous damping = 比例黏滯阻尼，與Model (E) = Element proportional viscous damping = 元素之比例黏滯阻尼：兩者模擬「阻尼」(damping)效應的理念，相似。都是採用「雷利阻尼」(Rayleigh damping)的假設：[𝑪]
= 𝜶[𝑴] + 𝜷[𝑲]。而，Model (E)相當於只考慮了[𝑪] = 𝜷[𝑲]的「阻尼」(damping)效應。分析FRF的曲線趨勢與量值，都相當準確，有達到仿真的效果。但是，求取𝜶及𝜷的過程繁瑣，需要再另闢單元討論。
3.
Model (C) = Constant
damping ratio = 常數阻尼比，與 Model (F) = Element constant damping ratio = 元素之常數阻尼比：兩者模擬「阻尼」(damping)效應的理念，相似。都是設定其「常數阻尼比」數值。分析FRF的曲線趨勢與量值，都相當準確，有達到仿真的效果。而且，設定的「常數阻尼比」，可以取 𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)的平均值，是相對容易取得。因此，Model (C)與Model (F)，是較佳的建議選項。
4.
Model (D) = Modal
damping ratio = 模態阻尼比：設定理念上，是對每一個模態的𝝃𝒓「模態阻尼比」(modal damping ratio)做設定。因此，必需對每一個模態，做一對一的設定，適合模態數量少、而且模態明確的結構。分析FRF的曲線趨勢與量值，大致對應，有接近仿真的效果。但是，在案例的分析，有兩個模態響應，不太好。
綜合一下這個單元的討論，進行振動分析(vibration analysis)時，如何設定「阻尼」(damping)效應？
1. 工程實務上，會採用CAE/FEA軟體應用分析，建構的「有限元素模型」(Finite Element Model)，有必要選用與設定適當的「阻尼模型」(damping model)。
2. 本單元介紹的「阻尼模型」(damping model)，包括：Model (A) = Undamped = 無阻尼、Model (B) =
Proportional viscous damping = 比例黏滯阻尼、Model (C) = Constant
damping ratio = 常數阻尼比、Model (D) = Modal
damping ratio = 模態阻尼比、Model (E) = Element
proportional viscous damping = 元素之比例黏滯阻尼、Model (F) = Element
constant damping ratio = 元素之常數阻尼比、Model (G) = Damping
element = 阻尼元素。
3. CAE/FEA軟體應用分析，設定的理念上，可以由材料模型(material model)的參數設定「阻尼」(damping)效應。也可以由簡諧響應分析選項上，設定「阻尼」(damping)效應。
4. 綜合建議，較佳的建議選項是：Model (C) = Constant damping ratio = 常數阻尼比、Model (F) = Element
constant damping ratio = 元素之常數阻尼比。
最後，如左上方表格，針對不同的「阻尼模型」(damping model)，在CAE軟體的應用設定，還有三種求解方式，(1) Full Method，(2) Reduced Method，(3) Mode Superposition Method。還需要一些背景知識，再另闢單元討論。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
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