這個單元要來探討的主題是：「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)和「散失因子」、「損耗因數」(loss factor)，兩者之間有甚麼關係？
首先回顧先前單元：#390，【甚麼是黏滯阻尼(viscous
damping)？黏滯阻尼比(viscous damping ratio)？】，參閱圖片的左邊圖示，是「黏滯阻尼」(viscous damping)，簡要說明如下：
1. 實際結構(real structure)：是典型機車的懸吊結構，有彈簧(spring)以及油壓缸的阻尼器(damper)。其中，油壓缸就是有黏滯流動的流體，所以稱為「黏滯阻尼」。
2. 物理模型(physical model)：以線性彈簧(linear spring) 𝒌，模擬實際的彈簧。而以「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient) 𝒄，來模擬油壓缸的阻尼器。
3. 𝒄：「黏滯阻尼係數」(viscous damping coefficient)，用以代表黏滯阻尼器的物理參數，單位：N-s/m。
4. 𝝃：「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)，其定義：𝝃=𝒄/C𝒄。
5. C𝒄：「臨界黏滯阻尼係數」(critically viscous damping coefficient)，其定義：C𝒄 =𝟐√𝒎𝒌=𝟐𝒎 𝝎𝒏。
6. 𝝎𝒏：「無阻尼自然頻率」(undamped natural frequency)，其定義：𝝎𝒏=√(𝒌/𝒎)
(rad/s)。
7. 此系統的「模態參數」(modal parameter)，有兩個：(1) 𝝎𝒏：「無阻尼自然頻率」(undamped natural
frequency)。(2) 𝝃：「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)。
首先回顧先前單元：#391，【甚麼是結構阻尼(structural
damping)？散失因子_損耗因數(loss factor)？】，參閱圖片的中間圖示，是「結構阻尼」(structural damping)，簡要說明如下：
1. 實際結構(real structure)：是只有彈簧(spring)組件的結構。當此彈簧受到壓縮、拉伸的運動時，仍然有某種程度的「阻尼」(damping)效應。這個阻尼效應是來自材料本身，材料分子結構因為變形所造成的能量衰減，而形成的「阻尼」(damping)效應。
2. 物理模型(physical model)：以線性彈簧(linear spring) 𝒌，模擬實際的彈簧。而以「結構阻尼係數」(structural damping coefficient) 𝒉，來模擬材料本身的「遲滯阻尼」(hysteretic damping)效應。
3. 𝒉：「結構阻尼係數」(structural damping coefficient)，用以代表彈簧材料阻尼效應的物理參數，單位：N/m。也可稱為「遲滯阻尼係數」(hysteretic damping coefficient)。
4. 𝜼：「散失因子」、「損耗因數」(loss factor)，其定義：𝜼=𝒉/𝒌。
5. (𝒌+𝒊𝒉)=𝒌(𝟏+𝒊𝜼)：「複數勁度」(complex stiffness)，可以模擬材料的阻尼效應。實務應用上，可將材料的楊氏係數(Young’s modulus)或彈性模數(elastic modulus) 𝑬，取代「彈簧常數」𝒌，也就是𝒌(𝟏+𝒊𝜼) ≈ 𝑬
(𝟏+𝒊𝜼)，形成材料的「複數勁度」(complex stiffness)、或稱「複數模數」(complex modulus)，可以藉以模擬材料的阻尼效應。
6. 𝝎𝒏：「無阻尼自然頻率」(undamped natural frequency)，其定義：𝝎𝒏=√(𝒌/𝒎)
(rad/s)。
7. 此系統的「模態參數」(modal parameter)，有兩個：(1) 𝝎𝒏：「無阻尼自然頻率」(undamped natural
frequency)。(2) 𝜼：「散失因子」、「損耗因數」(loss factor)。
比較「黏滯阻尼」(viscous damping)以及「結構阻尼」(structural damping)，兩個系統模型的差異：
1. 系統的物理參數：𝒄「黏滯阻尼係數」以及𝒉「結構阻尼係數」。
2. 系統的模態參數：𝝃：「黏滯阻尼比」(viscous damping
ratio)以及 𝜼「散失因子」(loss factor)。
「黏滯阻尼比」= 𝝃 = 𝒄/C𝒄。「散失因子」= 𝜼 = 𝒉/𝒌。兩者，都是無因次單位。兩者之間可以推導出具體的關係式：𝜼 = 𝟐 𝝃。在此忽略推導的過程，僅說明此關係式，來自簡諧激振(harmonic excitation)分析假設，特別是在激振頻率 = 自然頻率：𝝎 = 𝝎𝒏 的條件下。
知道了
𝝃 和 𝜼 的關係：𝜼 = 𝟐 𝝃。在此，以「質量」𝒎、「彈簧常數」𝒌 單自由度系統，分別採用(1)「黏滯阻尼係數」𝒄 以及(2)「結構阻尼係數」𝒉
的「結構阻尼」(structural damper)模型，所取得的「頻率響應函數」(frequency response
function, FRF )，以相同的無因次FRF，繪圖比較，如圖片右下方圖示，討論說明如下：
1. 𝝃=0.1，𝜼=0.2，也就是 𝜼 = 𝟐 𝝃：兩個阻尼模型的FRF曲線，幾乎重合，代表系統的響應特性幾乎相同。
2. 𝝃=0.2，𝜼=0.4，也就是 𝜼 = 𝟐 𝝃：兩個阻尼模型的FRF曲線，很相近，在不同激振頻率時，量值，略有差異。
3. 𝝃=0.3，𝜼=0.6，也就是 𝜼 = 𝟐 𝝃：兩個阻尼模型的FRF曲線，有相近，在不同激振頻率時，量值，差異比 𝝃=0.2，𝜼=0.4，稍大。
由於實務上，𝝃=0.1，10%的「黏滯阻尼比」，已經相當大，大約如一般的橡膠材料「黏滯阻尼比」。在 𝝃 < 0.1，𝜼 < 0.2，兩種模型在FRF曲線的特徵，是相當的。因此，在實務應用上，取𝜼 = 𝟐 𝝃，可以是合理的假設。
另一種表達阻尼方式，「比阻尼容量」(specific damping
capacity)，其定義：∆𝑾/𝑾=(一個循環的能量衰減) / (每一個循環的總能量)。可以推導得到以下關係式：∆𝑾/𝑾
= 𝟐𝝅𝜼 = 𝟒𝝅𝝃。提供讀者參考。
綜合一下這個單元的討論，回顧介紹了「黏滯阻尼」(viscous damping)以及「結構阻尼」(structural damping)，兩種阻尼模型，重點摘要如下：
1. 「黏滯阻尼」(viscous damping)的模態參數：𝝃= 𝒄/C𝒄「黏滯阻尼比」(viscous damping ratio)。
2. 「結構阻尼」(structural damping)
的模態參數：𝜼 = 𝒉/𝒌「散失因子」(loss factor)。
3. 𝝃 和 𝜼 的關係：𝜼 = 𝟐 𝝃。
4. 在
𝝃 < 0.1，𝜼 < 0.2，𝝃 和 𝜼 兩種阻尼模型在FRF曲線的特徵，是相當的。因此，在實務應用上，取𝜼 = 𝟐 𝝃，可以是合理的假設。
5. 另一種表達阻尼方式，「比阻尼容量」(specific damping
capacity)，定義：∆𝑾/𝑾
= 𝟐𝝅𝜼 = 𝟒𝝅𝝃。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2024.09.19
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